тимс - Лекції / понятие и элементы теории выборки / Лекція 2.1

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

ГОРЛІВСЬКИЙ ТЕХНІКУМ ДОНЕЦЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО УНІВЕРСИТЕТУ

.

ЛЕКЦІЯ № 16

з теми: «ВАРІАЦІЙНІ РЯДИ. СЕРЕДНІ ВЕЛИЧИНИ. ПОКАЗНИКИ

ВАРІАЦІЇ.»

Модуль КЗН-02. ПР.О.10.01 Поняття та елементи теорії вибірок

Дисципліна: «Теорія ймовірностей та математична статистика»

Розглянуто та схвалено на засіданні циклової комісії інформаційних технологій та прикладної математики. Протокол № ____ від _______20__ р. Голова циклової комісії ПМ Велікодна О. В.

Розробив викладач Велікодна О. В.

ПЛАН ЗАНЯТТЯ

Дата: курс: ІІІ

Викладач: Велікодна Ольга Володимирівна.

Тема: Варіаційні ряди. Середні величини. Показники варіації.

Мета:

• Дидактична: ознайомитись з основними методами статистичних досліджень, розглянути варіаційний ряд як основний об’єкт статистичного дослідження, вивчити його середні показники – середнє арифметичне, медіану та моду, показники варіації – дисперсію, асиметрію та ексцес.

• Виховна: виховувати серйозне ставлення до математики як науки, здатність читати математичну літературу, вміння чітко формулювати власні думки.

• Методична: вдосконалити методику проведення лекційного заняття.

Тип: лекція № 16.

Вид: лекція – діалог.

Методи та форми проведення заняття: язиковий, репродуктивний. наглядний, індуктивний, методи усного контролю знань.

Науково-методичне забезпечення:

1. Кремер Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. – М.: ЮНИТИ – ДАНА, 2002.

2. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика.- М.: Высшая школа, 1977.

3. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. - М.: Высшая школа, 1979.

4. Данко П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 2. Учебное пособие для вузов. – М.: Издательский дом «ОНИКС 21 век»: Мир и Образование, 2002.

5. Медведева М. И., Новожилова Е. Г. Теория вероятностей и математическая статистика с применением информационных технологий: Учеб. пособие. – Донецк: ДонНУ, 2002.

Між предметні зв’язки:

• Дисципліни, що забезпечують – дискретна математика, математичний аналіз.

• Дисципліни, що забезпечуються – моделювання виробничих та економічних процесів, математична економіка.

Обладнання: зошити, ручки, крейда, дошка.

ХІД ЗАНЯТТЯ

1. Організаційна частина:

1. відсутні;

2. підготовка до заняття;

3. перевірка д/з.

2. Актуалізація опорних знань:

• Дати визначення випадкової величини. Визначити види випадкових величин. Навести приклади.

• Визначити закон розподілу дискретної випадкової величини. Навести приклади.

• Визначити щільність розподілу неперервної випадкової величини.

• Визначити основні числові характеристики випадкових величин: математичне сподівання, дисперсію, середнє квадратичне відхилення. Яку інформацію несуть ці числові характеристики про випадкову величину?

• Функція розподілу випадкової величини: дискретної та неперервної. Властивості функції розподілу.

• Визначити графічні зображення варіаційних рядів.

• Визначити кумуляту та емпіричну функцію розподілу. Пояснити особливості цих кривих для дискретних та неперервних варіаційних рядів.

3. Вивчення нового матеріалу:

Тема лекції: Варіаційні ряди. Середні величини. Показники варіації.

• Мотивація вивчення матеріалу: в сучасному світі теорія ймовірностей є найважливішою та найцікавішою наукою, що має багато парадоксальних висновків, але чітко описує всі процеси та їх наслідки, що можливо дослідити. Вивчення основних питань теорії ймовірностей дозволяє розширити можливості спеціаліста – програміста, надає більш глибоке бачення економічних, природничих та інших явищ у суспільстві.

• План вивчення нового матеріалу: надається в конспекті лекції.

4. Виклад нового матеріалу: конспект лекції надається.

5. Закріплення нового матеріалу.

6. Підсумки заняття.

7. Домашнє завдання:

Конспект лекції № 16.

Тема: «ВАРІАЦІЙНІ РЯДИ. СЕРЕДНІ ВЕЛИЧИНИ. ПОКАЗНИКИ

ВАРІАЦІЇ.»

План лекції № 16.

1. Варіаційні ряди та їх середні величини.

2. Показники варіації.

Середні величини – характеризують значення ознаки, навколо якого концентруються спостереження.

Визначення: Середньою арифметичною варіаційного ряду називається сума добутків всіх варіантів на відповідні частоти, ділена на суму частот: . Оскільки , то .

Приклад:

Знайти середню виробітку працівників по таблиці 1.

, де числа 97,103, ... 133, 139 – середини відповідних інтервалів.

Для не згрупованого ряду всі частоти п_і=1 і .

Властивості середньої арифметичної:

1. Середня арифметична постійної дорівнює самій постійній.

2. Якщо всі варіанти збільшити (зменшити) в одну і ту ж кількість разів, то середня арифметична збільшується (зменшується) у стільки ж разів. .

3. Якщо всі варіанти збільшити (зменшити) на одне і теж число, то середня арифметична збільшиться (зменшиться) на те ж число.

4. Середня арифметична відхилень варіантів від середньої арифметичної дорівнює нулю. .

5. Середня арифметична алгебраїчної суми декількох ознак дорівнює такій самій сумі середніх арифметичних цих ознак: .

6. Якщо ряд складається з декількох груп, загальна середня дорівнює середній арифметичній групових середніх, до того ж вагами є об’єми груп.

Окрім аналітичних середніх величин використовують порядкові середні.

Визначення:

Медіаною варіаційного ряду називається значення ознаки, що приходиться на середину ранжованого ряду спостережень.

Медиана — это такое значение признака, которое разделяет ранжированный ряд распределения на две равные части — со значениями признака меньше медианы и со значениями признака больше медианы. Для нахождения медианы, нужно отыскать значение признака, которое находится на середине упорядоченного ряда. В ранжированных рядах несгруппированные данные для нахождения медианы сводятся к поиску порядкового номера медианы. Медиана может быть вычислена по следующей формуле:

где Хm — нижняя граница медианного интервала; im — медианный интервал; Sme— сумма наблюдений, которая была накоплена до начала медианного интервала; fme — число наблюдений в медианном интервале.

Свойства медианы

1. Медиана не зависит от тех значений признака, которые расположены по обе стороны от нее. 2. Аналитические операции с медианой весьма ограничены, поэтому при объединении двух распределений с известными медианами невозможно заранее предсказать величину медианы нового распределения. 3. Медиана обладает свойством минимальности. Его суть заключается в том, что сумма абсолютных отклонений значений х, от медианы представляет собой минимальную величину по сравнению с отклонением X от любой другой величины

Графическое определение медианы

Для определения медианы графическим методом используют накопленные частоты, по которым строится кумулятивная кривая. Вершины ординат, соответствующих накопленным частотам, соединяют отрезками прямой. Разделив пополам последнюю ординату, которая соответствует общей сумме частот и проведя к ней перпендикуляр пересечения с кумулятивной кривой, находят ординату искомого значения медианы.

Визначення:

Модою варіаційного ряду називається варіант, якому відповідає найбільша частота.

Нахождение моды и медианы в контрольных по статистике происходит путем обычного просматривания столбца частот. В этом столбце находят наибольшее число, характеризующее наибольшую частоту. Ей соответствует определенное значение признака, которое и является модой. В интервальном вариационном ряду модой приблизительно считают центральный вариант интервала с наибольшей частотой. В таком ряду распределения мода вычисляется по формуле:

где ХМо — нижняя граница модального интервала; imo — модальный интервал; fм0, fм0-1,, fм0+1 - частоты в модальном, предыдущем и следующем за модальным интервалах. Модальный интервал определяется по наибольшей частоте. Мода широко используется в статистической практике при анализе покупательного спроса, регистрации цен и т. д.

Для одномодального симметричного ряда распределения средняя арифметическая, медиана и мода совпадают. Для асимметричных распределений они не совпадают. К. Пирсон на основе выравнивания различных типов кривых определил, что для умеренно асимметричных распределений справедливы такие приближенные соотношения между средней арифметической, медианой и модой:

Показники варіації (відбивають мінливість ознаки).

Визначення: Варіаційний розмах .

Визначення: Середнім лінійним відхиленням варіаційного ряду називається середня арифметична абсолютних величин відхилень варіантів від їх середньої арифметичної: .

Визначення: Дисперсією варіаційного ряду називається середня арифметична квадратів відхилень варіантів від їх середньої арифметичної .

Дисперсію називають вибірковою.

Середнє квадратичне відхилення .

Основні властивості дисперсії:

1. Дисперсія постійної дорівнює нулю.

2. Якщо всі варіанти збільшити (зменшити) в одне і те ж число k разів, то дисперсія збільшиться (зменшиться) в k² разів.

3. Якщо всі варіанти збільшити (зменшити) на одне і те ж число, то дисперсія не зміниться.

4. Дисперсія дорівнює різниці між середньою арифметичною квадратів варіантів і квадратом середньої арифметичної.

5. Якщо ряд складається з декількох груп спостережень, то загальна дисперсія дорівнює сумі середньої арифметичної групових дисперсій і між групової дисперсії. .

Приклади: стор. 277.