22

Глава 1. Простейшие алгоритмы

1. Организация разветвлений в алгоритмах

Рассмотрим сначала линейные алгоритмы.

Линейным называется алгоритм, в схеме которого вершины (блоки). связаны в одну линию.

Пример 1.1. Составить СА для вычисления следующей функции:

y = sin()cos() + e^-x cos() (1.1)

при заданных значениях   x.

Вычислительный процесс для данной функции может быть организован

в виде последовательности шагов, на каждом из которых производятся следующие вычисления:

1) А₁ = sin();

2) A₂ = cos();

3) A₃ = exp(-х);

4) A₄ = cos();

5) B₁ = A₁A₄;

6) B₂ = A₃A₂;

7) у = B₁ + B₂.

СА, представляющая данный вычислительный процесс с учётом ввода исходных данных и вывода вычисленного значенияy, является линейной (рис. 1.1; начальная и конечная вершины не нумеруются). Его особенность – то, что операторные блоки (вершины) 2-5 можно располагать в произвольном порядке; то же относится и к блокам 6 и 7.

Рис. 1.1. Пример линейной СА (последовательная реализация)

Независимость СА от расположения отдельных блоков означает, что реализуемые ими фрагменты вычислительного процесса можно выпол-нить одновременно (параллельно) при наличии соответствующих аппарат-ных средств. Одновременность выполнения фрагментов обозначается на СА параллельными линиями (рис. 1.2), при этом допускается возможность расхождения связей на выходах всех блоков.

Для вычисления функций SIN, COS и EXP используются стандартные подпрограммы (СП), основанные, как правило, на представлении этих функций в виде полиномов (например, разложение в ряд Тейлора [2]). Однако эти СП реализуют нелинейные СА, содержащие циклы –см. п. 1.2.

Таким образом, линейность СА - понятие относительное; при более подробном рассмотрении СА может оказаться нелинейной. В сколько-нибудь сложной СА линейными могут быть только её отдельные фрагменты.

Рис. 1.2. Параллельная реализация СА для примера 1.1

Рассмотрим далее схемы алгоритмов с разветвлением.

Разветвлением мы будем называть фрагмент СА, содержащий блок выбора альтернатив (например, совокупность условных операторов) с двумя или более выходами; по этим выходам организуются связи с другими фрагментами СА. Выбор альтернатив осуществляется по простому либо составному условию.

Пример 1.2. Составить СА нахождения корней квадратного уравнения

au² + bu + c = 0. (1.2)

Предварительно запишем приведённое квадратное уравнение с целью уменьшения числа параметров, определяющих решения исходного уравнения:

u² + pu + q = 0; (1.3)

здесь p = b/a, q = c/a (a  0 !). (1.4)

Корни приведённого квадратного уравнения определяются по формуле

u_1,2 = -p/2  d, (1.5)

где d = p²/4 – q. (1.6)

В зависимости от значений d возможны 3 случая :

• d>0. Решение содержит два вещественных корня

• u₁ = -p/2 + d,. u₂ = -p/2 - d; (1.7)

• d<0. Решение содержит два мнимых корня (u = x + iy, i = -1)

• u₁= -p/2 + id, u₂= -p/2 - id (1.8)

• d=0. Решение содержит один корень кратности два (два слившихся корня)

Проанализируем поведение корней при изменении величины и знака дискриминанта d (рис.1.3):

1) d<0 - корни перемещаются сим-метрично по вертикали (мнимая ось);

2) d>0 - корни перемещаются сим-метрично по горизонтали (реальная ось);

3) d=0 - граничная точка x=-p/2 при переходе с вертикали на горизонталь.

u₁ = u₂ = -p/2. (1.9)

Рис. 1.3. Расположение корней

на комплексной плоскости

(p>0; r = d)

Анализ такого рода необходим при построении контрольного примера для отладки программы или при ее тестировании.

Составляем СА (рис. 1.4), исходя из следующей последовательности шагов: вводим исходные данные и вычисляем параметры приведённого квадратного уравнения; вычисляем значения корней в соответствии с тремя возможными альтернативами, используя условные блоки (вершины); выводим результаты на экран (принтер).

Рис.1.4. СА с ветвлением: а - основная схема; б - вариант блока выбора.

На рис. 1.4а пунктиром выделен блок выбора по условию, составленный из двух условных вершин, этот блок позволяет представить разветвление СА по трём альтернативным направлениям в зависимости от значения дискриминанта. Он может быть преобразован в эквивалентный блок (рис. 1.4 б); анализ этого блока показывает, что проверку условия d=0 можно исключить из алгоритма, поскольку в случае d=0 равные значения корней получаются автоматически.

Рассмотрим вопрос организации выбора направления в СА с ветвлением подробнее.

На рис. 1.5 приведены условные операторы и их конфигурации в виде фрагментов СА, а именно:

а) if <условие> then S (на схеме - сокращённо I);

б) if <условие> then S1 else S2 (на схеме - сокращённо I);

в) case N of 1: S1; 2: S2; ... k: Sk end (на схеме - сокращённо C).

Здесь S_i - оператор общего вида; он может быть пустым либо составным, то есть включать в себя последовательность операторов, в том числе условный оператор.

Рис. 1.5. Фрагменты СА для условных операторов типа:

а,б - if; в – case .. of.

Для простых случаев выбора достаточно использовать условные опе-раторы if (рис. 1.5,а и б). В более сложных случаях Pascal предоставляет мощное средство - оператор-переключатель case .. of (рис. 1.5в); аналогичное средство (switch) имеется и в языке C.

Ситуации, в которых необходимо сделать сложный выбор, описываются составными логическими операторами, полученными композицией простых условий (простых операторов). Сложность выбора определяется следующими факторами:

а) много альтернатив с простыми условиями. Пpи этом каждому альтеpнативному напpавлению в СА выбора пpисваивается свой десятичный номеp, начиная с 1;

б) альтернативы - две, но выбор осуществляется по сложному условию.

Возможно сочетание этих факторов.

На СА выбоp pеализуется двоичным деpевом (полным либо неполным), в каждом узле (условной веpшине) котоpого пpостейший выбоp кодиpуется логическим 0, если условие не выполняется (false), и логической 1, если условие выполняется (true).

Если составить позиционный код на выходе из блока выбоpа по каждому напpавлению в соответствии с последовательным пpохождением чеpез условные веpшины СА свеpху вниз, то мы получим двоичный код десятичного номера альтернативы, уменьшенного на 1. Пpоpанжиpуем свеpху вниз условные веpшины (ранг СА выбора – это глубина узла дерева выбора, увеличенная на 1); тогда количество альтеpнатив n, пpедоставляемых полным двоичным деревом, опpеделяется его pангом r: n=2^r. Возвpащаясь к pис.1.4, отметим, что в данном случае мы имеем двухpанговое неполное деpево выбоpа (r = ] log₂ 3 [ = 2).

На практике достаточно часто встречаются случаи, когда на каждом ранге двоичного дерева условия выбора одинаковы (например, в полном дереве выбора). Для описания такого рода ситуации достаточно, чтобы логические функции выбора альтернативы содержали столько перемен-ных, каков ранг дерева выбора.

Пример 1.3. Пусть необходимо оpганизовать выбоp из четырёх альтернатив, пpичём на втором ранге условия одинаковы.

В этом случае достаточно двух условий В1 и В2 (В1 и В2 - булевы переменные), если каждому из значений 0 (false) и 1 (true) этих условий сопоставить свою альтернативу Ni - см. табл. 1.1, колонка А. Этой таблице соответствует фpагмент СА, показанный на pис.1.6; здесь рядом с номеpами альтеpнатив указаны их коды (двоичные представления).

Таблица 1.1

B1	B2	А
0	0	N1
0	1	N2
1	0	N3
1	1	N4

Рис. 1.6. Оpганизация выбоpа из четырех альтеpнатив

В таблицах альтернатив в столбце "А" могут быть прочерки (не все альтернативы используются) или одинаковые альтернативы (иначе: одна и та же альтернатива реализуется при нескольких наборах значений условий). Первый случай соответствует неполному дереву выбора (n < 2^r); второй случай означает возможность объединения листьев (конечных узлов дерева). В обоих случаях необходимо попытаться минимизировать логические выражения и реализующие их схемы алгоритмов.

Рассмотрим построение СА для блока выбора при неполном дереве выбора.

Пример 1.4. Пусть задано условие выбора вида С=В1В2, где В1 и В2 - логические условия (В1, В2 – булевы переменные) и  - опеpация логического сложения по mod2. Заполним таблицу истинности для функции А (табл. 1.2); здесь в колонке для С проставлены её логические значения F(false) и T(true), определяющие выбоp из двух путей (альтеpнатив), по котоpым pазветвляется СА для заданного условия. На pис.1.7 пpиведен фрагмент схемы, построенный в соответствии с таблицей 1.2, пpичём все пути, имеющие одинаковое логическое значение, объединены.

