1.2.2 .Исследование данных с помощью автокорреляционного анализа

Нормированная автокорреляционная функция

,

где:

–коэффициент автокорреляции для запаздывания на период;

–математическое ожидание;

–наблюдение в момент времени ;

–период наблюдений.

В качестве оценки нормированной автокорреляционной функции случайного процесса, представленного временным рядом длиныпринимают

,

где:

–выборочный коэффициент автокорреляции для запаздывания на периодов;

- выборочное среднее;

–наблюдение в -ый момент времени;

–число наблюдений.

С ростом точность оценкизаметно снижается На практике обычно максимальное значение.

Как определить, что коэффициенты автокорреляции существенно отличаются от 0? Выдвигаем гипотезу , что оцениваемый истинный коэффициент корреляции. Альтернативная гипотеза:. Коэффициентявляется оценкой параметра. Для проверкиможет быть использована статистика, имеющее распределение Стьюдента, где- уровень значимости,- число степеней свободы:

,

где

, ,.

Таким образом, для каждого отдельного значения мы можем вычислить требуемый доверительный интервал. Границы 95% доверительного интервала обычно наносятся на график корреляционной функции.

Если последовательные значения временного ряда не связаны друг с другом, то все коэффициенты. Если существует тренд, значенияиимеют сильную корреляцию, причем коэффициент автокорреляции существенно отличается от 0 для нескольких периодов запаздывания, а с увеличением задержки убывает до 0. Для сезонной компоненты значительный коэффициент корреляциибудет наблюдаться для значения равному периоду и кратных ему значений.

1.3 Порядок выполнения работы и методические указания по ее выполнению

1. Временные ряды, представленные в индивидуальном задании исследовать на стационарность с помощью статистических критериев случайности и построения корреляционной функции.

2. Временные ряды длиной более 100 значений, исследовать на стационарность следующим образом: провести их разбиение наM(M=10-20) равных интервалов; получить последовательность оценок среднего квадрата; эту последовательность проверить на наличие тренда. Корреляционную функцию построить для всего ряда и проанализировать наличие тренда и периодической составляющей.

3. Сделать обоснованные выводы о стационарности случайных процессов. Результаты представить в отчете.

1.4 Содержание отчета

Временная реализация разбита на 20 равных интервалов; полученная последовательность оценок среднего квадрата состоит из 20 значений. Требуется проверить с уровнем значимости , содержит ли временной ряд тренд.

На рис.1.1 представлен график временной последовательности оценок среднего квадрата.

Рис. 1.1

Критерий серий.

N1=N2=10. Границы области принятия гипотезы=6 и=15 (см. табл.1). Число серийS=13, 6<S<15. Гипотеза о независимости данных принимается с уровнем значимости

Критерий инверсий.

Границы области принятия гипотезы (см. табл.2) =64 и=125. Число инверсийA=62,A<64 Гипотеза о независимости данныхотвергаетсяс

Критерий поворотных точек.

Число поворотных точек P=14

=12;3,23. Из условиянаходим границы области принятия гипотезы:=9.8,=16.8. Неравенство 9.8<P<16.8 выполняется, поэтому гипотеза о независимости данных принимается с уровнем значимости

Корреляционная функция.Как видно из рис. 1.2, корреляционная функция не выходит за границы доверительного интервала, следовательно, гипотеза о независимости данных принимается с уровнем значимости

Рис. 1.2

Выводы.

Временная реализация из 200 наблюдений была проверена на наличие тренда у последовательность оценок среднего квадрата по критериям серий, инверсий и поворотных точек. Проанализирована корреляционная функция данной реализации. По всем критериям, кроме критерия инверсий, была принята гипотеза о независимости данных. поэтому гипотезу о стационарности процесса можно принять с уровнем значимости .