Ι. Елементи лінійної алгебри. Визначники та матриці

1.1. Визначники 2-го і 3-го порядку

Визначники ΙΙ і вищих порядків. Поняття визначника виникає в зв'язку з задачею розв’язання систем лінійних рівнянь. Розглянемо систему лінійних рівнянь із двома невідомими:

(1.1)

Розв’язуючи систему рівнянь (1), одержимо:

(1.2)

Аналогічно:

(1.3)

Система має розв’язок, якщо знаменники (2) і (3) не дорівнює 0.

В цих формулах знаменник

(1.4)

називається визначником другого порядку системи рівнянь (1). Чисельники формул (2) і (3) можна записати як визначники другого порядку

Числа, що утворюють визначник, називаються його елементами та позначаються подвійними індексами а_{i j}, i-номер рядка, j –номер стовпця. Визначник другого порядку обчислюється як різниця добутків елементів головної діагоналі а_{1 1} а₂₂ і елементів допоміжної діагоналі а₁₂ а_{2 1} (формула (4)).

Основні властивості визначників

1. Визначник не зміниться, якщо рядки і стовпці поміняти місцями.

Приклад.

Так:

.

Це позначається так

З цього випливає, що всі властивості, що відносяться до рядків, будуть відноситись і до стовпців.

2. Якщо визначник має два однакових або пропорційних стовпця, то він дорівнює 0.

3. Якщо поміняти місцями будь-яких два стовпця, то визначник змінить лише знак.

Приклад. Поміняємо місцями рядки попереднього прикладу:

Приклад. Поміняємо місцями рядки попереднього прикладу:

4. Загальний множник стовпця (рядка) можна винести за знак визначника.

Визначники ΙΙΙ порядку обчислюють за правилом:

1. приписують два перших стовпця за визначником;

2. знаходять суму добутків елементів, які стоять на головних та допоміжних діагоналях визначника;

3. добутки елементів, що стоять на головних діагоналях утвореного визначника, записують із знаком “+”;

4. добутки елементів, що стоять на допоміжних діагоналях утвореного визначника, записують із знаком “–”.

Приклад. Обчислити визначник:

Обчислюємо визначник матриці В, дописавши два перших стовпця

Визначники ΙΙΙ і старших порядків обчислюються розкладанням за елементами стовпця (рядка).

Розкладання визначника за рядком і:

(1.5)

Розкладання визначника по стовпцю j:

(1.6)

де називається алгебраїчним доповненням елементу.- це визначник, отриманий з визначникавилученням рядкаm та стовпця j. Позначається алгебраїчне доповнення так: .

Порада. Вибирається рядок або стовпець, що має найбільше число елементів, що дорівнюються 0. Визначники вищих порядків обчислюються тільки таким методом.

Приклад. Обчислити визначник:

.

Розв’язок.

Обчислюємо визначник, розкладаючи його за елементами першого рядка.

Для засвоєння теми розв’яжіть наступні задачі [2]: № 586, 592, 564, 597.

1.2. Матриці

матриця – це прямокутна таблиця чисел, що містять m рядків однакової довжини n (або n стовпців однакової довжини ). Розмірність такої матриці. Кожен елемент матриці має два індекси. Перший індекс це номер рядка, а другий - номер стовпця.матриця зображується таким чином:

.

Якщо розмірність матриці (), то вона називається квадратною. Квадратні матриці мають головну і допоміжну діагоналі. Якщо вище головної діагоналі (або нижче головної діагоналі) всі елементи дорівнюють 0, то така матриця називається трикутною. Якщо тільки елементи головної діагоналі відмінні від 0, то матриця називається діагональною. Коли в діагональній матриці всі елементи дорівнюють 1, то вона називається одиничною і позначаєтьсяЕ. Вона виконує роль одиниці при множенні матриць. Матриці, що мають тільки один рядок або один стовпець, називаються матрицями - рядками або матрицями - стовпцями.