attachments_24-09-2012_18-32-26 / practicum_algebra

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донецкий национальный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

32 84 18 72 21 32 9.

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.04.2015

Размер:

215.92 Кб

Скачать

☆

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Практикум

Тема: Линейная алгебра. Краткие теоретические сведения.

Определителем второго порядка называется число, записываемое символически в виде:

			a1	a2	a1b2 b1a2 .
			a1	a2	a1b2 b1a2 .
			b1	b2
Например:								3	4		3 7 ( 2) 4 21 8 29.
Например:								3	4		3 7 ( 2) 4 21 8 29.
								2	7
Определитель третьего порядка равен:
	a11		a12		a13
	a11		a12		a13
	a	21	a		a	a a a						a a a a a a						a a a a a a a a a
		21	22	23			11		22	33		12	23	31	13	21	32	31	22	13	32	23	11	33	21	12 .
	a31		a32		a33

При этом диагональ a11a22a33 называется главной, а диагональ a31a22a13 по-

бочной.

Чтобы вычислить определитель третьего порядка, можно воспользоваться правилом Саррюса: к определителю приписываются два первых столбца, и элементы, стоящие на одной диагонали, перемножаются, причем произведения элементов, лежащих на диагоналях, параллельных побочной, берутся со знаком “минус”.

“+” “+” “+”

“-” “-” “-”

					2	4	5
					2	4	5
Пример 1. Вычислить определитель					6	7	3	.
					8	14	9
Решение
	2	4	5
	2	4	5
	6	7	3	2 ( 7) 9 4 ( 3)( 8) 5 6 14 ( 8)( 7) 5
	8	14	9

14 ( 3) 2 9 6 4 126 96 420 280 84 216 22 .

Понятие минора и алгебраического дополнения.

				a11	a12	a13
				a11	a12	a13
Пусть дан определитель третьего порядка:				a21	a22	a23	.
Вычеркнем третью строку и второй столбец				a31	a32	a33
Вычеркнем третью строку и второй столбец
	a11	a12	a13
	a11	a12	a13
	a21	a22	a23
	a31	a32	a33

Элемент a32 стоит на пересечении третьей строки и второго столбца. Определитель из оставшихся элементов является минором элемента a32 :

М32	a11	a13	.
М32	a11	a13	.
	a21	a23
Алгебраическое дополнение А32							элемента a32 есть произведение ( 1)3 2 М32
А ( 1)3 2 М				32	( 1)5	М	32	М	32	.
32				32			32		32

В общем случае алгебраическим дополнением (или адъюнктом) Аij элемента aij определителя называется произведение ( 1)i j Мij , т.е. Аij ( 1)i j Mij .

Пример 2. А11

( 1)1 1

a22

a23

( 1)

a22

a23

a22

a23

a32

a33

a32

a33

a32

a33

А22

( 1)

a11

a13

a11

a13

a31

a33

a31

a33

Пример 3. Для определителя 1 4 5 найти А12 . 9 7 8

Решение. Элемент a12 стоит на пересечении первой строки и второго столба. Зачеркиваем первую строку и второй столбец.

2	3	6	А	( 1)	1 2	1	5	( 1)	3	1	5	1	5
2	3	6			1 2	1	5		3	1	5	1	5

1	4	5	12			9	8			9	8	9	8
1	4	5				9	8			9	8	9	8
9	7	8	(1 8 9 5) (8 45) ( 37) 37.

Матрицы.

Матрица это прямоугольная таблица, содержащая m n элементов некоторого множества. Если элементы матрицы числа, то матрица называется числовой, например

5		7
	2	8	это матрица, содержащая три строки и два столбца.

	3	6

Если число строк равно числу столбцов, то такая матрица называется квадратной.

Например.

4	9	18
2	0	8	это квадратная матрица третьего порядка.

7	5	3

Складывать матрицы можно только одинаковой размерности.

	2	8		6	3
Пример 4. Сложить две матрицы:	7	3	и	5
Пример 4. Сложить две матрицы:	7	3	и	5	11 .
	5	9		8	7
	5	9		8	7

	2		8	6		3	2 6	8 3	8 11
Решение.		7	3		5		7 5				14	,
Решение.		7	3		5	11	7 5	3 11	12		14	,
		5	9		8	7	5 8	9 7		13	16
		5	9		8	7	5 8	9 7		13	16

то есть складывают соответствующие элементы. Аналогично осуществляется и вычитание матриц.

