Методичка ДЕРКАЧА

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донецкий национальный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

C+ C− называется Неванлинновской, если она

(i) позитивна, то есть Im A(λ) B(λ)

≥ 0 ïðè λ C+ C−;

≥ 0 ïðè λ C+ C−;

(ii) симметрична, то есть A(

) B(λ) = B(λ¯) A(λ) ïðè λ

(ii) симметрична, то есть A(

) B(λ) = B(λ¯) A(λ) ïðè λ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.04.2015

Размер:

973.11 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 169 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

		4.3. НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ ЛИНЕЙНЫХ ОТНОШЕНИЙ	81
		Существуют линейные отношения, для которых σp(θ) = C.
		Пример 4.2.14. Рассмотрим θ = C2 как линейное отношение в C. Тогда mul θ = C 6=
LREx:17
		{0} è ker(θ − λI) = C äëÿ âñåõ λ C. Поэтому σp(θ) = C.
	L:3.1	Лемма 4.2.15. Åñëè Θ1 Ce(H) è Θ2 = B B(H), то верны эквивалентности:

(i) ker(Θ1 − B) = 0 Θ1 ∩ gr (B) = {0};

(ii) 0 ρ(Θ1 − B) Θ1+gr˙ (B) = H H òî åñòü Θ1 è gr (B) трансверсальны.

4.3 Некоторые классы линейных отношений

Определение 4.3.1. Пусть θ линейное отношение в H. Линейное отношение, определ¼нное равенством

θ =	g0		H : (f0, g) = (f, g0)		f0		θ ,	(3.1) LR_14
	g				f

называется сопряж¼нным линейным отношением к θ.

LRE_19 Óïð. 4.3.2. Показать, что сопряж¼нное линейное отношение θ обладает следующими свойствами:

1) θ Ce(H);

2) θ = clos θ, ïðè ýòîì θ = θ, åñëè θ Ce(H);

3)Åñëè θ1 θ2, òî θ1 θ2;

4)(θ−1) = (θ )−1;

5) Åñëè θ = gr T è T

(H) плотно определ¼нный оператор в H, òî θ = gr T ;

6) Åñëè θ = gr T

è T0

C(dom T, H) оператор, совпадающий с T

íà dom T0 =

dom T , òî

θ = T0 ff+ h : f dom T0 , h (dom T ) .

Предложение 4.3.3. Åñëè A, B B(L, H) è θ = ran BA , òî

LRP:20

θ = ker B

−A .

(3.2)

LR_15

Доказательство. Включение ker B

−A

θ очевидно. Пусть теперь g0

è h

L. Тогда

(h, B g − A g0) = (Bh, g) − (Ah, g0) = 0

и, следовательно, gg0

ker B −A .

82 ГЛАВА 4. ГРАНИЧНЫЕ ТРОЙКИ И СОБСТВЕННЫЕ РАСШИРЕНИЯ.

LRP:21

Предложение 4.3.4. Åñëè C, D B(H, L) è θ = ker

C D , òî

θ ran

−C .

(3.3)

LR_16

LR_12

Если к тому же выполнено условие

(2.8), òî

θ = ran

−C .

(3.4)

LR_17

LR_16

LRP:20

Доказательство. Включение

(3.3) следует из

Предложения

4.3.3. Åñëè æå

выполнено

LR_17

LR_12

LR_15

является замкнутым,

ran −C

условие

(2.8), то линейное отношение

и равенство (3.4) следует из (3.2) и Свойства 2). 2

Определение 4.3.5. Линейное отношение θ â H называется:

(i)симметрическим, если θ θ ;

(ii)самосопряж¼нным, если θ = θ ;

(iii) диссипативным, если Im(f0, f) ≤ 0 äëÿ âñåõ ff0 θ;

(iv)максимальным диссипативным, если θ диссипативно и θ не допускает диссипативных расширений отличных от θ.


LRE:23	Óïð. 4.3.6. Линейное отношение θ симметрично тогда и только тогда,		когда
	Im(f0, f) = 0 äëÿ âñåõ ff,0	θ.
	Ясно, что класс диссипативных линейных отношений содержит все
	симметрические линейные отношения.

