Глава 3. Математические модели цифровых сигналов

3.1. Преобразование непрерывных сигналов в дискретную форму. Теорема котельникова

Исключительно важным положением теории связи, на котором основана вся современная электрическая связь, является так называемая теорема отсчетов, или теорема Котельникова. Эта теорема позволяет установить соотношение между непрерывными сигналами, какими являются большинство реальных информационных сигналов – речь, музыка, электрические сигналы, соответствующие телевизионным изображениям, сигналы в цепях различных радиотехнических систем и т.п., и значениями этих сигналов лишь в отдельные моменты времени – так называемыми отсчетами. На использовании этой связи строится вся современная цифровая электрическая связь – цифровые методы передачи и хранения звуковых и телевизионных сигналов, цифровые системы телефонной и сотовой связи, системы цифрового спутникового телевидения и т.д. Таким образом телекоммуникационные сигналы делятся на непрерывные и дискретные.

Непрерывные сигналы (функции) могут принимать любые, сколь угодно близкие друг к другу значения, в любые моменты времени. Примером непрерывного сигнала является гармоническое колебание.

Дискретные (цифровые) сигналы могут принимать только заранее известные значения, отличающиеся одно от другого на конечную величину, причем изменяться эти значения могут только в определенные моменты времени.

Примером дискретного сигнала является (рис.3.1) периодическая последовательность прямоугольных импульсов, которая в моменты времени принимает значения или 0, или 1.

Теорема Котельникова

Любая непрерывная функция, спектр которой не содержит частот выше , полностью определяется своими отсчетами, взятыми через интервал времени.

Временные диаграммы непрерывного сигнала и дискретизированногопредставлены на рис. 3.2.

Важно, что не надо передавать непрерывно исходный сигнал , достаточно передавать отсчёты. Это первый шаг перехода от непрерывного сигнала к цифровому.

С точки зрения математики теорема Котельникова означает представление сигнала в виде ряда:

, (3.1)

где - отсчеты,

- функции отсчетов.

Ряд Котельникова – это разложение сигнала в ряд по ортогональным функциям.

(3.2)

Элементарная функция Котельникова имеет в t=t₁ значение, равное значению первого отсчета (рис.3.3 б), в t=t₂ равна значению второго отсчета (рис. 3.3 в) и так далее (рис. 3.3 г, д). В остальные отсчетные моменты времени эти функции равны нулю. Сумма элементарных функций дает исходную непрерывную функцию (рис. 3.3 е).

Теоретически дискретизация осуществляется с помощью -импульсов. Временная диаграмма одиночного - импульса представлена на рис.3.4.

Спектр одиночного - импульса получим, используя преобразование Фурье:

.

Использовано "фильтрующее" свойство дельта-функций:

.

Спектр одиночного дельта-импульса представлен на рис. (3.5)

Чтобы получить отсчёты функции перемножим функциюна периодическую последовательность - импульсов с периодом Т=t.

Временная диаграмма периодической последовательности дельта-импульсов представлена на рис. 3.6. Сигнал является периодическим, поэтому его можно представить в виде ряда Фурье:

(3.3)

;

,

где ;- частота дискретизации.

Так как сигнал периодический, то его спектр будет дискретным. Спектр периодической последовательности - импульсов представлен на рис. 3.7.