2.1.2. Примеры ассоциативных исчислений
Приведём два примера АИ, точнее, опишем их основные положения.
Исчисление высказываний. Формула называется выводимой в исчислении высказываний, если она может быть получена из конечной совокупности исходных формул путём конечного числа шагов применения правил вывода. Строго доказано, что можно выбрать такую конечную совокупность аксиом исчисления высказываний, из которой выводимы все тождественно истинные формулы. Это важное положение решает проблему полноты исчисления высказываний. Процесс эквивалентных преобразований или вывода логических следствий может быть представлен как преобразование слов, причём роль допустимых подстановок играют логические законы и аксиомы.
Таким образом, вопрос выводимости какой-либо формулы становится вопросом существования дедуктивных цепочек, ведущих от слов, представляющих посылки, к словам, представляющим следствия.
В ряде интерпретаций ассоциативного исчисления, в частности, В теории вывода, используются подстановки вида L ® M, которые допускают лишь подстановку слева направо (слово L в слово M). Это соответствует лабиринту, по каждому коридору которого можно двигаться только в одном направлении.
В качестве другого примера АИ рассмотрим порождение классов формальных языков (в том числе языков программирования и соответствующих им трансляторов). В теории алгоритмов рассматриваются различные абстрактные системы, предназначенные для моделирования функционирования дискретных систем. Их способность адекватно описывать сложное поведение моделируемых систем можно охарактеризовать классами порождаемых ими языков, которые определённым образом кодируют разные возможные способы функционирования систем.
Приведём неформальное описание языка.
В основе каждого языка лежит словарь. Его элементы обычно называют словами, но в теории формальных языков их называют символами. Языки характеризуются тем, что некоторые из них считаются правильными предложениями языка, а другие — неправильными, или не принадлежащими данному языку. Правильность предложения определяется грамматикой, синтаксисом языка. Синтаксис определяется как множество правил или формул, которые задают множество (формально правильных) предложений.
Любое предложение можно получить из начального символа последовательным применением правил подстановки.
Синтаксические единицы (грамматические категории) называются нетерминальными символами, а слова в данном алфавите — терминальными символами.
Классы языков порождаются конечными множествами правил, называемых порождающими грамматиками. Каждая грамматика представляет собой набор (A, V, P, S0),
где А — алфавит терминальных символов,
V — алфавит нетерминальных символов,
P — конечное множество продукций (правило подстановки),
S0 — начальный символ.
Продукция имеет вид a®b, где aÎV*, bÎ(A U V)*. Продукция a®b может быть применена к некоторому слову вида d1 a d2 и преобразует его к виду d1 b d2. Последовательность слов g0, g1,…, gn такая, что слово gi, 1 Ј i Ј n, получено из слова gi-1 с помощью некоторой продукции из P, называется выводом из данной грамматики, а слово gn выводимо в ней из слова g0. Язык, порождаемый грамматикой, — это множество всех терминальных слов (слов из А*), выводимых из слова S0 с помощью продукций из P.
Класс языков, порождаемых произвольными грамматиками, (нет ограничений на множество продукций Р), совпадает с классом всех рекурсивно перечислимых множеств слов и поэтому может быть назван классом рекурсивно перечислимых языков. Известно, что класс языков, порождаемый машинами Тьюринга, является классом рекурсивно перечислимых языков. Поскольку это наиболее широкий класс языков, соответствующие классы абстрактных машин можно считать «универсально мощными».