dinamics time series / ГЛ7

Глава 7. Регрессионный анализ для нестационарных объясняющих переменных

7.1. Проблема ложной регрессии

Мы начнем обсуждение с проблемы ложной (фиктивной, паразитной – spurious) регрессии.

Обратимся в этой связи к следующему примеру, который был рассмотрен ранее в работе [Носко (2000)].

Пример

Рассмотрим динамику изменений в период с 1957 по 1966 годы трех совершенно различных по природе показателей: E - суммарного производства электроэнергии в США (в млрд квт-час), C - совокупных потребительских расходов в Тайланде (в млрд. бат) и H - мирового рекорда на конец года в прыжках в высоту с шестом среди мужчин (в см). Значения этих показателей приведены в следующей таблице:

Динамика изменений показателей показана на графике:

www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm

По этим данным мы можем формально, используя метод наименьших квадратов, подобрать модели линейной зависимости каждого из трех показателей от каждого из остальных показателей. Это приводит, например, к моделям

(Заметим, кстати, что произведение угловых коэффициентов двух последних прямых, соответствующих моделям линейной связи, в которых объясняемая и объясняющая переменая меняются местами, равно 19.950 0.0498 = 0.993 и совпадает со значением

коэффициента детерминации R 2 в этих двух подобранных моделях.)

Мы видим, что во всех подобранных моделях значения коэффициента детерминации весьма высоки, и это формально означает, что изменчивость “объясняющих” переменных в этих моделях составляет значительный процент от изменчивости “объясняемой” переменной, стоящей в левой части уравнения. Однако, вряд ли мы всерьез можем полагать, что динамика роста суммарного производства электроэнергии в США действительно объясняется динамикой роста мирового рекорда по прыжкам в высоту с шестом, несмотря на высокое значение 0.9 коэффициента детерминации в первом из четырех уравнений.

В ситуациях, подобных последнему примеру, принято говорить о фиктивной (ложной, паразитной - spurious) линейной связи между соответствующими показателями. И такие ситуации часто встречаются при рассмотрении показателей, динамика изменений которых обнаруживает заметный тренд (убывание или возрастание) - именно такой характер имеют исследуемые показатели в последнем примере.

Чтобы понять, почему это происходит, вспомним известное соотношение,

связывающее коэффициент детерминации R 2 и квадрат выборочного коэффициента корреляции между переменными y и x :

R2 = ryx2 .

Из этого равенства вытекает, что близкие к единице значения коэффициента детерминации соответствуют близким по абсолютной величине к единице значениям

чем большим будет значение Cov(y, x) > 0 . Последнее же обеспечивается

www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm

наблюдения обе переменные возрастают или обе переменные убывают по величине. (В этом случае превышение одной из переменных своего среднего значения сопровождается, как правило, и превышением второй переменной своего среднего значения. Напротив, если одна из переменных принимает значение, меньшее своего среднего, то и вторая переменная, как правило, принимает значение, меньшее своего среднего.)

Аналогичным образом, значение ryx будет тем ближе к −1, чем меньшим будет значение Cov(y, x) < 0 . Последнее же обеспечивается несовпадением знаков

переменных возрастает, а вторая убывает. (В этом случае, если одна из переменных принимает значение, меньшее своего среднего, то вторая переменная, как правило, принимает значение, большее своего среднего.)

Из сказанного следует, что близость к единице абсолютной величины наблюдаемого значения коэффициента детерминации не обязательно означает наличие причинной связи между двумя рассматриваемыми переменными, а может являться лишь следствием тренда значений переменных.

Пример

Смоделируем реализации двух статистически независимых между собой последовательностей ε1t и ε2t независимых, одинаково распределенных случайных величин, имеющих стандартное нормальное распределение N(0, 1). Смоделированные реализации имеют вид

На их основе построим реализацию линейной модели DGP

DGP : xt = 1 + 0.2 t + ε1t , yt = 2 + 0.4 t + ε2t ,

и рассмотрим результаты оценивания статистической модели

SM: yt = α +β xt + εt

по смоделированной реализации.

Графики рядов xt и yt имеют в этом случае вид

www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm

Оцененная статистическая модель:

Dependent Variable: Y Sample: 1 50

Included observations: 50

Оцененные коэффициенты статистически значимы, коэффициент детерминации высокий, проверка на адекватность не выявляет нарушений стандартных предположений классической линейной модели регрессии.

Включим в правую часть статистической модели линейный тренд. Оценивание расширенной модели дает следующий результат:

Остатки проходят тесты на адекватность, так что можно обратить внимание на протокол оценивания расширенной статистической модели. В соответствии с этим протоколом, коэффициент при переменной xt статистически незначим, так что эта

www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm

переменная по-существу не проявляет себя в качестве переменной, объясняющей изменчивость значений переменной yt .

