dinamics time series / ГЛ7

Оба коэффициента статистически незначимы, и это отражает некоррелированность рядов ε1t и ε2t .

(3)Применяя третий подход, оцениваем модель

yt – ρ yt – 1 = α(1 – ρ) + β (xt – ρ xt – 1) + εt ,

т.е.

yt = α* + ρ yt – 1 + β (xt – ρ xt – 1) + εt .

При этом получаем:

Dependent Variable: Y

Method: Least Squares

Convergence achieved after 7 iterations Y=C(1)+C(2)*Y(-1)+C(3)*(X-C(2)*X(-1))

Как и ожидалось, коэффициент при yt – 1 оказался очень близким к 1, а два других коэффициента статистически незначимы. Проверка на одновременное зануление этих двух коэффициентов дает P-значение 0.367.

Пример

Изменим процесс порождения данных, оставляя те же формулы для xt и yt , т.е.

xt = xt – 1 + ε1t , yt = yt – 1 + ε2t ,

но теперь пусть

ε1t – последовательность независимых, одинаково распределенных случайных величин, имеющих нормальное распределение N(0, 1.25),

ε2t – последовательность независимых, одинаково распределенных случайных величин, имеющих нормальное распределение N(0, 1.25),

Cov(ε1t, ε2s) = 0 для t ≠ s , Cov(ε1t, ε2t) = 1.

Отсюда, в частности, следует, что Corr(ε1t, ε2t) = 0.8 . Смоделированные реализации ε1t и ε2t имеют вид

www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm

Для сопоставимости с ранее полученными результатами, опять обратимся ко второй части отрезка наблюдений; здесь оцененный коэффициент корреляции между рядами ε1t и ε2t равен 0.792.

Сначала оценим модель yt = α + β xt + ut . В результате получаем для ряда остатков значение статистики Дики – Фуллера, равное –2.112, которое выше 5% критического уровня –3.46. Соответственно, гипотеза о ложности регрессионной связи не отвергается.

(1) Применяя первый подход, получаем оцененную модель

По сравнению с ранее рассмотренным случаем, в котором ряды ε1t и ε2t были между собой статистически не связанными, теперь оказываются статистически значимыми и

www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm

коэффициенты при переменных xt и xt – 1. Исключая из правой части модели константу, получаем:

т.е. yt = 1.005 yt – 1 + 0.695 xt – 0.707 xt – 1 + et . Оценка коэффициента при yt – 1 близка к 1; оцененные коэффициенты при xt и xt – 1 близки по абсолютной величине и противоположны по знаку, что вполне согласуется с реализованной моделью DGP.

(2)Применяя второй подход, получаем оцененную модель

И здесь, в отличие от ранее использовавшегося DGP, становится значимым коэффициент при переменной ∆xt , что отражает коррелированность случайных величин ε1t и ε2t , т.е. коррелированность ∆xt и ∆yt . Исключая из правой части уравнения статистически незначимую константу, получаем:

при этом получаем:

Dependent Variable: Y

Convergence achieved after 8 iterations Y=C(1)+C(2)*Y(-1)+C(3)*(X-C(2)*X(-1))

Здесь становится статистически значимым коэффициент β .

Исключение из правой части константы дает:

Dependent Variable: Y

Convergence achieved after 4 iterations Y=C(2)*Y(-1)+C(3)*(X-C(2)*X(-1))

www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm

Отметим близость результатов, полученных тремя методами:

Фактически, во всех трех случаях воспроизводится одна и та же линейная модель связи между рядами разностей:

∆yt = 0.7 ∆xt + et .

Эта регрессионная связь между продифференцированными рядами не является ложной (в отличие от регрессионной связи между рядами уровней): статистика Дарбина – Уотсона принимает значение 1.985; P-значение критерия Jarque – Bera равно 0.344.

Замечание

В связи с результатами, полученными при рассмотрении последних примеров, естественно возникает следующий вопрос, который поднимался в свое время различными исследователями. Не будет ли разумным, имея дело с рядами, траектории которых обнаруживают выраженный тренд, сразу приступать к оцениванию связей между рядами разностей (между продифференцированными рядами) ?

Против некритичного использования такого подхода говорят два обстоятельства:

(a)Если ряды в действительности стационарны относительно детерминированного тренда, то тогда дифференцирование приводит к

передифференцированным рядам, имеющим необратимую MA

составляющую.

(b)Если ряды являются интегрированными порядка 1 и при этом коинтегрированы, то при переходе к продифференцированным рядам теряется информация о долговременной связи между уровнями этих рядов.

Дифференцирование рядов оправданно и полезно, если ряды являются интегрированными, но при этом между ними отсутствует коинтеграционная связь.

7.2. Коинтегрированные временные ряды. Модели коррекции ошибок

Пусть yt ~ I(1), xt ~ I(0). Строить регрессию yt на xt в этом случае бессмысленно, т.к. для любых a и b в такой ситуации

yt – a – b xt ~ I(1).

Пусть, наоборот, yt ~ I(0), xt ~ I(1). Для любых a и b ≠ 0 здесь опять yt – a – b xt ~ I(1),

и только при b = 0 получаем yt – a – b xt ~ I(0),

так что и в таком сочетании строить регрессию одного ряда на другой не имеет смысла.

www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm

действовать в такой ситуации.

Обратимся теперь к случаю, когда при некотором b ≠ 0 yt – b xt ~ I(0) – стационарный ряд.

Если это так, то ряды yt и xt называют коинтегрированными рядами, а вектор (1, – b)T – коинтегрирующим вектором.

Вообще, ряды yt ~ I(1), xt ~ I(1) называют коинтегрированными (в узком смысле – детерминистская коинтеграция), если существует ненулевой (коинтегрирующий)

вектор β = (β1, β2)T ≠ 0 , для которого

β1 xt + β2 yt ~ I(0) – стационарный ряд.

Заметим, что если вектор β = (β1, β2)T является коинтегрирующим вектором для рядов xt и yt , то тогда коинтегрирующим для этих рядов будет и любой вектор вида сβ = (сβ1, сβ2)T , где с ≠ 0 – постоянная величина. Чтобы выделить какой-то определенный вектор, приходится вводить условие нормировки, например, рассматривать только векторы вида (1, – b)T (или только векторы (– a, 1)T ).

Поскольку мы предполагаем сейчас, что xt , yt ~ I(1), то ряды разностей ∆xt , ∆yt стационарны. Будем предполагать в дополнение, что стационарен векторный ряд (∆xt , ∆yt)T , так что для него существует разложение Вольда в виде скользящего среднего

(∆xt , ∆yt)T = µ + B(L) εt ,

где

µ = (µ 1, µ 2 )T , µ 1 = E(∆xt ) , µ 2 = E(∆yt) ;

εt = (ε1t , ε2t )T – векторный белый шум,

т.е.

Знаменитый результат Гренджера ([Granger (1983)], см. также [Engle, Granger (1987)])

состоит в том, что в случае коинтегрированности I(1) рядов xt и yt (в узком смысле)

A(L) (xt, yt )T = c + d(L)εt ,

в котором

εt – тот же векторный белый шум, что и в (I), c = (c1, c2)T , c1 и c2 – постоянные,

A(L) – матричный полином от оператора запаздывания, d(L) – скалярный полином от оператора запаздывания, причем

www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm

A(0) = I2 (единичная матрица размера 2×2), rank A(1) = 1 (ранг 2×2-матрицы A(1) равен 1),

значение d(1) конечно.

Всвязи с тем, что в последнем представлении ранг (2×2)-матрицы A(1) меньше двух, об этом представлении часто говорят как о векторной авторегрессии пониженного ранга (reduced rank VAR).

Вразвернутой форме представление (II) имеет вид

При этом верхние пределы p и q у сумм в правых частях могут быть бесконечными.

Если возможно векторное AR представление, то в нем d(L) ≡ 1 , p < ∞ .

zt ~ I(0),

и

α12 + α22 > 0.

Если в (II) возможно векторное AR(p) представление (p < ∞), то тогда ECM принимает вид

∆xt =µ1 +α1zt −1 +∑p −1(γ 1j ∆xt − j +δ1j ∆yt − j ) +ε1,t , j =1

∆yt = µ2 +α2 zt −1 +∑p −1(γ 2 j ∆xt − j +δ 2 j ∆yt − j )+ε2,t , j =1

Здесь важно отметить следующее:

•Если ряды xt , yt ~ I(1) коинтегрированы, то все составляющие в ECM стационарны.

•Если векторный ряд (xt , yt)T ~ I(1) (так что векторный ряд (∆xt , ∆yt)T стационарен) и порождается ECM моделью, то ряды xt и yt коинтегрированы. (Действительно, в этом случае все составляющие ECM, отличные от zt–1, стационарны; но тогда стационарна и zt – 1.)

www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm

• Если ряды xt , yt ~ I(1) коинтегрированы, то тогда VAR в разностях не может иметь конечный порядок. (В отличие от случая, когда ряды xt и yt не коинтегрированы.)

принимают во внимание величину и знак предыдущего отклонения от равновесия zt – 1 . Ряд zt , конечно, вовсе не обязательно убывает по абсолютной величине при переходе от одного периода времени к другому, но он является стационарным рядом, и поэтому расположен к движению по направлению к своему среднему.

Замечание 1

Переменная xt не является причиной по Гренджеру для переменной yt , если неучет прошлых значений переменной xt не приводит к ухудшению качества прогноза значения yt по совокупности прошлых значений этих двух переменных. Переменная yt не является причиной по Гренджеру для переменной xt , если неучет прошлых значений переменной yt не приводит к ухудшению качества прогноза значения xt по совокупности прошлых значений этих двух переменных. (Качество прогноза измеряется среднеквадратичной ошибкой прогноза.)

Если xt , yt ~ I(1) и коинтегрированы, то должна иметь место причинность по Гренджеру , по крайней мере, в одном направлении. Этот факт вытекает из представления такой системы рядов в форме ECM, в которой α12 + α22 > 0. Значение xt

– 1 через посредство zt– 1 помогает в прогнозировании значения yt (т.е. переменная xt является причиной по Гренджеру для переменной yt), если α2 ≠ 0. Значение yt – 1 через посредство zt– 1 помогает в прогнозировании значения xt (т.е. переменная yt является причиной по Гренджеру для переменной xt), если α1 ≠ 0.

Замечание 2

Пусть xt , yt ~ I(1) коинтегрированы и wt ~ I(0). Тогда для любого k коинтегрированы ряды xt и γ yt – k + wt , γ ≠ 0. Формально, если xt ~ I(1), то коинтегрированы ряды xt

и xt – k . (Действительно, тогда xt – xt – k = ∆xt + ∆xt – 1 + … + ∆xt – k – сумма I(0)- переменных, которая также является I(0)-переменной.)

Итак, при коинтегрированности рядов xt , yt ~ I(1) мы имеем

•модель краткосрочной динамики в форме ECM,

иэти модели согласуются друг с другом.

Проблема, однако, состоит в том, что для построения ECM по реальным статистическим данным нам надо знать коинтегрирующий вектор (в данном случае, знать значение β). Хорошо, если этот вектор определяется экономической теорией. К сожалению, чаще его приходится оценивать по имеющимся данным.

Энгл и Гренджер [Engle, Granger (1987)] рассмотрели двухшаговую процедуру, в которой на первом шаге значения α и β оцениваются в рамках модели регрессии yt на xt

yt = α + β xt + ut .

Получив методом наименьших квадратов оценки αˆ и βˆ (НK-оценки), мы тем самым находим оцененные значения отклонений от положения равновесия

www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm

zˆt = yt – αˆ – βˆ xt

– это просто остатки от оцененной регрессии.

После этого, на втором шаге, методом наименьших квадратов раздельно (не как система!) оцениваются уравнения

∆xt =µ1 +α1zˆt −1 +∑p −1(γ 1j ∆xt − j +δ1j ∆yt − j ) +ν t , j =1

∆yt = µ2 +α2 zˆt −1 + ∑p −1(γ 2 j ∆xt − j +δ 2 j ∆yt − j ) +wt , j =1

(т.е. предполагается модель VAR(p) для xt , yt).

Определяющим в этой процедуре является то обстоятельство, что получаемая на первом шаге оценка βˆ быстрее обычного приближается (по вероятности) к истинному

значению β – второй компоненте коинтегрирующего вектора (1, β)T . ( βˆ является суперсостоятельной оценкой для β .) Это, в конечном счете, приводит к тому, что оценки в отдельном уравнении ECM, использующие оцененные значения zt−1 , имеют то же самое асимптотическое распределение, что и оценка максимального правдоподобия, использующая истинные значения zt−1 . (Обычно это асимптотически

нормальное распределение.) При этом НК-оценки стандартных ошибок всех коэффициентов являются состоятельными оценками истинных стандартных ошибок.

Заметим, что последние результаты справедливы несмотря на то, что ряд оцененных значений zˆt формально не является стационарным, поскольку βˆ ≠ β.

Отметим также, что если мы хотим использовать другую нормировку коинтегрирующего вектора в виде (β, 1)T , то нам придется оценивать регрессию xt на константу и yt , и это приведет к вектору, не пропорциональному вектору, оцененному в первом случае.

Замечание

означает,что мы можем пользоваться на первом шаге процедуры Энгла – Гренджера обычными регрессионными критериями. Дело в том, что получаемые на первом шаге оценки и статистики, вообще говоря, имеют нестандартные асимптотические распределения.

Однако первый шаг является в данном контексте вспомогательным, и на этом шаге нет необходимости обращать внимание на сообщаемые в протоколах соответствующих пакетов программ значения статистик.

Напротив, на втором шаге мы можем использовать обычные статистические процедуры (разумеется, если количество наблюдений не мало и если коинтеграция имеется).

Пример Расмотрим реализацию процесса порождения данных

DGP: xt = xt – 1 + εt , yt = 2 xt + νt ,

где x1 = 0, а εt и νt – порождаемые независимо друг от друга последовательности независимых, одинаково распределенных случайных величин, имеющих стандартное

www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm

Пара (xt , yt) образует векторный процесс авторегрессии

xt = xt – 1 + εt , yt = 2 xt – 1 + ηt ,

где ηt = νt + 2εt ~ i.i.d. N(0, 5).

В форме ECM пара уравнений принимает вид

На практике, приступая к анализу статистических данных, исследователь не знает точно, какой порядок имеет VAR в DGP. Имея это в виду, выберем для оценивания в качестве статистической модели ECM в виде

∆xt = α1 zt – 1 + γ11∆xt – 1 + δ11∆yt – 1 + vt ,

∆yt = α2 zt – 1 + γ21∆xt – 1 + δ21∆yt – 1 + wt ,

допуская, что данные порождаются моделью векторной авторегрессии второго порядка (p = 2). Для анализа используем 100 наблюдений.

(I шаг) Исходим из модели yt = α + β xt + ut . Оцененная модель:

т.е.

yt = – 0.006764 + 1.983373 xt + uˆt ,

так что

zˆt = uˆt = yt + 0.006764 – 1.983373 xt .

www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm