3.4. Функция системы и математическая функция

В целях формализации системологических средств анализа и описания проблемных областей авторами проведены исследования, в результате которых выбран математический аппарат теории категорий, являющейся обобщением теории множеств. Сложность этого аннарата не позволяют рассмотреть его в рамках данного пособия. Однако, у читателей не должно складываться впечатление, что системология не использует формальных методов в качестве одного из своих частных инструментов.

С позиций системологии получение нового выводного знания, конечно, лишь в частном случае может основываться на формальных математических процедурах. В общем случае это должен быть прежде всего содержательный вывод, учитывающий системообразующие факторы, законы развития, адаптации и эволюции. Подмена сущностного рассмотрения конструктами и логически оправданными моделями есть отступление от системной методологии [7]. Это парадигматическое положение системологии особенно справедливо когда речь идет об анализе слабоструктурированных и слабоформализуемых проблем реальной действительности. Однако, если содержательный анализ фундаментальных закономерностей уже состоялся, имеет смысл привлечение средств математического анализа и математического моделирования для формального обоснования содержательных выводов. «Вообще, там, где цель – добывание фундаментальных знаний о действительности, задача обнаружения и исследования глубинных математических структур вполне правомерна»[22,стр. 86].

Ограничиваясь по техническим причинам (объем и тематика учебного пособия) сведениями по данному вопросу из классических работ, рассмотрим выполненное Г.П. Мельниковым соотнесение понятия "функция системы" с математическим понятием "функция" в целях обеспечения возможности формализации процедур и результатов детерминантного анализа.

Используя термин “функция” при рассмотрении систем как функциональных объектов, естественнее всего, казалось бы, вкладывать в него тот смысл, который вытекает из наиболее строгого, математического определения понятия функции. Однако практически это сделать не так-то просто, поскольку и у самих математиков в определениях понятия функции, и особенно в использовании самого термина, нет должного согласия, что ставит представителей других наук в сложное положение. Одна из главных причин этого - чрезвычайно высокий уровень универсальности и, следовательно, абстрактности понятия функции в математике, что затрудняет переход к понятиям и представлениям конкретной науки. Но поскольку нас интересуют методы исследования функционирующих систем, то было бы соблазнительно найти основания и границы соотнесения понятия функции системы с математическим понятием функции и определить, может ли математическое понятие иметь в числе своих интерпретаций понятие функции системы.

Условимся для краткости функциональный объект и, следовательно, любую систему называть также функтором, результирующее целостное следствие функционирования функтора -простым следствием, то целостное условие, которое вызвало реакцию функтора в виде простого следствия, -простым условием, а все процессы в функторе, от момента появления воздействующего на функтор простого условия до момента возникновения простого следствия -простым функциональным актом[6].

В простейшем случае функтор может быть примитивным, если под примитивностью понимать способность функтора производить единственным образом одно и тоже простое следствие при определенных, повторяющихся условиях. При этом, в зависимости от числа простых условий, необходимых для осуществления простого функционального акта, функтор может быть унарным, бинарным и вообще финитарным.

Если же рассмотреть непримитивный (для начала унарный) функтор, то его функционирование обеспечивает связь некоторых (в частности - любого) из перечня простых условий с некоторым вполне определенным простым следствием из перечня простых следствий данного функтора, так что образуется сеть, структура переходов от перечня простых условий к перечню простых следствий. Именно эта сеть простых переходов имеет прямое отношение к математическому понятию функции.

Легко убедиться, что такая схема переходов от простых условий к простым следствиям унарного непримитивного функтора полностью соответствует математическому определению унарной функции как структуры отображения элементов одного множества - элементов области отправления - на элементы другого множества - элементы области прибытия, - при котором через структуру перехода из любого элемента области отправления можно попасть не более чем в один элемент области прибытия (или не попасть вообще, если данный элемент области отправления не связан ни с одним элементом области прибытия).

Основываясь на этом параллелизме, мы можем теперь заключить, что перечень простых условий непримитивного унарного функтора соответствует перечню значений единственной независимой переменной (аргумента) функции в математике, перечень простых следствий функтора - перечню значений зависимой переменной функции в математике, а вопрос о том, какая это функция, что за функция (многие из них в математике, как известно, детально изучены и имеют специальные названия), решается на основании определения особенностей структуры переходов от простых условий к простым следствиям в процессе осуществления функтором его функции в надсистеме.

Естественно, что если примитивные функции, составляющие непримитивную, не унарны, а, например, бинарны, то и результирующая непримитивная функция будет бинарной функцией, или функцией двух аргументов.

При рассмотрении функционирования некоторых систем может обнаружиться, что система сначала переводит исходные условия в определенные следствия, а потом использует эти следствия как условия для перевода их в новые следствия. Эта ситуация также имеет точный математический аналог. Если значения зависимой переменной некоторой функции становятся значениями аргументов другой функции, то о такой двухзвенной функции говорят как о произведении двух функций. Следовательно, и в функторе возможно осуществление произведения функций, двух и большего их числа.

Поскольку функтор выступает как причина превращения совокупности простых условий в совокупность простых следствий с помощью простых воздействий, то в тех случаях, когда на определенном этапе исследования важно только констатировать природу связи между этими двумя совокупностями, можно всю совокупность рассматривать как простую причину или простое следствие, т. е. рассматривать как единицы более высокого уровня. Из набора таких единиц снова может быть образован непримитивный функтор, и сеть переходов между его условиями и следствиями снова соотносима с математической функцией. Следовательно, можно говорить о многоуровневой организации функторов, при которой параллелизм характеристик функтора с математическим понятием функции не утрачивает силы.

Сеть переходов от условий к следствиям (либо непосредственно от перечня простых условий к перечню простых следствий, либо более детальная, от элементов простых условий к элементам простых следствий) оказывается непременной структурной характеристикой функции любого функтора.

Подчеркнем, что мы вправе не только в структурных, но еще и в качественных преобразованиях видеть следствия изменения структуры, формы, и поэтому в общем случае исходить из того, что функтор, навязывая простому условию определенные свойства, выступает как “формирователь”, “навязыватель” формы (структуры) составным частям - элементам этих простых условий.

Но эта структура математической функции, тождественная структуре переходов в реальном функторе, оказывается отражением, выражением лишь структурной характеристики функции. Функция функтора как причина приобретения материалом новой формы не исчерпывается структурной характеристикой, и поэтому математическая функция не может быть отождествлена с функцией функтора.

Если теперь соотнести математическую функцию с реальным функтором и словесно или символически выразить, каковы качественные свойства начальных пунктов перехода и какова качественная природа самого перехода, то мы получим не математическую функцию, а одну из бесконечного числа возможных ее интерпретаций.

Математическая функция остается мертвым скелетом, схема которого изоморфна, подобна схемам взаимосвязи и взаимодействий не одного , а целого класса функторов, которые выступают либо как отражение надстроечных компонентов некоторых реальных систем, либо интересуют нас как абстрактные образы [6].

Поэтому одна и та же математическая функция помогает нам зафиксировать как “динамические” характеристики описываемого математически объекта, если отражаемая функцией схема ставиться в соответствии с направлениями перемещений, потоков или сил, характерных для этого объекта, так и “статические”, если мы соотносим ее со схемой “перемычек” между элементами моделируемого объекта или со схемой “каналов”, по которым в объекте протекают потоки взаимодействий.