2.5. Заключение

Любое преобразование данных может быть сведено к вычислению числовых функций с целочисленными аргументами, а вычислимую функцию можно представить в виде рекурсии.

Для некоторых проблем мы располагаем сравнительно простыми и короткими алгоритмами, однако фактически их применение требует очень больших вычислений, связанных с перебором астрономического числа вариантов. С другой стороны встречаются довольно громоздкие инструкции в алгоритмах, которые сравнительно быстро приводят к цели.

Алгоритмом может быть названа любая процедура, которая сводится к вычислению целочисленной функции на соответствующей машине Тьюринга.

Несуществование алгоритма того или иного класса задач не означает неразрешимости вообще, а лишь означает, что рассматриваемый класс задач настолько широк, что единого эффективного метода для решения всех задач данного класса не существует.

Уточняя понятие алгоритма, мы ввели в рассмотрение нормальный алгоритм Маркова. Эта форма удобна для специалиста по логике. Для тех же специалистов, которые имеют дело преимущественно с вычислительными машинами, безусловно удобней иметь разработанный стандартный аппарат, более близкий к естественной форме численных алгоритмов. Таким аппаратом является машина Тьюринга.

В процессе построения теории численных алгоритмов было выяснено, что любой логический алгоритм можно простыми методами свести к численному алгоритму. По мере усовершенствования этих методов стало ясно, что вообще любой алгоритм может быть всегда сведён к целочисленному алгоритму.

Таким образом, теория численных алгоритмов (это понятие отождествляется с понятием «теория вычислимых функций») стала универсальным аппаратом для исследования всех алгоритмических проблем.

Контрольные вопросы

1. Чем отличаются логические и численные алгоритмы?

2. Что общего и в чем различие рекурсивных функций различных классов?

3. Почему недоказуема гипотеза Чёрча?

4. Почему класс примитивно-рекурсивных функций недостаточен для отождествления с понятием «алгоритм»?

5. Чем отличаются исчисление и алгоритм?

6. Приведите примеры ассоциативных исчислений.