При умножении матрицы на число необходимо все элементы матрицы умножить на это число.

		3		6	6		12
Например.	2		5	9		10	18
								.
			2	4		4	8

Умножение матриц.

Матрицу A можно умножить на матрицу BА: (B ) только в том случае,

если число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B (иначе: длина строки матрицы A равна высоте столбца матрицы B ).

Пример 5. Умножить матрицу A на матрицу B , где

a11			a12
A a	21		a
	21		22
a			a
	31		32
		a
A B			11
A B		a21

		a31

a13
a23	;
a
33
a12	a13	b11
a	a	b
22	23	21
a	a	b
32	33	31

	b11			b12
B b				b
		21		22
	b			b
		31		32
b			c		c
12				11	12	,
b22			c21		c22	,
b			c		c
32				31	32

	c11 a11b11		a12b21	a13b31	c12	a11b12	a12b22	a13b32
где	c21	a21b11	a22 b21	a23 b31	c22	a21b12	a22 b22	a23 b32
	c31	a31b11	a32b21	a33b31	c32	a31b12	a32b22	a33b32.

Например, элемент матрицы произведения c21, находящийся на пересечении

второй строки и первого столбца, равен сумме произведений элементов второй строки матрицы А на соответствующие элементы первого столбца матри-

цы В; элемент c32 равен сумме произведений элементов третьей строки матри-

цы А на соответствующие элементы второго столбца матрицы В.

То есть матрицы умножаются по правилу “строка на столбец”, тогда элемент cik это произведение i-ой строки матрицы А на k-ый столбец матрицы

В.

Пример 6. Умножим матрицу A на матрицу B , где

	2		3	7			6		5
А		4	5	8	;	B		4	3
										.
		1	6	9				12	2

	2		3	7	6		5	c	c
Решение. Имеем: А B		4	5	8		4	3	11	12	,
Решение. Имеем: А B		4	5	8		4	3	c21	c22	,
		1	6 9			12	2	c	c
								31	32


c11 2 ( 6) 3 4 7 12 84					c12 2 5 3 ( 3) 7 2 15
c21 4 ( 6) 5 4 8 12 92					c22		4 5 5 ( 3) 8 2 21
c31 ( 1)( 6) 6 4 9 12 138					c32		( 1) 5 6 ( 3)					9 2	5 ,
	2		3	7	6			5	84		15
А B		4	5	8		4		3		92	21
А B		4	5	8		4		3		92	21	.
		1 6		9		12		2		138 5
		1 6		9		12		2		138 5

Единичная матрица.

Единичная матрица это матрица, в которой все элементы главной диаго-

нали равны единице, а все остальные нулю.

Например:

1)	единичная матрица второго порядка имеет вид:	1			0
		E			.
		0			1
			1		0	0
2)	единичная матрица третьего порядка имеет вид:	E		0	1	0
							.
				0	0	1
3)	единичная матрица четвертого порядка имеет вид:

1		0	0	0
	0	1	0	0
E
	0	0	1	0	.

	0	0	0	1

Обратная матрица.

	a	a	a
	11	12	13
Пусть имеется матрица A	a21	a22	a23	, для неё существует обратная
	a	a	a
	31	32	33

матрица, которая

обозначается

А 1 . Последняя

характеризуется тем, что

произведение матриц A и А 1

равно единичной матрице:

А А 1 E

или А 1 А E .

Обратная матрица А 1 находится так

причем (A) 0 ,

А12

А22

А32

(А)

где (А)

— определитель матрицы А

a22

a23

a21

a23

a21

a22

a32

a33

a31

a33

a31

a32

a12

a13

a11

a13

a11

a12

a32

a33

a31

a33

a31

a32

A31

a12

a13

A32

a11

a13

A33

a11

a12

a21

a23

a21

a23

a21

a22

Пример 7. Дана матрица А

. Найти для нее обратную матри-

цу.

