2.2. Метод Гаусса

Розв’язання системи рівнянь методом Гаусса зводиться до отримання системи рівнянь з трикутною матрицею коефіцієнтів.

Розглянемо цей метод на прикладі.

Приклад 1. Знайти розв’язок системи рівнянь методом Гаусса

.

Розв’язок.

На першому етапі розв’язку запишемо коефіцієнти рівнянь та вільні члени b у таблицю 1. Підрахуємо суму елементів в рядках та запишемо їх у контрольний стовпець.

Таблиця 1

№ етапу	Х1	Х2	Х3	b	контроль
1	1	2	2	3	8
	2	3	5	10	20
	3	7	4	3	17

На другому етапі елементи першого рядка розділимо на коефіцієнт при Х₁ тобто на 1. Цей елемент називається головним. З інших рівнянь виключаємо цю змінну, для чого всі інші елементи першого стовпця замінюємо нулями. Решту елементів визначаємо за правилом “прямокутника”:

• вибраний та головний елементи утворюють дві перші вершини прямокутника, дві другі вершини знаходяться як симетричні;

• знаходимо різницю добутків елементів перших двох вершин та других вершин.

Зауваження. Елементи контрольного стовпця та стовпця вільних членів обчислюються так само, як і інші елементи матриці

Таблиця 2 стає такою:

Таблиця 2

№ етапу	Х1	Х2	Х3	b	контроль
II	1	2	2	3	8
	0	-1	1	4	4
	0	1	-2	-6	-7

Перевірка. Числа контрольного стовпця, які визначені за правилом “прямокутника”, є також і сумами елементів в рядках.

На третьому етапі перший та другий рядки залишаються без змін. На цьому етапі головним елементом стає другий елемент головної діагоналі. Розділимо всі елементи другого рядка на головний елемент (розділимо на -1). Елементи третього рядка під ним замінюємо нулями. Усі інші елементи визначаємо за правилом “прямокутника”. Таблиця має вид (таблиця 3).

Таблиця 3

№ етапу	Х1	Х2	Х3	b	контроль
III	1	2	2	3	8
	0	1	-1	-4	-4
	0	0	-1	-2	-3

В третьому рядку елемент третього стовпця дорівнює -1, розділимо елементи третього рядка на нього.

Перевірка. Числа контрольного стовпця, визначені за правилом “прямокутника” є також сумами всіх чисел у відповідному рядку.

Отримана система лінійних рівнянь має трикутну матрицю коефіцієнтів (таблиця 4).

Таблиця 4

№ етапу	Х1	Х2	Х3	b	контроль
III	1	2	2	3	8
	0	1	-1	-4	-4
	0	0	1	2	3

Система лінійних рівнянь, відповідних таблиці 4, має такий вигляд:

.

Підставимо Х₃=2 у друге рівняння і отримаємо Х₂=-2, а Х₃=2, Х₂= -2 підставимо у третє рівняння, отримаємо Х₁=3.

1. В прикладі отримана трикутна система рівнянь, яка має один розв’язок.

2. Як що в наслідок розв’язку системи методом Гаусса отримана трапецієвидна система рівнянь, то система має нескінченну множину розв’язків.

3. Система лінійних рівнянь може бути несумісною.

Приклад 2. Знайти розв’язок системи рівнянь методом Гаусса.

Розв’язок.

На першому етапі розв’язку запишемо коефіцієнти рівнянь та вільні члени b у таблицю 1. Підрахуємо суму елементів по рядкам та запишемо їх у контрольний стовпець.

Таблиця 1

№ етапу		Х1		Х2		Х3		b		контроль
I	2		6		-8		6		2
	0		7		-7		1		1
	4		-2		-2		10		10

На другому етапі елементи першого рядка розділимо на коефіцієнт при Х₁ тобто на 2. З інших рівнянь виключаємо цю змінну, для чого всі інші елементи першого стовпця замінюємо нулями. Залишені елементи визначаємо за правилом “прямокутника”.

Таблиця 2

№ етапу		Х1		Х2		Х3		b		Контроль
ΙΙ	1		3		-4		3		3
	0		7		-7		1		1
	0		-14		14		-2		-2

Перевірка. Числа контрольного стовпця, визначені за правилом “прямокутника”, є також сумами елементів в рядках.

На третьому етапі перший та другий рядок залишаються без зміни. На цьому етапі головним елементом стає другий елемент головної діагоналі. Розділимо всі елементи другого рядка на головний елемент (на 7). Елемент третього рядка під ним замінюємо нулем. Усі інші елементи визначаємо за правилом “прямокутника”. Таблиця має вид (таблиця 3).

Таблиця 3

№ етапу		Х1		Х2		Х3		b		контроль
IΙΙ	1		3		-4		1		1
	0		1		-1		1/7		1/7
	0		0		0		0		0

Отримана трапецієвидна система рівнянь. Вона має нескінченну множину розв’язків:

.