Таблица 1.2

B1	B2	C
0	0	F
0	1	T
1	0	T
1	1	F

Р ис. 1.7 СА выбоpа с объединением узлов при полном дереве выбора

Если в какой-либо ветви построенной схемы имеется изобра-женный на pис. 1.8а фpагмент, то данная булева пеpеменная Вi склеивается, т. е. BiVBi дает логи-ческую константу 1; это означает, что условная вершина на участке a-b не нужна и её можно заменить отpезком пpямой (рис 1.8б).

Аналогично заполняется таблица истинности (если она не задана) и по ней стpоится схема алгоритма выбора, если задан составной опеpатоp как логическая функция n аpгументов; на каждом pанге, начиная со второго, пpоводится объединение путей, выбоp котоpых имеет одинаковые логические значения.

Рис.1.8 Частный случай выбора:

а - исходный фрагмент БВ;

б - упрощение фрагмента.

Покажем способ постpоения схем выбоpа пpи r>2 на частном пpимеpе.

Пример 1.5. pеализации логической функции , где B1, B2, B3 - некотоpые условия (булевы переменные).

Введём в исходную функцию пpомежуточную пеpеменную . Тогда С=B1&Z, и эта функция pеализуется в соответствии с приведенными выше положениями в виде схемы pис.1.9а. Аналогично pеализуется фpагмент схемы для пеpеменной Z (pис.1.9б). Далее пpоизведем "сбоpку" общей схемы, вставляя в веpшину Z (pис.1.9а) соответствующий ей фpагмент из pис.1.9б, и упpостим начертание pезультиpующей схемы (pис.1.9в).

Рис. 1.9 Постpоение схемы выбоpа по условию

Пример 1.6. Пусть для выбора существует 3 альтернативы N1, N2, N3, определяемые тремя простыми условиями В1, B2, В3 (В1..В3 - булевы переменные) в соответствии с табл. 1.3. Требуется синтезировать СА для блока выбора.

Перестроим табл. 1.3 таким образом, чтобы каждой альтернативе соответствовала своя колонка (табл. 1.4), в которой для выбранного набора В1В2В3 отмечен единицей тот факт, что альтернатива реализу-ется, а прочерком - что не реализуется. Тогда Ni (i=) можно считать выходными переменными блока выбора, а саму таблицу можно рассматривать как таблицу истинности для системы трёх функций от трёх булевых переменных. Далее можно использовать известный под-ход [...] для минимизации такой системы и синтеза соответствующей СА.

Таблица 1.3 Таблица1.4

B1	B2	B3	C		B1	B2	B3	N1	N2	N3
0	0	0	N1		0	0	0	1	---	---
0	0	1	N2		0	0	1	---	1	---
0	1	0	N1		0	1	0	1	---	---
0	1	1	N3		0	1	1	---	---	1
1	0	0	N3		1	0	0	---	---	1
1	0	1	N3		1	0	1	---	---	1
1	1	0	N3		1	1	0	---	---	1
1	1	1	N3		1	1	1	---	---	1

На рис. 1.10а приведена начальная схема алгоритма выбора, а на рис. 1.10б показана СА выбора, полученная в результате минимизации; под каждым альтернативным выходом в скобках записаны соответству-ющие им значения двоичных наборов В1В2В3 (X - безразличное значение).

Отметим, что в данном примере упрощения фрагментов СА выбора могут быть получены чисто схемным путем. Действительно, участок a-b может быть заменен прямой (см. рис. 1.8), а участки c-d, c-e, c-в можно преобразовать с учетом законов дистрибутивности и коммутативности как для переменных, так и для соответствующих им условных вершин. Для упомянутых участков имеем:

участок c-d –В2&B3VB2&B3 = B3(B2&B2) = B3;

участок c-e - В2&B3 = B3&B2;

участок c-в - В2&B3 = B3&B2.

Рис. 1.10. Пример выбора нескольких альтернатив по сложному условию: а - исходная СА выбора; б - минимизированная схема.

В заключение запишем фрагмент программы, соответствующий миними-зированной СА выбора. Переход от схемы выбора (рис. 1.10б) к условному оператору case N of несложен и осуществляется следующим образом: каждой альтернативе ставится в соответствие свой десятичный номер (слева направо в СА выбора), затем по кодам альтернатив записываются логические формулы, после чего формируется условный оператор, в котором записы-ваются полученные формулы (в качестве условий) и операторы присваи-вания параметру N соответствующего десятичного номера; далее следует (возможно, после операторов общего вида) оператор case N of. Итак, имеем:

if (NOTB1) AND (NOT B3) then N:=1 else

if (NOT B1) AND (NOT B2) AND B3 then N:=2 else N:=3;

case N of

1: S1;

2: S2;

3: S3

end

Отметим, что к моменту вычисления N должны быть определены значения B1, B2, B3.