4.3. Криві другого порядку

Еліпс і коло.

Еліпсом називається множина точок на площині, сума відстаней від яких до двох точок, які називаються фокусами, є стала величина. Вона дорівнює 2а і більша за відстань між фокусами (2с) (рис. 2).

0

Рисунок 2 – Еліпс

Канонічне рівняння еліпса:

(4.16)

Де а велика піввісь еліпса, b мала піввісь еліпса.

Між а, b, c існує зв’язок:

(4.17)

Форму еліпса та геометричний зміст а, b, c можна побачити на рисунку 2. Ексцентриситет еліпсу дорівнює :

. (4.18)

так як с<a, то ексцентриситет еліпса . У випадкус=0, тобто маємо коло. Для йогоа=b=r, тобто рівняння кола:

(4.19)

Якщо центр кола знаходиться у точці С(а;b), то рівняння кола буде:

(4.20)

Для довільної точки еліпсу відстань до фокусівназивається фокальними радіусами точкиМ. Вони визначаються так:

. (4.21)

Приклад. Скласти рівняння еліпсу, якщо мала піввісь дорівнює 6, а ексцентриситет 0,8.

Розв’язок.

За умовою . З формули (4.18). За формулою (4.17).

Рівняння еліпсу буде .

Для засвоєння теми розв’яжіть наступні задачі [2], № 169, 172, 182, 183.

Гіпербола.

Гіперболою називається множина точок на площині, абсолютне значення величини різниці відстаней від двох точок, які називаються фокусами, є величина стала. Цю величину позначають 2с і вона повинна бути не рівною нулю і менше, ніж відстань між фокусами (рис. 3).

0

Рисунок 3 – Гіпербола

Канонічне рівняння гіперболи:

(4.22)

де а – дійсна піввісь, b – умовна піввісь.

Так як відстань між фокусами 2с. то а, b, c пов’язані між собою залежністю:

(4.23)

ексцентриситет гіперболи дорівнює:

. (24)

так як с>a, то ексцентриситет гіперболи .