2 3

Решение.

a21

a22

a23

Обратная матрица А 1

равна:

А12

А22

А32

(А)

Найдем элементы обратной матрицы

A			a22				a23				4					7			53						A				a21					a23						2					7	58
A			a22				a23				4					7			53						A				a21					a23						2					7	58
	11			a32			a33					3 8													12				a31					a33				6 8
				a32			a33					3 8																	a31					a33				6 8
A				a21			a22					2						4			18				A					a12				a13							2				3	25
A				a21			a22					2						4			18				A					a12				a13							2				3	25
	13			a31			a32					6 3													21						a32			a33									3 8
				a31			a32					6 3																			a32			a33									3 8
A				a11			a13					1 3							26						A							a11		a12									1		2		9
A				a11			a13					1 3							26						A							a11		a12									1		2		9
	22			a31			a33					6 8													23							a31		a32										6 3
				a31			a33					6 8																				a31		a32										6 3
A			a12				a13			2				3			2								A				a11					a13					1						3	1
A			a12				a13			2				3			2								A				a11					a13					1						3	1
	31			a21			a23			4 7															32					a21				a23								2 7
				a21			a23			4 7																				a21				a23								2 7
A33				a11			a12				1						2			0 .
				a21			a22					2					4
																						1		53	25			2
Следовательно,													A		1							1		58	26			1
Следовательно,													A									9		58	26			1		.
																						9			9			0
Проверка:																							18		9			0
Проверка:						1		2					3							53				25		2								с		с							с
		1			1		2с	4					7									58		26 1							1			11			12							13
A Aс					9с		2с	4					7									58		26 1							9			21			22							23	,
							6		3				8									18 9				0								с		с							с
																																		31			32							33
с11 1 53 2 58 3 ( 18) 9																									с		6 ( 25) 3 ( 26) 8 9																					0
																									32
с21 2 53 4 58 7 ( 18) 0																									с		1 2 2 1 3 0 0
с31 6 53 3 58 8 ( 18) 0																									13
с31 6 53 3 58 8 ( 18) 0																									с		2 2 4 1 7 0 0
с12	1 ( 25) 2 ( 26) 3 9 0																								23
с12	1 ( 25) 2 ( 26) 3 9 0																								с		6 2 3 1 8 0 9
с22	2 ( 25) 4 ( 26)																	7 9						9	33
с22	2 ( 25) 4 ( 26)																	7 9						9
					1	1			2 3									53						25	2			1				9 0			0				1						0 0
A A		1			1			4 7												58				26	1			1					0 9		0									0				E
A A					9	2		4 7												58				26	1			9					0 9		0									0	1 0			E
					9		6		3 8											18 9					0			9					0 0		9									0
							6		3 8											18 9					0								0 0		9									0	0 1

Умножив A 1 на матрицу А, также получаем единичную матрицу:

			1	53		25	2	1		2	3
A	1	A			58	26	1		2	4	7	,
			9
					18	9 0			6	3	8

	53 ( 1) 25 ( 2) 2 6 9									18 2 9 4 0 ( 3) 0
	58 ( 1) 26 ( 2) 1 6 0									53 3 25 7 2 8 0
	( 18) ( 1) 9 ( 2)						0 6	0		58 3 26 7 1 8 0
	53 2 25 4 2 ( 3) 0									18 3 9 7 0 8 9
	58 2 26 4 1 ( 3) 9
			1	53		25	2	1		2 3	1	9		0	0	1 0		0
A	1	A			58	26	1		2	4 7			0	9	0		0 1		E
			9								9							0
					18 9		0		6	3 8			0	0	9		0 0
																		1
	Обратная матрица используется при решении матричных уравнений.
	Например, дано матричное уравнение:													X A B .

Здесь A, B – заданные матрицы, Х - неизвестная матрица. Чтобы найти матрицу Х, умножаем справа обе части уравнения на матрицу, обратную матрице А:

Х А А 1 B A 1 .

Но А А 1 E , где Е единичная матрица (она аналогична единице в обыкновенных вычислениях). А при умножении матрицы на единичную матрицу получается та же самая матрица, т.е. Х E Х .