Исключение xt из правой части уравнения приводит к оцененной модели

Dependent Variable: Y

Предположим, что нам доступны статистические данные, соответствующие последним 50 наблюдениям (с 51 по 100). Оценивание по этим наблюдениям статистической модели

SM: yt = α +β xt + εt

приводит к следующим результатам:

Dependent Variable: Y Sample: 51 100

Included observations: 50

Несмотря на то, что в DGP ряды yt и xt порождаются независимо друг от друга и их модели не содержат детерминированного тренда, мы наблюдаем и здесь довольно высокое значение коэффициента детерминации 0.553. Конечно, это связано с тем, что на рассматриваемом периоде реализации обоих рядов имеют видимый тренд:

Если, однако, обратиться ко всему периоду из 100 наблюдений, то результаты оценивания будут совсем другими:

Dependent Variable: Y Sample: 1 100

Included observations: 100

www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm

В этом случае значение коэффициента детерминации близко к нулю, а оцененный коэффициент при xt равен 0.0551 против значения 0.5975, полученного при оценивании по наблюдениям с 51 по 100. Это отражает действительное отсутствие детерминированного тренда в DGP и, в связи с этим, крайнюю нестабильность оценок коэффициента при xt , полученных на различных интервалах. Последнее сопровождается также крайне низкими значениями статистики Дарбина – Уотсона (0.214 на полном периоде наблюдений и 0.062 на второй половине этого интервала).

Все указанные признаки являются характерными чертами, присущими результатам оценивания линейной модели связи между переменными, имеющими стохастический (но не детерминированный !) тренд и порождаемыми статистически независимыми моделями. Теоретическое исследование подобной ситуации показывает следующее.

Пусть DGP: xt = xt – 1 + ε1t , yt = yt – 1 + ε2t , где x0 = 0, y0 = 0 , а ε1t и ε2t –

статистически независимые между собой последовательности одинаково

При сделанных предположениях относительно DGP , βˆT не сходится по вероятности

при T → ∞ ни к какой константе и имеет предельное распределение, отличное от нормального.

С другой стороны, при выбранной спецификации SM модели, в предположениях этой модели (а не DGP !) имеем:

Cov(xt , yt) = Cov(xt , β xt + ut) = β Cov(xt , xt ) = β D(xt),

т.е. оцениваемым параметром является

β = Cov(xt , yt ) / D(xt).

Поскольку же в действительности (в DGP) Cov(xt , yt ) = 0, то и это значение β = 0, так что если бы гипотетическая модель (соответствующая SM) была верна, то тогда мы бы имели

βˆT → 0 по вероятности.

Далее, при T → ∞ значения t-статистики tβ для проверки гипотезы H0: β = 0 неограниченно возрастают по абсолютной величине, так что использование таблиц t- распределения будет практически всегда приводить к отклонению этой гипотезы, т.е. к выводу о том, что между переменными xt и yt существует линейная регрессионная связь. В действительности, нетривиальное предельное распределение имеет не

статистика tβ , а статистика (1/ T )tβ , причем предельное распределение последней является нестандартным.

Что касается статистики Дарбина – Уотсона (DW), то при T → ∞ DW → 0 по вероятности,

www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm

и это позволяет распознавать неправильную спецификацию статистической модели в форме паразитной регрессии. Последнее обстоятельство проявляется в поведении остатков от оцененной статистической модели, которое не соответствует поведению стационарного процесса.

Пример В предыдущем примере мы имели

случайных величин, имеющих стандартное нормальное распределение N(0, 1), и оценивали статистическую модель

SM: yt = α +β xt + εt .

При оценивании такой статистической модели по наблюдениям с 51 по 100 мы получили:

RESIDS

не похож на график стационарного ряда.

Естественно было бы попытаться использовать для выявления такого “неподобающего” поведения остатков не просто визуальное рассмотрение графика остатков, но и формальные статистические критерии, тем более, что критерии проверки интегрированности временных рядов мы уже обсуждали ранее (критерии Дики – Фуллера, Филлипса – Перрона и др.).

Дело, однако, в том, что теперь мы имеем дело не с “сырым” рядом, а с рядом остатков, которые вычисляются после предварительного оценивания модели (коэффициентов α и β в последнем примере). Это обстоятельство существенно влияет на распределения соответствующих статистик и не дает возможности пользоваться таблицами, которые мы использовали ранее при анализе на интегрированность сырых рядов. С учетом этого обстоятельства, были построены таблицы, позволяющие производить анализ остатков в случае интегрированных объясняемой и объясняющих переменных, о чем мы поговорим в дальнейшем. Сейчас же только отметим, что дает применение соответствующих таблиц к только что рассмотренному примеру.

