dinamics time series / 5

В обоих случаях все P-значения для статистики QLB больше 0.05, так что гипотеза о том, что в специфицированных моделях составляющие εt образуют процесс белого шума, не отвергается. Заметим также, что в обоих случаях не отвергается гипотеза нормальности распределения εt : P-значения критерия Jarque – Bera равны, соответственно, 0.480 и 0.608. Об оправданности применения последнего критерия при анализе временных рядов будет сказано ниже.

Проверка предположения о нормальности

Многие статистические процедуры, используемые при анализе временных рядов, опираются на предположение гауссовости (нормальности) анализируемого ряда. Последнее означает, что для любого набора t1, …, tn случайные величины Xt 1 ,K, Xt n

имеют совместное нормальное распределение.

Имея в распоряжении одну единственную реализацию временного ряда, просто невозможно проверить справедливость такого утверждения. В то же время, еще возможно проверить гипотезу о нормальности одномерного (маргинального) распределения стационарного временного ряда. Соответствующая процедура была предложена в работе Ломницкого [Lomnicki (1961)]. Пусть

нормальные распределения с нулевыми математическими ожиданиями и дисперсиями

www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm

Оценить эти дисперсии можно, заменив бесконечные суммы степеней автокорреляций ρ(k) конечными суммами степеней выборочных автокорреляций r(k).

которые при гипотезе нормальности имеют распределения, аппроксимируемые стандартным нормальным распределением. Поскольку последние статистики еще и асимптотически независимы, то при T → ∞

(G1 )2 +(G2 )2 ≈ χ 2 (2) .

распределение статистики G2 плохо приближается нормальным распределением.

Более того, процедура проверки здесь весьма общая (структура временного ряда не специфицируется). Поэтому критерий нормальности, основанный на статистике

(G1 )2 +(G2 )2 , имеет довольно низкую мощность при применении его к моделям AR и

MA, т.е. слишком часто не отвергает гипотезу нормальности ряда Xt , когда она не верна.

Более подходящей является в этом отношении аналогичная процедура, применяемая не к самому ряду Xt , а к остаткам, полученным при оценивании специфицированной модели ряда Xt . В моделях AR и MA остатки состоятельно оценивают инновации εt , которые, в предположении нормальности, являются независимыми, одинаково распределенными случайными величинами, имеющими распределение N(0, σ2). Поэтому при применении метода Ломницкого для проверки предположения о нормальности инноваций, мы получаем:

(т.к. для ряда инноваций ρ(k) = 0 при k ≠ 0),

а это есть статистика, используемая для проверки нормальности в популярном критерии Jarque – Bera [Jarque, Bera (1980)].

Таким образом, критерий Jarque – Bera можно использовать не только в рамках классической модели регрессии (с фиксированными значениями объясняющих переменных), но и для проверки нормальности инноваций в моделях временных рядов, помня, конечно, о том, что это всего лишь асимптотический критерий. Для улучшения приближения статистики критерия распределением хи-квадрат, в пакете EVIEWS в статистике критерия вместо множителя T используется множитель (T– K), где K – количество коэффициентов, оцениваемых при построении модели исследуемого ряда.

Правда, здесь мы не заметили еще одного ”подводного камня”. Мы предполагали неявно, что остатки берутся как результат оценивания правильно идентифицированной модели. Как будет влиять на свойства критерия неправильное определение порядка модели?

www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm

При больших T критерий Шварца достаточно надежно определяет порядок (p, q) модели ARMA, так что проверка нормальности инноваций по модели, выбранной критерием Шварца, асимптотически равносильна проверке нормальности инноваций по правильно идентифицированной модели.

На третьем шаге производят также проверку выбранной модели на “оптимальность”, имея в виду, что “более сложные” модели не должны существенно отличаться от подобранной модели. Точнее говоря, при увеличении порядка модели оценки коэффициентов при добавленных составляющих должны быть статистически незначимыми, а оценки коэффициентов при сохраняемых составляющих должны изменяться не очень существенно.

Пример

Обращаясь опять к результатам оценивания MA(1) и AR(1) моделей для данных о потреблении рыбных продуктов в США, замечаем, что гипотеза H0 : a1 = 0 в AR(1) модели и гипотеза H0 : b1 = 0 в МA(1) модели не отвергаются. Это означает, что обе эти модели могут быть редуцированы к модели MA(0)

Xt = µ + εt .

Оценивая последнюю, получаем:

Но оцененная коррелограмма для этой модели была уже приведена выше, в самом начале рассмотрения данного примера, и именно она дала повод рассматривать в качестве возможных кандидатур модели AR(1) и MA(1). При этом, решая вопрос о статистической значимости ρ(1) и ρpart(1), мы опирались на асимптотические результаты, хотя имели в распоряжении лишь небольшое количество наблюдений, и это может быть причиной несогласованности полученных выводов.

Впрочем, мы можем воспользоваться и точным критерием, основанным на статистике Дарбина – Уотсона. Поскольку в последней модели нет никаких объясняющих переменных кроме константы, можно получить таблицы непосредственно для критических значений этой статистики, а не для границ, между которыми заключены эти критические значения. Соответствующие критические значения приведены в работе [Sargan, Bhargava (1983)] . В частности, для уровня значимости 0.05 и T= 21 критическое значение равно 1.069. Ориентируясь на него, мы не отвергаем гипотезу о том, что наблюдаемые данные порождены процессом MA(0).

Сравним оцененные модели MA(0), MA(1) и AR(1) по критериям Акаике и Шварца.

www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm

Предпочтительной по критерию Акаике является модель AR(1), тогда как с точки зрения критерия Шварца более предпочтительна модель MA(0). Такое положение в практическом анализе временных рядов возникает достаточно часто: если критерии Акаике и Шварца выбирают разные модели, то критерий Акаике выбирает модель более высокого порядка.

Пример

Обратимся теперь к приведенной в разд. 3.1 реализации процесса авторегрессии второго порядка Xt = 1.2 Xt–1 – 0.36 Xt–2 + εt . Используя выборочную коррелограмму, построенную по этой реализации, мы (правильно) идентифицировали порядок этого процесса. Среди AR моделей порядков 4, 3, 2 и 1 оба критерия AIC и SIC также выбрали модель второго порядка. Оценивание модели с ненулевым математическим ожиданием нелинейным методом наименьших квадратов приводит к следующим результатам.

Dependent Variable: X

Sample(adjusted): 3 500

Included observations: 498 after adjusting endpoints

Convergence achieved after 3 iterations

www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm

что в специфицированной модели составляющие εt образуют процесс белого шума, не отвергается. Не отвергается также и гипотеза нормальности εt (P-значение в критерии Jarque – Bera равно 0.616). Вместе с тем, оценка математического ожидания процесса

Исследуем последнюю модель на оптимальность в указанном выше смысле. С этой целью приведем коэффициенты оцененных AR(2), AR(3) и AR(4) моделей и P- значения для тех коэффициентов двух последних моделей, которые являются “лишними” с точки зрения “оптимальной” модели AR(2).

www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm

Эта таблица показывает, что в моделях с неоправданно высоким порядком “лишние” коэффициенты оказались статистически незначимыми, а коэффициенты при переменных, включеных в “оптимальную” модель, практически не изменяются при изменении порядка модели. Именно это и характеризует подобранную модель AR(2) как оптимальную.

Интересно, наконец, обратить внимание на еще одно обстоятельство. Как мы уже отмечали ранее, в теоретической модели AR(2), по которой строилась исследуемая нами реализация, уравнение a(z) = 0 , т.е. 1 – 1.2 z + 0.36 z2 = 0 , имеет двойной корень z = 5/3 ≈ 1.67. Этот корень больше единицы, что обеспечивает стационарность процесса, порождаемого такой моделью. В то же время, для оптимальной модели, полученной нами в результате подбора, соответствующее уравнение имеет корни, обратные величинам, указанным в последней строке распечатки результатов оценивания этой модели. Указанные в этой строке величины равны 0.63 ± 0.05i , так что сами корни равны z = 1.58 ± 0.125i . Хотя эти корни, конечно, отличаются от (двойного) корня уравнения a(z) = 0 в теоретической модели, тем не менее оба они больше единицы по абсолютной величине, а значит, подобранная нами AR(2) модель также является стационарной.

www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm