Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донецкий национальный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

attachments_24-09-2012_18-32-26 / practicum_lim

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.04.2015

Размер:

530.65 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

x3 4x2 5x 2

x 1

x3 x2

x2 3x 2

3x2 5x 2

x3 4x2 5x 2 (x 1)(x2

3x 2).

3x2 3x

2x 2

lim

x3 x2

5x 3

lim

(x 1)(x2

2x 3)

lim

x2 2x 3

Теперь

5x 2

3x 2)

x 1 x3 4x2

x 1 (x 1)(x2

x 1 x2 3x 2

Следовательно, в числителе и знаменателе есть еще один носитель нуля. Делим

опять числитель и знаменатель на (x 1) .

2x 3

x 1

x 3

x2 2x 3 (x 1)(x 3) ;

3x 3

3x 2

x 1

x 2

x2 3x 2 (x 1)(x 2).

2x 2

Значит,

lim

2x 3

lim

(x 1)(x 3)

lim

x 3

4 .

(x 1)(x

1 x2

x 1

x 1 x 2

Пример 44. lim

x 2

x 4

5x 4

3(x

3x 2)

x 1

x 2

x 4

3(x 2)(x 2) (x 4)(x 4)

lim

3(x 2)(x 1)

3(x 1)( x 2)( x 4)

x 1 (x 4)(x 1)

x 1

lim	4x2 8x 4	0	4	lim	x2 2x 1

	3(x 1)( x 2)( x 4)	0	3		( x 1)( x 2)( x	4)
x 1				x 1

lim

(x 1)2

lim

x 1

(x 1)( x

2)( x 4)

(x 2)(x

x 1

3 x 1

4x 3

Пример 45. lim

4x 3

lim

x2 9

4x 3

x 3

lim

(4x 3) 9

lim

4x 12

x 3

(x 3)(x 3)

4x 3

x 3 (x 3)(x 3)

4x 3

lim

4(x 3)

4lim

;

x 3

(x 3)(x 3)

4x 3

x 3 (x 3) 4x 3 3

6(3 3)

x 4

x 1

Пример 46. lim

x 4

lim

x 1 2

x 5

x 1 2

x 4 3

x 4 9

(x 5)

x 1 2

x 1

;

lim

x 1

x 5

x 1 4

x 4

x 5 (x 5)

x 4

x 5

x 4 3

5 3

x2 9

2x 1

Пример 47.lim

x2 9 5

lim

x 4

3 2x 1

x 4

2x 1

x2 9 5

9 52

lim

16 3

lim

2x 1

x 4

32 (2x 1)

x2 9

x 4 (8 2x)

x2 9

(x 4)(x 4)

(x 4) 3

lim

2x 1

lim

2x 1

2.4;

2 10

x 4

2(x 4)

9 5

x 4

2 x

9 5

Пример 48.

1 3x

1 2x

1 3x

1 2x

lim

1 3x

1 2x

lim

x x

x(1 x)

1 3x 1 2x

x 0

lim

x 0

x(1 x)

1 3x

1 2x

x 0 (1 x)

1 3x

1 2x

2 ;

1 x

Пример 49.

lim

x 0

1 x 1 x

2 x

lim

;

x 0

1 x

x 0 3x

1 x

x 0

1 x

2 x

Пример 50. lim

2 x

lim

x 7

(x 7) 2

x 3

lim

2 x 9

lim

x 7

lim

;

x 7

(x 7)

2 x

x 7

2 x

x 7

2 x 3

(x 4)

Пример 51.

lim

x 4

lim

5x 5

x 4

5x 5

x 4

5x 5

5x 5 5

(x 4)

5x 5

(x 4)

5x 5

lim

(5x 5) 25

5 x 4

x 4

Пример 52.

lim

;

x 1

x 1 x

(

)3 1

(

Пример 53.

lim

x 1

lim

x x 1 л(

x )

x 1ы

lim

1 1 1 3 ;

x 1

Пример 54. lim

lim

1 3x

x 0

1 3x 1

x 0

1 3x 1

1 3x

;

lim

1 3x

1 3x 1

x 0

1 x2

lim

1 1 x2

lim

Пример 55.

x 0

1 1 x2

lim

1 1 x2

lim

1 ;

x 0

1 x

x 0

1 x

x 0

1 1 x

Пример 56.

lim

1 3x

1 2x

x x2

x 0

lim

1 3x

1 2x

1 3x

1 2x

lim

1 3x 1 2x

x 0

x(1 x)

1 3x

1 2x

x 0 x(1 x)

1 3x

1 2x

lim

5lim

5 2.5;

x 0

x(1 x)

1 3x

1 2x

x 0 (1 x)

1 3x

1 3x2

Пример 57. lim

1 3x2 1

lim

x 0

x2 x3

x 0

x2 (1 x) 1 3x2 1

lim

1 3x2 1

lim

3x2

lim

;

x 0 x2 (1 x)

1 3x2

x 0 x2 (1 x )

1 3x2

x 0 (1 x )

1 3x2

2x 1

Пример 58. lim

2x 1

lim

x 3

(x 3)

2x 1 5

lim

2x 1 5

2lim

x 3

2lim

;

x 3

(x 3)

2x 1

x 3 (x 3)

2x 1

x 3

2x 1

Пример 59. lim	1 3x			2x 6	0

	x	2	5x		0
x 5

1 3x 2x 6

1 3x

2x 6

1 3x

2x 6

lim

x2 5 x

x 5

1 3x

2 x 6

x 5

1 3 x

2 x 6

lim

x 5

lim

;

x(x 5)

5(4 4)

x 5

1 3x

2x 6

x 5

1 3x

2x 6

x 1

Пример 60.

lim

x2 1

x 1

x2 1

x 1 x 1

x 1

lim

x 1

(x 1)(x 1)

lim

;

2 2

x 1

x 1 x 1

x 1

Пример 61.

lim

x 2

lim

x 2

2x 2

x 2

2 x 2

lim

2 x

x 2

2 x 2

Пример 62. lim

x2 x 16

9 2x 3x2

x2 7x

x 0

x2 x 16

9 2x 3x2

x2 x 16

9 2x 3x 2

lim

x 0

x(x 7) 3 x2 x 16 4 9 2x 3x2

lim

9(x2 x 16) 16(9 2x 3x

2 )

x 0

x(x 7) 3 x2 x 16 4 9 2x 3x2

lim

9x2

9x 144 144 32 x 48 x2

x 0 x(x 7) 3

x2 x 16

9 2x 3x2

lim

57x2 41x

x(x 7) 3

x 0

x2 x 16

9 2x 3x2

lim

x(57 x 41)

x 0

x(x 7) 3 x2 x 16 4 9 2x 3x2

lim

57x 41

;

x 0 (x 7) 3

x2 x 16 4

9 2x 3x2

168

Пример 63.

lim

x2 8x 3

x2 4x 3

lim

x2 8x 3 x2 4x 3

x2 8x 3

x2 4x 3

x2 8x 3

x2 4x 3

lim

x2 8x 3 x2

4x 3

lim

x2 8x 3 x2 4x 3

lim

8 3

4 3

8 3

4 3

x 1

Пример 64.

lim

1 tgx

sin x

x 0

lim

1 tgx

lim

1 tgx (1 tgx)

x 0

sin x

1 tgx

x 0 sin x

1 tgx

lim

2tgx

lim

sin x

x 0

1 tgx

x 0

sin x

;

cos x

Пример 65.

lim

x3 1

2x 2

x 1

Воспользуемся формулой a3 b3

(a b)(a2

ab b2 ) , тогда x 1

lim

;

x 1

2(x3 1)(x

3 x3

2(x3

x3 1)

x 3

(1 x)2

lim

1 x

Пример 66.

1 3 (1 x)2 3

x 0

3 1 x 1

x 0

1 x

x 3 (1 x)2

1 x

3 ;

lim

(1 x)2

1 x

x 0

1 x 1

x 0

Пример 67.

lim

x 1

lim

(x 1)3

x 9

Воспользуемся формулой a3 b3

(a b)(a2

ab b2 ) :

																	й							1					щ й												2											1						щ
																	к(x 1)							3		2ъ к(x 1)																	2(x 1)												4ъ
						1																		3																	3											3
lim			(x 1)3 2						lim								л												ы л																													ы
lim					x 9				lim																		й											2										1						щ
x 9					x 9						x 9																й											2										1						щ
																					(x 9) к(x 1)3 2(x																									1)3 4ъ
																											л																											ы
lim										x 1 23																										lim																				x 9
lim														3		2(x 1)										3		4щ								lim																					3		2(x 1)3							4щ
	x 9 (x 9) й(x 1)													3		2(x 1)										3		4щ										x 9 (x 9) й(x 1)																			3		2(x 1)3							4щ
														2												1																															2								1
							к																									ъ																	к																		ъ
							л																									ы																	л																		ы
lim									1																										1															1											1		;
lim							2												1												2								1																								;
	x 9						2												1												2								1										4 4 4										12
				(x				2(x 1)3 4
						1)3																			( 8)3 2 83 4
						1)3																			( 8)3 2 83 4
																																										x			3		1			3													x	3		1	3
													8x			3			1									0														x						2								8							x
Пример 68. lim													8x						1									0							8 lim													2								8		lim								2

																																																																	1			1
							x 1 6x2 5x 1																					0									x			1	6x2					5x					1					6 x					1
							x 1 6x2 5x 1																					0									x				6x2					5x					1					6 x
									2																														2																							2 x			x			3
							1								1							1																			x					1										3									2			3
							1					2			1							1																2			x					1										3
	4				x		2	x							2					x		4						4									x													4
					x			x												x																	x				2					4										4
		lim																												lim											2					4										4				6 ;
		lim																		1										lim													1									1					1			6 ;
	3 x			1					1																			3 x						1					x											3
	3 x								1																			3 x																						3
				2		x			2		x									3												2											3									2					3
									2											3																							3									2					3
																		5x											0																						5x
Пример 69.							lim																									0			lim
																																																1											1
												1 x 3 1 x																																				1											1
							x 0 3																																x 0
							x 0 3																																x 0					(1 x)3 (1 x)3
																																												(1 x)3 (1 x)3
Воспользуемся формулой																							a3 b3										(a b)(a2														ab b2 ) , здесь числитель и знаменатель
можно умножить на
й				1					1											1								2			щ
й																															щ
к(1 x)3 (1 x)3 (1 x)3 (1 x)3																															ъ .
л																															ы
Тогда в знаменателе произойдут следующие преобразования:
й				1					1		щ й										1											1									1									2			щ		1 x 1 x 2x
й											щ й																																										щ
к(1 x)3 (1 x)3											ъ к(1 x )3 (1 x )3 (1 x )3 (1 x )3																																										ъ
л											ы л																																										ы

И тогда иксы в числителе и в знаменателе сократятся. Но математически грамотно следует поступать так:

5x 52 2x 52 (1 x) (1 x) ;

щ3

(1 x) (1 x)

к(1 x)3

lim

x 0

(1 x)3

2 x 0

(1 x)3

(1 x )3

2 x 0

(1 x )3 (1 x )3

щ й

5 lim

к(1 x)3 (1 x)3

ъ к(1 x)3 (1 x )3 (1 x )3 (1 x )3

ы л

2 x 0

(1 x)3 (1 x)3

5 lim				й								2																	1										1																2		щ			5 (1																	15
				й																											(1 x )3										(1 x )3																щ													1 1)
				к(1 x)3 (1 x )3																											(1 x )3										(1 x )3																ъ													1 1)
2 x 0				л																																																					ы		2																		2
Пример 70.

																																				3																																	2		2			3
																																				3									2																								2		2			3								2
3	1 3x					2		1														0																1 3x									1										3 1 3x																			1		3x						1
lim	1 3x							1														0					lim

		x		2	x		3
				2			3																																																										2 2
x 0																						0								x 0								x		2			x			3											1 3x								2 2							3	1 3x						2
																																						x					x									3					1 3x																1 3x							1
																			1 3x2 1
lim																			1 3x2 1																																						lim																											3x2
lim	x2 x3																																																								lim
x 0																			1 3x2												2																														x 0																	1 3x2											2
x 0																															2			3 1																											x 0																												2					3 1
													3																					3 1						3x2 1																									x2 (1 x)												3																	3 1		3x2 1

lim																											3																									1;
lim																																																				1;
x 0																									2			2					3
x 0	(1 x)									3		1				3x									2			2					3		1 3x								2
	(1 x)									3		1				3x																			1 3x												1

																																																					3																	3																									4
																																																																2										x 9 2							23
																		3											2									0																				x 9																																x 9
Пример 71.										lim								3			x 9								2									0						lim														x 9																																x 9

																							x 1																																				(x 1) 3																																		4

										x 1																													0						x 1																										x 9 2							23
										x 1																													0						x 1																										x 9 2							23								x 9
lim																			x 9 8																													lim																												x 1
lim																																																lim
x 1 (x 1) 3													x 9 2 23																												4										x 1 ( x 1) 3																					x 9 2 23																					4
x 1 (x 1) 3													x 9 2 23																					x 9							4										x 1 ( x 1) 3																					x 9 2 23															x 9						4
lim																1																								1				;
																																							12

x 1 3					x 9 2 23																										4
x 1 3					x 9 2 23																			x 9							4
																																												0
										lim										2 x													2 x											0
Пример 72.
Пример 72.																3															3
										x 0						3				2 x											3		2 x											0
																																																	3																			3
																																																								(2 x)2																															3				(2 x )2
lim					2 x										2 x																2 x											2 x														(2 x)2															(2 x )(2 x )																3				(2 x )2
lim
x 0	3								3																	3					(2 x)2										3																									3					(2 x )2
x 0	3				2 x				3					2 x												3					(2 x)2										3				(2 x )(2 x )																					3					(2 x )2												2 x											2 x
	2 x 2 x 3
																										(2 x)2											3																									3					(2 x )2
lim																										(2 x)2											3				(2 x )(2 x )																					3					(2 x )2
lim
x 0													2 x 2 x																											2 x 2 x
													2 x 2 x																											2 x 2 x
	3		(2 x)2								3									4 x2									3						(2 x)2														3					3									3									33							3						42							3
																																																		4											4							4							4
lim																																																		4											4							4							4																			6 2;
																																																																																6								3


x 0											2 x 2 x																																														2 2															2 2							2 2													2
											2 x 2 x																																														2 2															2 2							2 2													2
Пример 73. lim																xm 1																0					. По теореме Безу имеем:

																	xn						1									0
										x 1							xn						1									0

xm am (x a)(xm 1 axm 2 a 2xm 3 ... am 2x am 1 ), тогда

lim	xm 1	lim	(x 1)(xm 1 xm 2 xm 3 ... x 1)	lim	xm 1 xm 2 xm 3 ... x 1	m	.
	xn 1		(x 1)(xn 1 xn 2 ... x 1)		xn 1 xn 2 ... x 1	n
x 1		x 1		x 1

Здесь в числителе имеется m слагаемых, каждое из которых равно единице, так как единица в любой степени равна единице. В знаменателе n слагаемых, каждое из которых равно единице.

Пример 74. lim

x 1

Здесь также используется теорема Безу.

щ й

n 1

n 2

m 1

m 2

x 1

л(

(

...

1ы

л(

(

...

1ы

lim

lim к

x 1 m

x 1

n 1

(

n 2

...

щ й

(

m 1

(

m 2

...

x 1

m 1

m 2

(

m 1

m 2

(

... 1

lim

(x 1) л(

... 1ы

lim

;

x 1 (x 1) й( n

)n 1

( n

) n 2

... n

1щ

x 1

(n x)n 1

( n x)n 2

... n x

Пример 75.

x cos5x

limcos5x 1 lim

limcos5 x 1;

lim xctg5x

lim

sin5x

x 0 sin5 x x 0

5 x 0 sin5 x x 0

x 0

Здесь использован первый замечательный предел: lim sin x

lim 5xcos3 x

x 0

3 x

Пример 76.

lim5xctg3x

5 limcos3xlim

sin x

3 x 0

x 0 sin3x 3

x 0

Здесь использован первый замечательный предел: lim sin x

x 0

sin x 2

tg 2

sin 2

Пример 77.

lim

;

x 0

x 0 cos2

x 0

4 x 0

x 0

Здесь использован первый замечательный предел: lim sin x

x 0

Пример 78.

lim

x2ctg 2x

limcos 2x lim

lim

sin 3x

x 0 sin 3x

x 0 sin 2x

x 0

limcos 2x lim

lim

;

sin 3x

x 0

x 0 sin 2x

Пример 79.

lim (x2 4x 5)ctg(x 5) 0 lim (x 5)(x 1)ctg (x 5)

x 5

lim (x 1) lim (x 5) cos( x 5) 0 6 lim cos(x 5) lim

x 5

sin(x 5)

x 5

x 5 sin( x 5)

6 cos 0 lim

x 5

6 lim

x 5

x 5 t

6 lim

x 5 t 0

x 5 sin(x 5)

x 5 sin( x 5)

0 sin t

Пример 80.

1 (1 2 sin2 x)

sin x

lim

1 cos 2x

lim

xsin 2x

2sin x cos x

x cos x

cos x

x 0

x sin x

xsin x

Пример 81.

lim

cos x cos3 x

cos x(1 cos2

cos xsin2

x 0

lim

cos x sin x

x 0

x 0 cos x

x 0 sin x

Пример 82.

lim

cos x cos3 x

cos x(1 cos2

lim

cos xsin2

4x sin x

lim

4x sin x

4 xsin x

x 0

lim

cos x sin x

lim cos x lim

sin x

1 1

;

x 0

4 x 0

x 0

lim

x sin 3x

lim

xsin 3x

Пример 83.

1 cos 6x

(1 2sin2 3x)

x 0

lim

xsin 3x

lim

;

2sin 3x

x 0

2sin2 3x

x 0

2 x 0 sin 3 x

6 x 0 sin 3 x

Здесь использован первый замечательный предел: lim sin x 1.

sin

2 3x

sin 2 3xcos 2 x

x 0

Пример 84.

lim

x tg 2x

xsin 2x

x 0

Умножим и разделим дробь на х.

xsin 2 3xcos2 x

sin3 x 2

limcos2 x

lim

sin 2x

x 0

x 0 sin 2x x 0

3sin3x 2

sin3x 2 1

2 x

lim

limcos2 x 9 lim

lim

limcos2 x 9

;

x 0

2sin 2x x 0

x 0

2 x 0 sin 2 x x 0

Пример 85.

lim

tg x

x z x

sin

z cos z

lim z

lim

limcos z lim

1 ;

sin z

z 0 при x

z 0

z 0 sin z

cos

Пример 86.

x a

sin x sin a

2cos

sin

cos

2sin

lim

x2 a2

(x a)(x a)

x a

cos a lim

sin

x a

cos a lim sin t cos a ;

x a

2a x a

x a

t 0

Пример 87. lim

cos	x	sin	x	0

2			2			lim
					0

	cos x					x 2

cos	x	sin	x				1		1
cos	2	sin	2		lim		1		1
	x			x	lim	x		x		;
cos2	x	sin2		x	x 2 cos	x	sin	x	2	;

	2			2		2		2
	2			2		2		2

2sin2

2sin 2

sin

x 2

1 cos x

Пример 88.

lim

;

x 0

cos x

Пример 89. lim

lim

x 0

cos x 1

lim cos x 1

1 lim cos x 1 1 lim

1 cos x

1 lim

2sin

lim

x 0

cos x 1 x 0

2 x 0

2sin2

sin2

sin x

lim

;

2 x 0

4 x 0

x 0

Пример 90.

lim

x2ctg2x

lim

x2 cos2x

limcos2 xlim

lim

;

sin3x

x 0 sin 2 xsin3 x

6 x 0

x 0 sin 2 x x 0sin3 x

x 0

sin x

2sin 2 x

sin 2 x

1 cos2x

Пример 91.

lim

2lim

2 lim

2 ;

| x |

x 0

Пример 92.

lim

cos x cos

3 x

lim

cos x(1 cos 2 x)

limcos xlim

sin 2 x

sin x

lim

x 0

Пример 93.

lim

1 cos 6x

lim

(1 cos 6x)(1 cos 6x)(1 cos 2x)

1 cos 2x

(1 cos 2x)(1 cos 2x)(1 cos 6x)

x 0

lim

(1 cos2 6x)(1 cos2 x)

lim

1 cos2 x

lim

cos 26 x

(1 cos2

2x)(1 cos6 x)

cos2 2 x

x 0

1 cos6 x x 0 1

sin2 6x

sin 6 x 2

lim

2 x 0

x 0 sin

x 0

x 0 sin 2 x

sin 6x

sin 6x 2

6lim

lim

x 0

2 x 0 sin 2 x

x 0

4 x 0 sin 2 x

Пример 94.

lim sin223x

x 0 x

Пример 95.

lim

1 cos 6x

1 (1 2sin2

3x)

lim

sin2 3x

1 cos 2x

lim

2sin2

sin 2 x

x 0

sin2 3x

sin3x

lim

9lim

(3x)2

lim

9 lim

lim

x 0 sin2 x

x 0

x 0 sin2 x

x 0

sin x

lim

1 2cos x

2cos x

2cos 3

	x	2	9


sin x

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке attachments_24-09-2012_18-32-26

#
13.04.2015215.92 Кб13practicum_algebra.pdf
#
13.04.2015530.65 Кб14practicum_lim.pdf
#
13.04.2015477.6 Кб15АНГ+ЛА.pdf