Пример (продолжение)

При оценивании статистической модели SM: yt = α +β xt + εt по наблюдениям с 51 по 100 мы получили оцененную модель

yt = 8.616 +0.598 xt + e t .

www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm

С полученным рядом остатков мы поступим так же , как и в случае применения критерия Дики – Фуллера к сырому ряду, т.е. оценим модель

∆ e t = φ e t – 1 + νt

и вычислим t- статистику tφ для проверки гипотезы H0: φ = 0, интерпретируя эту гипотезу как гипотезу единичного корня для ряда остатков.

Гипотеза H0 отвергается в пользу гипотезы HA: φ < 0 (интерпретируемой как гипотеза стационарности ряда остатков), если tφ < tкрит . Приближенные значения tкрит можно найти по формуле

tкрит ≈ βˆ∞ + βˆ1T −1 +β2T −2 ,

где βˆ∞ , βˆ1 , βˆ2 зависят от выбранного уровня значимости и указаны в статье [MacKinnon (1991)]. Для 5% уровня значимости

tкрит ≈ – 3.3377 + 5.967 T – 1 – 8.98 T – 2 ,

что при T = 50 дает tкрит = – 3.46 . Последнее значение существенно меньше 5% критического значения статистики Дики – Фуллера – 2.92, рассчитанного для случая

сырого ряда.

В нашем примере оценивание тестового уравнения Дики – Фуллера дает значение tφ = – 2.01. Последнее существенно выше 5% критического уровня, и гипотеза единичного корня не отвергается.

Вообще говоря, вопрос о ложной (паразитной) или неложной (действительной) линейной регрессионной связи между двумя переменными xt и yt , представляющими интегрированные ряды первого порядка (xt , yt ~ I(1)), более точно формулируется следующим образом. Существует ли вообще такое значение β , при котором ряд yt

– βxt стационарен?

Напротив, если переменные xt и yt коинтегрированы, то βˆT является оценкой того единственного значения β , при котором ряд yt – βxt стационарен

Заметим теперь, что если в

DGP: xt = xt – 1 + ε1t ,

yt = yt – 1 + ε2t

допустить коррелированность значений ε1t и ε2t в совпадающие моменты времени, т.е. Cov(ε1t , ε2t) ≠ 0, то коррелированность ε1t и ε2t вовсе не означает, что ряды xt и yt коинтегрированы. Предположим все же, что существует некоторое значение β , при

котором yt = βxt + ut , где ut –стационарный ряд. Тогда yt – 1 – βxt – 1 = ut – 1 , так что ∆yt = β ∆xt + ∆ut , а отсюда ε2t = β ε1t + ∆ut . Последнее можно записать в виде ut = ut – 1 + ηt , где

ηt = ε2t – β ε1t ~ i.i.d. N(0, ση2).

Но это означает, что ut – нестационарный процесс.

www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm

так что xt и yt – коррелированные, но не коинтегрированные случайные блуждания.

Существенно, что распределение статистики Дики – Фуллера в подобной ситуации не зависит от конкретного вида матрицы ковариаций Σ = (Cov(εk 1, εs 1)) , k, s = 1, 2.

Тем же свойством обладает и распределение статистики Дарбина – Уотсона,

примененной к ряду остатков (CRDW – cointegrating regression DW):

et = yt – αˆT – βˆT xt .

При T = 50 5% критическое значение последней статистики равно 0.78. Гипотеза некоинтегрированности рядов отвергается, если наблюдаемое значение этой статистики превышает критическое значение.

В нашем последнем примере значение статистики Дарбина – Уотсона равно 0.214, так что гипотеза некоинтегрированности не отвергается и этим критерием.

Что следует делать в случае обнаружения паразитной связи между интегрированными порядка 1 переменными xt и yt ? Имеются три возможных пути обхода возникающих здесь трудностей:

1. Включить в правую часть уравнения запаздывающие значения обеих переменных, точнее, рассмотреть статистическую модель

SM: yt = α + β xt + γ yt – 1 + δ xt – 1 + ut ,

где ut – стационарный ряд и переменная xt трактуется как экзогенная .

Последнее уравнение можно записать иначе в следующих двух формах:

(a) yt = α + γ yt – 1 + β ∆xt + (β + δ) xt – 1 + ut , (б) yt = α + γ yt – 1 + (β + δ) xt – δ ∆xt + ut .

Вобеих формах слева стоит интегрированная переменная yt ~ I(1).

Вправой части (а) параметр β является коэффициентом при стационарной

распределение N(0,1), если ut – белый шум. Аналогично, в правой части (б) параметр – δ является коэффициентом при стационарной переменной ∆xt , имеющей нулевое математическое ожидание; yt –1 , xt ~ I(1), ut – стационарный ряд. Поэтому оценка параметра δ в рамках модели SM асимптотически нормальна, и t- статистика для проверки гипотезы H0: δ = 0 имеет асимптотически нормальное распределение N(0,1), если ut – белый шум. Оценки для β и δ остаются асимптотически нормальными и если ut – стационарный ряд, не являющийся белым шумом. Однако при этом асимптотическое распределение N(0,1) имеют

www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm