Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донецкий национальный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

attachments_24-09-2012_18-32-26 / practicum_lim

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.04.2015

Размер:

530.65 Кб

Скачать

☆

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

Тема: Пределы. Краткие теоретические сведения.

Непосредственное вычисление пределов.

Первый замечательный предел:

lim sin x

x 0

Второй замечательный предел:

x 0

1 x

x e

lim

lim(x 4) 0 4 4

x 0

x 2

lim

5 4 9

lim

sin x sin 0

x 0

cos x

cos0 1

lim

sin x sin 1

x 2

lim

5 x 3x2 5 1 3 12

x 1

6 2x x3 6 2 2 23 6 4 8 18

lim

x 2

lim 2x sin x 2

sin

x 2

lim

5 x 5 4 9

x 4

lim

x 0

lim

0 .

x x

Использование свойств пределов.

Пример 1.

lim5x2 5lim x2

5 22

x 2

Т.е. число выносится за знак предела:

lim5(2 x) 5lim(2 x) 5(2 4) 30

x 4

Раскрытие неопределённостей.

Пример 2.

lim

x 2

. При

и числитель, и знаменатель стремятся к бесконечно-

x 3x 4

сти. Это неопределённость вида .



Разделим и числитель и знаменатель на х.

		x 2		1	2
							1 0 1
lim		x	lim			x
	3x 4				4
x			x	3			3 0 3
		x			x

Пример 3. lim	2x 3x2
Пример 3. lim	3x 6x3
x 0	3x 6x3	0
		0
При x 0 и числитель и знаменатель равны нулю. Это неопределенность вида:		0	.
		0

Чтобы ликвидировать эту неопределенность, сократим и числитель и знаменатель на х

lim

2x 3x2

lim

x 2 3x

lim

2 3 x

2 3 0

3x 6x2

x 3 6x

3 6x

3 6

x 0

lim

x x2

lim

x 1 x

lim

1 x

1 0

2x x3

x 2 x2

2 0

Пример 4. x 0

x 0

В дальнейшем для упрощения записей нули писать не будем. Например, пишем сразу:

lim

1 x

2 x2

x 0

lim

2x x2

x 2 x

2 x

x 0

x 1 x 1

x 1 1 1 2

lim

x 1

Пример 5.

lim

x2 4

x 2

При x 2 и числитель и знаменатель равны нулю.

22 4 0,

2 2 0

Т.е. если мы сразу подставим число 2 вместо х, то получим отношение

lim

x 2

Чтобы

найти

предел,

воспользуемся

формулой:

a2 b2 (a b)(a b) , т.е.

x2 4 (x 2)(x 2) , имеем

lim

(x 2)(x 2)

lim(x 2) 2 2 4

x 2

Здесь и числитель, и знаменатель сокращаем на x 2 , и теперь предел вычисляется.

x2 16

x 4 x 4

x 4

4 4 8

Пример 6.

lim

x 4

Пример 7.

lim

x 1

x2 x 2

x 1

Так как x2 x 2 x 2 x 1

, то lim

lim

2 x 1

x 2

1 2

x 1

Пример 8.

lim

x2 4

x2 x 2

x 2

Так как x2 4 x 2 x 2 ,

x2 x 2 x 2 x 1 , то

lim

x2 4

lim

x 2 x 2

lim

x 2

2 2

x 2 x 1

x2 x

x 1

2 1

x 2

lim

x 1

Пример 9.

x 0

Чтобы избавиться от неопределенности, или как говорят, раскрыть неопределенность, умножим и числитель и знаменатель на выражение x 1 1 , сопряжённое чис-

лителю,

lim

x 1

lim

x 1

x 0

По формуле (a b)(a b) a2 b2

находим:

2 1 x 1 1 x

x 1

lim

x 1

Тогда

lim

x 1

x 0

x 1 1

lim

x 0

x 1

x 0

x 1 1

1 1

Пример 10.

lim

1 3x 1

x 0

lim

Решение.

1 3x 1

x 0

Чтобы раскрыть неопределенность, умножим и числитель и знаменатель на 1 3x 1 ,

т.е.															2x								1									2x									1

lim		2x				lim												1 3x										lim									1 3x
lim						lim											1									1		lim											2
x 0	1 3x 1							x 0							1 3x							1 3x								x 0											1
x 0	1 3x 1							x 0							1 3x							1 3x								x 0					1 3x						1
		2x						1								2x									1					2								1
lim		2x	1 3x					1					lim			2x				1 3x					1		lim			2			1			3x		1				2(1 1)					4
lim		1 3x 1											lim								3x						lim							3									3				3
x 0		1 3x 1													x 0						3x						x 0							3									3				3
Пример 11.				lim						2sin2 x sin x										1					sin x t						1									1
																									sin x t

									2sin					2	x 3sin x 1										т.к.		sin					, то t									при x
				x					2sin						x 3sin x 1										т.к.		sin	6			2	, то t								2	при x					6
							6																					6			2									2						6
																													1														3
										2t2 t 1										0				2			t			t		1								t 1
																													2
																													2															2
				lim																	lim															lim								2		3.
				lim						2t	2		3t 1								lim												1			lim				t	1					3.
						t 1				2t			3t 1						0				t 1				t 1						1				t 1			t	1				1
							2																	2 2			t 1			t			2			2									2
																																	2												2
Использование первого замечательного предела:
Пример 12.					lim sin 2x
Пример 12.						x 0						x

Решение. Умножим и разделим дробь на 2.

lim

sin 2x

lim

2sin 2x

2lim

sin 2x

x 0

Сделаем подстановку 2x z . Тогда

2lim sin 2x 2lim sin z

2 1 2 ,

x 0

z 0

т.к. lim sin z 1. Это есть первый замечательный предел.

z 0

lim sin 2x

lim sin 2 x

1 limsin 2 x

подстановка

limsin z

Пример 13.

2x z

x 0

2 2x

2 x 0

2 z 0

Пример 14.

lim

sin x

lim

sin x

x 0

3 x 0

Пример 15.

lim

sin x2

подстановка

lim

sin z

z x2

x 0

z 0

Пример 16.

lim

2lim

, так как

lim

sin x

x 0

Пример 17. lim

sin2 x

sin x

sin x 2

lim

x 0

Пример 18. lim

sin2 x

lim

sin x sin x

limsin x lim

sin x

x 0

Так как

limsin x sin 0 0,

lim sin x

, то:

limsin x lim sin x

0 1 0.

x 0

Примеры нахождения пределов с неопределённостью вида .

Пример 19.

Пример 20.

Пример 21.

Пример 22.

	1 2x		1	2	2
lim		lim	x

	3x 2			2	3
x		x	3
				x

	x3	1					1	1					1
	x3	1					1	3					1
lim				lim					x
lim	2x3	1		lim		1							2
x	2x3	1			x	1							2
							2
							2		x3				1		5
	2x3	x2 5									2		1		5
	2x3	x2 5									2			x	3
lim						lim								x	x		2
lim	x3	x 2				lim							1				2
x	x3	x 2					x			1			1		2
										1		x2			x3
	3x4	x2 6								3			1			6		3
	3x4	x2 6								3			2			4		3
lim						lim								x		x
lim	2x4 x		2			lim							1					2
x	2x4 x		2				x			2			1		2			2
										2				3		4
														x		x

Пример 23.

Пример 24.

Пример 25.

Пример 26.

Пример 27.

Пример 28.

Пример 29.

	2x2	6x 5							2 6																5						2
	2x2	6x 5							2 6																2						2
lim				lim										x										x
lim	5x2 x 1			lim						1 1																					5
x	5x2 x 1						x			1 1																					5
									5 x
									5 x															x2
	3 x 5x4								3								1					5
	3 x 5x4								4								3					5
lim					lim			x								x													5
lim					lim																				1				5
x x4 12x 1						x		1		12															1
										3
										3																		4
													x												x
	x 2x2 5x4											1								2								5
	x 2x2 5x4											3								2								5
lim						lim					x									x											5
lim	2 3x2 x4					lim												3													5
x	2 3x2 x4						x			2								3										1

												x4									x2
	5x2	3x 1						5 3															1							5
	5x2	3x 1						5 3															2							5
lim					lim								x										x
lim	3x2	x 5			lim					1																				3
x	3x2	x 5					x	3		1							5													3
											x
											x											x2
	7x4	2x3 2								7					2										2
	7x4	2x3 2								7					x										4
lim						lim									x											x			7
lim		x4 3				lim												3											7
x		x4 3					x											3
													1
													1						x4
	8x5	3x2 9								8						3												9
	8x5	3x2 9								8						3												5
lim						lim									x													x		4
lim	2x5	2x2 5				lim									2 5															4
x	2x5	2x2 5					x			2					2 5

															x3												x5
	3x 1 7 2 x 3																		1									3x 1 7 2 x 3
	3x 1 7 2 x 3																		10									3x 1 7 2 x 3
lim								lim												x
lim	5 2x 2 1		6x 8					lim
x	5 2x 2 1		6x 8									x						1													2		8
																										5			2x 1			6x
																		x10								5			2x 1			6x

	3x 1		7		2 x 3				3		1	7		2	3
		x			x				3		x				1		7		3	1	1	8		1	1	8	1
lim		x			x		lim				x			x			3 ( 1)			1	1	3		1	1		1
																						8
				2	1 6x	8			5				2	1		8	( 2)	2 8		4	3	8	12		2		3072
x 5 2x					1 6x		x		5	2				1			( 2)	6		4	3	6	12		2		3072
		x			x					2					6
		x			x			x						x

							lim				2n2			1 2			5n2		n 2 3
Пример 30.
Пример 30.												n2 7 5 2n 7 10
							n					n2 7 5 2n 7 10
			2					1 2							2			1		2		3				4				1 2							6				1		2 2
	n				2							n				5									n			2							n				5
								n	2									n		n	2
									2												2									n	2										n		n	2
lim																							lim							n											n		n
lim													5								10		lim										7			5						7	10
n										7			5						7		10			n												5							10
n				2																				n			10											10
				2																							10											10
		n				1										n	2									n			1							n				2
		n				1			n			2				n	2									n			1			n		2		n				2		n
									n										n													n										n

10				1 2						1			2 3						1 2						1			2 3
	n	2							5								2							5							2	2	3	500		500
	n	2	n			2			5	n		n		2			2	n			2			5	n		n		2			2	3
lim			n							n		n				lim		n							n		n						5				20
lim								5						10		lim							5						10				10				20
n		й				7		5			7			10	щ	n					7		5			7			10				10	1 1024	1025		41
10		й				7					7				щ						7					7				1 2				1 1024	1025		41
	n	к 1								2					ъ		1								2
	n	к 1			n		2			2	n				ъ		1			n		2			2	n
		к			n						n				ъ					n						n
		л													ы

Понятие факториала

По определению n! 1 2 3 ... (n 1)n ;

0! 1. Например, 5! 1 2 3 4 5 120 (пять факториал равняется 120). Отсюда следует, что (n 1)! можно записать так:

(n 1)! n!(n 1)

или

(n 1)! (n 1)!n(n 1),

(n 2)! (n 1)!(n 2)

или

(n 2)! n !(n 1)(n 2).

Пример 31.

lim n! (n 1)! (n 2)!

lim n! n!(n 1) n!(n 1)(n 2)

n n! (n 1)! (n 2)!

n n! n!(n 1) n!(n 1)(n 2)

lim

n!(1 n 1 (n 1)(n 2))

lim

2 n n2 3n 2

1)(n 2))

2 n n2

3n 2

n n!(1 n 1 (n

n2 4n 4

lim

n2 2n

1 n

Пример 32.

lim n! (n 2)!

lim n! n!(n 1)(n 2)

lim n!(1 (n 1)(n 2))

n n! (n 2)!

n n! n!(n 1)(n 2)

n n!(1 (n 1)(n 2))

lim

1 (n 1)(n 2) lim n!(1 (n 1)(n 2))

lim 1 (n 1)(n 2)

1 (n 1)(n 2)

n n!(1 (n 1)(n 2))

n 1 (n 1)(n 2)

1 n2 2n n 2

n2 3n 3

lim

1 (n2 2n n

3 1

n n2 3n 1

2n 3n

0 1

Пример 33.

lim

2 n

Пример 34.

lim

x2 x 6

2x2 x 21

x 3

Разложим числитель и знаменатель дроби на множители:

x2	x 6	0;		D 1 4( 6) 25;		D	5;
x 1 5 3;			x 1 5 2;
1	2			2	2
	2				2
x2	x 6	(x 3)(x 2);
2x2 x 21 0;					D 1 4 2( 21) 169;				13;
2x2 x 21 0;					D 1 4 2( 21) 169;			D	13;

x 1 13 3;

1 13

3.5;

2x2

x 21 2(x 3)(x 3.5);

lim

x2 x 6

lim

(x 3)(x 2)

lim

x 2

2x2 x 21

3)(x 3.5)

2x 7

x 3

x 3 2(x

x 3

Пример 35. lim

3x2

5x 2

4x 3

x 1

Разложим числитель и знаменатель дроби на множители:

3x2 5x 2 0;

D 25 4 3 2 1;

D 1;

x 5 1 1;

x 5 1

2 ;

5x 2 3(x

;

x2 4x 3 0;

D 16 4 3 4;

x 4 2 3;

x 4 2 1;

x2 4x 3 (x 3)(x 1);

lim 3x

5x 2

3(x 1) x

1 .

lim

3lim

4x 3

(x 3)(x 1)

x 1

x 1 x 3

1 3

Пример 36.

lim

x 12

5x 6

x 3 x2

x 12 0;

D 1 4 12 49;

x 1 7 4;

x 1 7 3;

x 12

(x 4)(x 3)

x2 5x 6 0;

D 25 4 6 1;

5 1

5x 6

(x 2)(x 3);

lim

x 12

lim

(x 4)(x 3)

lim

x 4

5x 6

2)(x 3)

x 3

x 3 (x

x 3 x 2

lim

x2 2x 15

Пример 37.

2x2 7x 15

x 5

x2 2x 15 0;

D 4 4 15 64;

2 8

x2 2x 15 (x 5)(x 3);
2x2 7x 15 0;				D 49 4 2 15 169;			13;
						D
x 7 13		3 ;	x 7 13		5;
1	4	2	2	4

2x2 7x 15 2(x 5) x 3 ;

lim	x2 2x 15	lim	(x 5)(x 3)			lim
	2x2 7x 15				3
x 5		x 5	2(x 5)			x 5
				x	2

		lim		25x2	5x 12				0
		lim
Пример 38. x			3	35x2	11x 6				0
		5
25x2 5x 12 0;						D 25 4 25						12	1225 ;
x 5 35				4 ;	x 5 35				3 ;
1		50		5	2		50			5
		50		5			50			5
	2						4			3
25x		5x 12			25 x			x			;
25x		5x 12			25 x		5	x		5	;
							5			5

x 3	8	8
2x 3	13	13

D 35 ;

35x2 11x 6 0;							D 121 4 35 6 961;										D	31;
x			11 31			2 ;	x 11 31							3 ;
x						2 ;	x 11 31							3 ;
1			70			7	2			70				5
			70			7		2		70			3	5
35x		2	11x 6 35					2					3
35x			11x 6 35				x	7			x		5	;
								7					5
										25				4	3					x	4
			25x	2	5x 12					25		x		x		25 lim				x	4	35
lim			25x		5x 12		lim							5	5						5	35
lim							lim							2	3						2
x	3		35x2 11x 6				x		3	35						35 x			3	x		31
x			35x2 11x 6				x									35 x						31
5								5				x		x		5					7
														7	5						7

Подобные примеры можно решать иначе: числитель и знаменатель делят на носитель нуля.

