3.1. Лінійні операції з векторами

Сумою векторів називається вектор, замикаючий ломану, побудовану з даних векторів, який проведений від початку векторав кінець вектора, при умові, що початок вектораприкладений до кінця вектора,а початок вектораприкладений до кінця вектора.

Якщо вектори задані своїми проекціями ,, то їх алгебраїчна сума дорівнює алгебраїчній сумі відповідних координат:

. (3.7)

добутком вектора на числок називається новий вектор, проекції якого є добуток числа к на відповідну координату:

,

модуль якого , а напрямок якого співпадає з, якщоk>0 або протилежний, якщо k,<0.

Для засвоєння теми розв’яжіть наступні задачі [2]: № 387, 390.

3.2. Скалярний добуток векторів

Скалярним добутком двох векторів називається число, що дорівнює добутку модулів цих векторів та косинуса кута між ними:

. (3.8)

Скалярний добуток двох векторів це також добуток модуля одного з векторів на проекцію другого вектора на перший вектор:

. (3.9)

Властивості скалярного добутку:

1. .

2. .

3. Якщо , тоді. Отже:

. (3.10)

Якщо вектори задані координатами то

. (3.11)

Приклад. Знайти роботу, виконану силою ,яка прикладена до матеріальної точки, що проходить шлях від точки B(1;0;1) до точки C(-2;1;0).

Розв’язок:

Робота обчислюється за формулою

, (3.12)

де .

Підставивши йу зазначену формулу, одержимо

.

Кут між векторами:

. (3.13)

Умови паралельності векторів:

. (3.14)

Умови перпендикулярності векторів:

. (3.15)

Приклад. Визначити координати вектора , колінеарного вектору, знаючи, щоі він спрямований у тому ж напряму, що і вектор.

Розв’язок.

Якщо вектори, тоді виконується співвідношення (3.14).

Підставивши координати вектора , одержимо

або

, ,.

Тоді

;

;

.

Тому що вектора іспрямовані в одну сторону, тоді. Отже,

.

Приклад. Знайти , якщо,.

Розв’язок:

Для розв’язку цієї задачі варто скористатися формулою:

.

Знайдемо і, пам'ятаючи, що,,.

,

.

Тоді

.

Для засвоєння теми розв’яжіть наступні задачі [2]: № 399, 406.

Приклад. Задані вектори: (0,1;0,5;2,7), =(1,4;8,4;9,1),=(5,6;2,8;5,1),= (8,5;8,2; 9,3).

Знайти: вектори

1. = 6,2;

2. ;

3. довжину вектора ;

4. скалярний добуток векторів ;

5. кут між векторами та;

6. знайти проекцію вектора на вектор.

Розв’язок.

1. Вектор =6,2=(0,62;3,1;16,74).

2. Вектор =(1,4-5,6; 8,4-2,8;9,1-5,1)=(-4,2;5,6;4,0).

3. Довжина вектора =.

4. Скалярний добуток векторів

;

5. Кут між векторами та:

.

6. Проекція вектора на вектор:

Приклад. Знайти вектор , що задовольняє умовам:,,. Вектори,,.

Розв’язок.

Запишемо систему

або

,

з якої одержимо:

.

Таким чином, .

Для засвоєння теми розв’яжіть наступні задачі [2]: № 426, 429.

4. Аналітична геометрія на площині

4. 4.1. Довжина відрізку та ділення відрізку у даному відношенні.

Відстань між точками. Відстань між двома точками тадорівнює кореню квадратному зі суми квадратів різниць однойменних координат цих точок:

(4.1)

приклад. Задані точки А(8,0;2,5) та В(8,9;2,1). Знайти відстань між двома точками А та В.

Підставивши координати точок у формулу (4.1), маємо:

Для засвоєння теми розв’яжіть наступні задачі [2], №4, 18, 19.

Ділення відрізку в заданому відношенню

Розглянемо відрізок АВ, заданий координатами точок та. Точкаподіляє відрізок АВ у відношенні:(рис. 1).

Рисунок 1 – Ділення відрізку

координати точки С визначаються формулами:

(4.2)

Коли , тобто точкаС поділяє відрізок АВ пополам, то формули приймають вигляд:

(4.3)

приклад. Знайти координати точки С, яка поділяє відрізок АВ пополам.

Розв’язок. Координати точки С визначаємо за формулами (4.3)

Для засвоєння теми розв’яжіть наступні задачі [2], №28, 29.

4.2. Рівняння прямої на площині

Рівняння прямої в прямокутній системі координат є рівняння першої степені відносно змінних х та у. Рівняння прямої на площині задається в одному з таких видів.

Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом та заданим відрізком на осі ОУ:

(4.4)

де k – кутовий коефіцієнт прямої. Він характеризує напрямок прямої та дорівнює тангенсу кута нахилу прямої від додатного напрямку осі ОХ;

b –довжина відрізку, який відтинає пряма на осі ОУ.

Рівняння прямої, яка проходить через дві задані точки та:

. (4.5)

Приклад. Трикутник заданий своїми вершинами А (8,0; 2,5), В(8,9; 2,1), С(2,4; 4,3). Знайти рівняння сторін АС та ВС.

Розв’язок.

Рівняння сторін АС та ВС знаходимо, як рівняння прямих, які проходить через дві задані точки (4.5).

Рівняння сторони АС:

Підставляємо координати та отримаємо: або.

Відповідно рівняння сторони Вс: або;.

Рівняння прямої, яка проходить через задану точку в заданому напрямі:

(4.6)

де k – кутовий коефіцієнт прямої

Рівняння прямої в відрізках на осях:

(4.7)

де a – величина відрізку, що відтинає пряма на осі ОХ.,

b – величина відрізку, що відтинає пряма на осі ОУ.

Загальне рівняння прямої:

. (4.8)

Нормальне рівняння прямої:

(4.9)

де p – довжина перпендикуляру з початку координат на пряму,

–кут між додатним напрямком осі ОХ та перпендикуляром . Будь яке рівняння прямої видуможна привести до нормального виду, для чого його треба помножити на нормуючий множник:

(4.10)

Нормуючий множник повинен мати знак, протилежний знаку вільного члена С даного рівняння.

Відстань від точки до прямої заданої нормальним рівнянням дорівнює:

(4.11)

Якщо пряма задана загальним рівнянням (4.8), то відстань від точки до прямоїдорівнює:

. (4.12)

Приклад. Для трикутника АВС, заданого своїми вершинами А(8,0; 2,5), В(8,9; 2,1), С(2,4; 4,3), знайти довжину перпендикуляру BF.

Розв’язок. Знайдемо довжину перпендикуляру BF як відстань між точкою В та стороною АС.

Приводимо рівняння сторони АС до загального виду

, ,.

Знаходимо довжину перпендикуляру BF за формулою (12):

Кут між прямими.

Кутом між прямими.називається кут, на який треба повернутинавколо точки їх перетину проти ходу годинникової стрілки до збігу її з. Для прямих, які задані рівнянням з кутовим коефіцієнтом та , кут між ними визначається за формулою:

(4.13)

Для паралельних прямих:

(4.14)

Для перпендикулярних прямих:

(15)

Приклад. Знайти кут між сторонами АС та ВС трикутника АВС, заданого своїми вершинами А (8,0; 2,5), В(8,9; 2,1), С(2,4; 4,3).

Розв’язок . Приводимо загальне рівняння сторони АС до виду рівняння з кутовим коефіцієнтом (4.4): ,, для рівняння сторониАС кутовий коефіцієнт .

Приводимо загальне рівняння сторони ВС до виду рівняння з кутовим коефіцієнтом

, ,.

Для рівняння сторони ВС кутовий коефіцієнт .

Для визначення кута між сторонами АС та ВС трикутника АВС використаємо формулу (4.13):

, .

Приклад. Знайти рівняння висоти BF трикутника АВС заданого своїми вершинами А(8,0; 2,5), В(8,9; 2,1), С(2,4; 4,3).

Розв’язок.

Висота BF трикутника АВС перпендикулярна до сторони АС, та проходить через точку В. Це відповідає рівнянню прямої, яка проходить через задану точку в заданому напрямі З умов перпендикулярності двох прямих (4.15) знаходимо кутовий коефіцієнт прямої BF. Кутовий коефіцієнт АС . Кутовий коефіцієнт прямоїBF

Рівняння висоти BF трикутника АВС :

Приклад. Знайти точку перетину медіани АD та висоти BF трикутника АВС, заданого своїми вершинами А(8,0; 2,5), В(8,9; 2,1), С(2,4; 4,3).

Розв’язок.

Точка , точка перетину медіаниАD та висоти BF трикутника АВС, находиться як розв’язок системи рівнянь прямих: медіани АD та висоти BF. Рівняння висоти BF трикутника АВС

знаходимо координати точки D за формулами (4.3):

Рівняння медіани АD находимо як рівняння прямої, яка проходить через дві точки А та D

; ,

або

Знаходимо точку перетину медіани АD та висоти BF трикутника АВС:

;.

Розв’язуємо систему рівнянь за формулами Крамера. Визначник системи рівнянь .

Визначник ,.

Визначник ,.

Відповідь: точка перетину медіани АD та висоти BF трикутника АВС точка .

Для засвоєння теми розв’яжіть наступні задачі [2], № 95, 96, 133, 134.