1 Проверка стационарности случайных процессов

1.1 Цель работы

Изучить статистические критерии случайности. Научиться применять критерии стационарности случайных процессов к данным, представленными временными реализациями.

1.2 Основные теоретические сведения

1.2.1Проверка стационарности процесса с помощью применения статистических критериев случайности.

Случайный процесс называется стационарным в узком смысле, если егоn–мерные законы распределения не изменяются при сдвиге всех его временных аргументов на одинаковую произвольную величину:

.

Случайный процесс называется стационарным в широком смысле, если его математическое ожидание постоянно (), а корреляционная функция есть функция сдвига между аргументами:

.

При проверке стационарности процесса по его реализации необходимо сделать существенные допущения:

• Любая реализация правильно отражает стационарный (или не стационарный) характер процесса. Это допущение вполне приемлемо для нестационарных процессов с детерминированным трендом.

• Длина реализации должна быть существенно больше периода самой низкочастотной составляющей процесса.

• Удобно предположить, что любые, представляющие интерес нестационарные свойства процесса полностью описывают медленные изменения во времени среднего квадрата процесса.

Имея в виду данные допущения, можно предложить следующую последовательность действий для проверки стационарности случайного процесса по его реализации .

1) Реализация разделяется на Mравных интервалов, причем наблюдения в различных интервалах полагаются независимыми.

2) Вычисляются оценки среднего квадрата (или отдельно средних значений и дисперсий) для каждого интервала:

, , …

3) Полученная последовательность проверяется на наличие тренда или других изменений во времени, которые не могут быть объяснены только выборочной изменчивостью оценок с помощью статистических критериев случайности.

Критерий серий

Рассмотрим последовательность из N наблюденных значений случайной величины, причем каждое наблюдение отнесем к одному из двух взаимно исключающих классов («+» и «–»), при этом разбиение можно проводить относительно математического ожидания, медианы и других характеристик. Серией называется последовательность однотипных наблюдений, перед и после которой следуют наблюдения противоположного типа (или вообще никаких).

Число серий S, появившееся в последовательности наблюдений, позволяет выяснить, являются ли отдельные результаты независимыми наблюдениями или временной ряд имеет тренд. Если последовательность из N наблюдений состоит из независимых исходов одной и той же случайной величины, то число серий в последовательности является случайной величинойс математическим ожиданием и дисперсией:

,

,

где N₁ – число исходов «+», N₂ – число исходов «–».

Всегда можно провести разбиение на классы, так чтобы N₁=N₂=N/2, например, путем сравнения наблюдений с медианой выборки. Тогда значения математического ожидания и дисперсиипринимают вид:

,

.

Число серий, появившееся в последовательности наблюдений, будет иметь выборочное распределение, протабулированное в табл. А.1. Поэтому далее необходимо проверить гипотезу о том, что данные являются независимыми или же присутствует тренд.

В качестве гипотезы принимаем, что наблюдения являются независимыми исходами одной и той же случайной величины (временной ряд не содержит тренда). Для проверки гипотезы с требуемым уровнем значимости надо сравнить наблюденное значение числасерий с границами области принятия гипотезыи. Если

то гипотезу принимаем с уровнем значимости . В противном случае гипотезу отвергаем,что свидетельствует о наличии тренда в данных.

Критерий инверсий

Рассмотрим последовательность из N наблюдений. Подсчитаем, сколько раз в последовательности имеют место неравенства при. Каждое такое неравенство называется инверсией. Пусть А – общее число инверсий.

Если последовательность из N наблюдений состоит из независимых исходов одной и той же случайной величины, то число инверсий является случайной величиной с математическим ожиданием и дисперсией:

,

.

Число инверсий, появившееся в последовательности наблюдений, будет иметь выборочное распределение, протабулированное в табл. А.2. В качестве гипотезы принимаем, что наблюдения являются независимыми исходами одной и той же случайной величины (временной ряд не содержит тренда). Для проверки гипотезы с требуемым уровнем значимости надо сравнить наблюденное значение числаинверсий с границами области принятия гипотезыи. Если

то гипотезу принимаем с уровнем значимости . В противном случае гипотезу отвергаем.

Критерий инверсий считается более мощным при обнаружении монотонного тренда. Однако он не столь эффективен при выявлении тренда типа флуктуаций. Если , то это указывает на наличие возрастающего тренда;– падающего тренда.

Критерий поворотных точек.

Рассмотрим последовательность из N наблюдений. Подсчитаем количество пиков и впадин, т.е. сколько раз в последовательности имеют место неравенства или. Каждое такое неравенство определяет поворотную точку. Пусть Р – общее число поворотных точек.

Если последовательность из N наблюдений состоит из независимых исходов одной и той же случайной величины, то число поворотных точек является случайной величиной с математическим ожиданием и дисперсией:

,

.

Число поворотных точек, появившееся в последовательности наблюдений, стремится к нормальному распределению . В качестве гипотезы принимаем, что наблюдения являются независимыми исходами одной и той же случайной величины (временной ряд не содержит тренда). Для проверки гипотезы с требуемым уровнем значимостинадо сравнить наблюденное значение числа поворотных точек с границами области принятия гипотезы, где,-интеграл Лапласа. Если число серий окажется вне этой области, то гипотеза отвергается. В противоположном случае гипотезу можно принять с уровнем значимости.