Пример 39.

lim

3x2

10x 3

(x 3)

, т.к.

lim (x 3) 0

. Де-

2x2

5x 3

носитель нуля здесь

x 3

лим и числитель, и знаменатель на (x 3) :

3x2 10x 3

x 3

3x2 9x

3x 1

, следовательно, 3x2 10x 3 (x 3)(3x 1) .

x 3

2x2 5x 3

x 3

2x2 6x

2x 1

, следовательно, 2x2 5x 3 (x 3)(2x 1) .

-x 3

Теперь:

lim

3x2

10x 3

lim

(x 3)(3x 1)

lim

3 x 1

2x2

5x 3

(x 3)(2x 1)

2 x 1

x 3

4x2

17x 15

Пример 40. lim

. Делим и числитель и знаменатель на (x 5) :

9x2

52x 35

x 5

4x2 17x 15

x 5

4x2 20x

4x 3

, следовательно,

4x2 17 x 15 (x 5)(4 x 3).

3x 15

9x2 52x 35

x 5

9x2 45x

9x 7

, следовательно,

9x2 52x 35 (x 5)(9x 7) .

7x 35

Значит, lim

4x2 17x 15

lim

(x 5)(4x 3)

lim

4x 3

9x2 52x 35

5)(9x 7)

9x 7

x 5

Пример 41. lim

4x2 5x 1

. Здесь носитель нуля x

2x 1

x 1

4x2 5x 1

4x2 x

4x 4

1 (4x 4) x

4(x 1)

;

4x 1

8x2 2x 1

8x2 2x

8x 4

2x 1 (8x 4) x

4(2 x

4x 1


								1				3
		4x	2	5x 1		4(x 1)	x			x 1		3	1 .
			2			4(x 1)	x
Значит, lim					lim			4	lim		4

		8x2		2x 1						2x 1	3
x	1	8x2		2x 1	x 1			1	x 1	2x 1	3		2
	4				4	4(2x 1) x		4	4		2
								4			2

Пример 42.

lim

2x2 5x 6

7x2 14x 8

x 2

Носитель нуля здесь (x 2).

x3 2x2 5x 6

x 2

x3 2x2

x2 4x 3

4x2 5x 6

x3 2x2 5x 6 (x 2)(x2 4x 3) ;

4x2 8x

3x 6

x3 7x2 14x 8

x 2

x3 2x2

x2 5x 4

5x2 14x 8

x3 7x2 14x 8 (x 2)(x2 5x 4) .

5x2 10x

4x 8

Значит,

lim

x3 2x2

5x 6

lim

(x 2)(x2 4x 3)

lim

4x 3

x3 7x2

14x 8

(x 2)(x2

5x 4)

5x 4

x 2

x 2 x2

Пример 43.

lim

x3 x2 5x 3

4x2 5x 2

x 1 x3

И числитель, и знаменатель делим на (x 1)

x3 x2 5x 3

x 1

x3 x2

x2 2x 3

2x2

5x 3

x3 x2 5x 3 (x 1)(x2 2x 3);

2x2

3x 33x 3 0

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке attachments_24-09-2012_18-32-26

#
13.04.2015215.92 Кб13practicum_algebra.pdf
#
13.04.2015530.65 Кб14practicum_lim.pdf
#
13.04.2015477.6 Кб15АНГ+ЛА.pdf