Поэтому получается: Х B А 1

При решении матричных уравнений необходимо помнить свойство произ-

ведения матриц: вообще говоря							А B B А .
Пример 8. Решить матричное уравнение и сделать проверку.
	3		2	5	11		22	39
X		4	1 3			9	27
								32 .
		9	6	5		13	17
								26

		3		2	5		11		22	39
Введем обозначения:	А		4	1	3	и B		9	27	32
											.
			9	6	5			13	17
										26

Имеем XА			B	. Пусть A 1					обратная матрица матрицы А. Умножив справа
обе части равенства на A 1 , получим:
X A A 1 B A 1;								или		X B A 1 .
Найдем обратную матрицу A 1
				1		A		A	A
	1			1		11		21	31
A					A12			A22	A32	,
A			(A)		A12			A22	A32	,
						A		A	A
						13		23	33
где (А)		3		2		5
		3		2		5
		4		1		3	15 54 120 45 54 40 110,
		9		6		5

А				a22					a23						1 3				23					A				a21
А				a22					a23						1 3				23					A				a21
	11				a32				a33					6			5							12				a31
					a32				a33					6			5											a31
A				a21					a22					4			1		33					A				a12
A				a21					a22					4			1		33					A				a12
	13				a31				a32					9			6							21				a32
					a31				a32					9			6											a32
A					a11				a13						3		5	30						A				a11
A					a11				a13						3		5	30						A				a11
	22				a31				a33						9		5							23				a31
					a31				a33						9		5											a31
A				a12					a13						2		5		11					A				a11
A				a12					a13						2		5		11					A				a11
	31				a22				a23						1 3									32				a21
					a22				a23						1 3													a21
A33					a11				a12						3		2		11.
					a21				a22						4		1
											1					23				20			11
							A	1			1						7			30			11
Тогда																								,	и
Тогда											110													,	и
											110						33				0
																	33				0		11
			1				11				22						29 23						20	11
			1
X							9				27						32				7		30	11
X							9				27						32				7		30	11
		110									17									33			0
							13				17						26			33			0	11
	1				550					880						440					5		8	4
	1
						660				990						550						6	9	5
	110					660				990						550						6	9	5
	110					440				770												4	7
						440				770						330						4	7	3
												5					8 4 3						2 5			11
Проверка:													6				9		5			4	1	3			9
Проверка:													6				9		5			4	1	3			9
													4				7 3					9	6 5				13
													4				7 3					9	6 5				13
Пусть даны два матричных уравнения:																										B
																								XА		B
																								А X		B .

a23	4
a23	4
a	9
33
a13	2
a13	2
a	6
33
a12		3
a12		3
a		9
32
a13			3
a13			3
a			4
23

22 29

27 32 .

17 26

3				7
3				7
5
5				20
5				20
5
2				0
2				0
6
5				11
5				11
3

(1)

(2)

Казалось бы, они одинаковы, но в уравнении (1) матрица A стоит справа от неизвестной матрицы X , а в уравнении (2) – слева от нее. Поэтому решаются они по-разному:

XА	B			А X B
XА	А	1 B А	1	А 1 А X А 1 B
X BА		1		XА	1
X BА				XА	B .

То есть обе части каждого уравнения умножаются на матрицу А 1, но для уравнения (1) – справа, а для уравнения (2) – слева. В силу свойства BA 1 A 1B получаем различные матрицы X .

Ниже решены два таких уравнения, и получены разные ответы.

Пример 9. Решить матричное уравнение и сделать проверку.


	3		2 5			11		22	29
X		4	1 3				9	27
X		4	1 3				9	27	32 .
		9	6 5					17
		9	6 5			13		17	26
Имеем: XА			B .
			3		2	5			11		22	29
Здесь	А			4	1	3		B		9	27
Здесь	А			4	1	3		B		9	27	32 .
				9	6	5				13	17
				9	6	5				13	17	26

Умножим обе части уравнения справа на матрицу А 1 , обратную матрице А.

		XА	А		1 B А		1.
Так как А А 1						E , получаем X BА		1 . Матрица	A 1 вычислена в преды-
дущем примере.						20	11
		1		23		20	11
A	1	1
					7	30	11 .
		110			7	30	11 .
		110			33	0
					33	0	11

Значит,

		1		11	22	29		23		20	11	1	550		880	440
X		1										1
				9	27	32			7	30	11			660	990	550
		110		9	27	32			7	30	11	110		660	990	550
		110			17				33	0		110		440	770	33
				13	17	26			33	0	11			440	770	33
	110		5 8		4	5 8				4
	110			6 9			6 9
	110			6 9	5		6 9			5 .
	110			4 7	3		4 7
				4 7	3		4 7			3

Проверка:			5	5 8		4 3		2 5	11 22			29
	3	2
X	4	1 3			6 9	5	4	1 3		9	27		B .
												32
	9	6	5		4 7	3	9	6 5		13	17
												26

Пример 10. Решить матричное уравнение и сделать проверку.

3		2 5			11		22	29
	4	1	3	X		9	27	32
									.
	9	6	5			13	17
								26

Имеем: А X	B.
	3	2	5		11		22	29
Здесь А	4	1	3	B		9	27	32
									.
	9	6	5			13	17
								26
Умножим обе части уравнения слева на								A 1:	А 1 А X А 1 B; то есть

XА B 1 .

Матрица A 1 уже вычислена:

							1	23			20	11
		A	1				1
									7	30		11 .
						110			7	30		11 .
						110			33		0
Значит,									33		0	11
Значит,				23			20			11		11	22	29		70	221	259
	1			23			20			11		11	22	29	1	70	221	259
X	1														1
					7		30			11		9	27	32		50	469	471 .
	110				7		30			11		9	27	32	110	50	469	471 .
	110			33				0				13	17		110	220	539
				33				0		11		13	17	26		220	539	671

	1	3		2	5	70		221	259
Проверка: A X			4	1	3		50	469	471

110
			9	6	5		220	539	671

	1	1210		2420	3190	11		22	29
			990	2970	3520		9	27	32	B .

110
			1430	1870			13	17
					2860				26

Решение системы линейных уравнений по формулам Крамера.

			a x b y c z d
			1	1	1		1
Пусть имеется система линейных уравнений:			a2 x b2 y c2 z d2
			a	x b y c		z d		3	,
где ai ,bi ,ci и di i			3	3	3			3
		– заданные числа. Числа ai ,bi ,ci
	1 ,3	– заданные числа. Числа ai ,bi ,ci					называются ко-
эффициентами системы, а di		– свободными членами.
		a1	b1	c1
Определитель этой системы равен: a2			b2	c2 .

a3 b3 c3

Если элементы первого столбца этого определителя заменить свободными

членами d1, d2 , d3 , то получим определитель d1 b1 c1

x d2	b2	c2 .
d3	b3	c3

При замене второго столбца определителя числами d1 , d2 , d3 , получим

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке attachments_24-09-2012_18-32-26

#
13.04.2015215.92 Кб13practicum_algebra.pdf
#
13.04.2015530.65 Кб14practicum_lim.pdf
#
13.04.2015477.6 Кб15АНГ+ЛА.pdf

		1		11	22	29		23		20	11	1	550		880	440
X		1										1
				9	27	32			7	30	11			660	990	550
		110		9	27	32			7	30	11	110		660	990	550
		110			17				33	0		110		440	770	33
				13	17	26			33	0	11			440	770	33
	110		5 8		4	5 8				4
	110			6 9			6 9
	110			6 9	5		6 9			5 .
	110			4 7	3		4 7
				4 7	3		4 7			3

		1		11	22	29		23		20	11	1	550		880	440
X		1										1
				9	27	32			7	30	11			660	990	550
		110		9	27	32			7	30	11	110		660	990	550
		110			17				33	0		110		440	770	33
				13	17	26			33	0	11			440	770	33
	110		5 8		4	5 8				4
	110			6 9			6 9
	110			6 9	5		6 9			5 .
	110			4 7	3		4 7
				4 7	3		4 7			3

		1		11	22	29		23		20	11	1	550		880	440
X		1										1
				9	27	32			7	30	11			660	990	550
		110		9	27	32			7	30	11	110		660	990	550
		110			17				33	0		110		440	770	33
				13	17	26			33	0	11			440	770	33
	110		5 8		4	5 8				4
	110			6 9			6 9
	110			6 9	5		6 9			5 .
	110			4 7	3		4 7
				4 7	3		4 7			3