LRE:24	Óïð. 4.3.7. Если линейное отношение θ диссипативно и H1 = dom θ, H2 = mul θ, òî
	H = H1 H2 и существует диссипативный оператор T1 â H1 такой, что
	θ = T1ff+ h : f dom θ, h mul θ .
			(3.5)	LR_21

При этом линейное отношение θ является максимальным диссипативным тогда и только тогда, когда T1 максимальный диссипативный оператор в H1 и mul θ замкнуто в H.

LR_21

Равенство (3.5) можно переписать в виде

θ = gr T1+	mul θ .	(3.6) LR_22
b	0
b

4.3. НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ ЛИНЕЙНЫХ ОТНОШЕНИЙ

Оператор T1 называется операторной частью линейного отношения

θ. В частности,

åñëè

линейное

отношение

является

симметрическим,

òî

оператор

LR_22

разложении

также симметричен, а если линейное отношение

является

(3.6)

самосопряж¼нным, то и оператор

самосопряжен в

LRE:24

В силу Упражнения

4.3.7

получаем для произвольного симметрического

линейного отношения θ C(H), что подпространства ran (θ − λI) замкнуты для всех

λ C\R. Дефектное подпространство Nλ симметрического линейного отношения θ

определяется равенством

λ C.

Nλ = H ran (θ − λI),

(3.7)

LR_23

Ce(H)

LRE:25

Óïð. 4.3.8. Для симметрического линейного отношения

cправедлива

формула

Nλ = ker(θ − λI),

λ C.

(3.8)

LR_24

θ Ce(H)

LRE:26

Óïð. 4.3.9. Для симметрического линейного отношения

справедлив аналог

Первой формулы Неймана

θ = θ + Ni + N−i,

ãäå N

λ =

: f

. Ïðè ýòîì

тогда и только тогда, когда

ran (

) =

λf

θ = b

ran (bθ − iI) = H.

ran BA . Тогда θ является

Предложение 4.3.10. Пусть A, B B(L, H) è θ =

LRP:27

симметрическим (диссипативным) линейным отношением тогда и только тогда

когда, когда

B A − A B = 0

(Im A B ≥ 0).

(3.9)

LR_30

LRP:20

Доказательство. В силу Предложения

4.3.3

θ = ker B

−A .

Если линейное отношение θ является симметрическим, то

ker

LR_30

−

поэтому выполняется (

3.9).

LR_30

BhAh

Обратно, если выполнено (

3.9),

òî

−A

äëÿ âñåõ

h L, è,

следовательно, линейное отношение θ симметрично.

Следствие 4.3.11. Пусть A, B

B(L, H) удовлетворяют условию

LR_6

è θ

LRC:28

(2.2)

ran B . Тогда

является самосопряж¼нным линейным отношением, если и

LR_30

только если выполнено

(3.9)

операторы A ± iB обратимы.

(3.10)

LR_31

84 ГЛАВА 4. ГРАНИЧНЫЕ ТРОЙКИ И СОБСТВЕННЫЕ РАСШИРЕНИЯ.

B(H, L) удовлетворяют условию

LR_12

LRC:29

Следствие. Тогда

Пусть C, D

(2.8) è θ =

4.3.12.

ker C

θ является самосопряж¼нным линейным отношением, если и

только если

CD = DC ,

(3.11)

LR_32

0 ρ(C ± iD).

(3.12)

LR_33

Доказательство. Действительно, из предыдущего утверждения следует, что

привед¼нные условия эквивалентны тому, что линейное отношение

ran −C , à ñ

íèì è θ = ran −C

, являются самосопряженными. 2

LR_6

Условие

(2.2) не является необходимым для того, чтобы линейное отношение

θ B

áûëî

самосопряж¼нным.

Òåì

не менее, как

показано

следующем

предложении, достаточно ограничится только такими парами A, B.

Предложение 4.3.13.

A, B B(L, H) таковы,

LR_6

RLP:30

θ = ran BA

Пусть

что линейное отношение

является самосопряженным, и пусть условие

(2.2)

не выполнено. Тогда

существует подпространство L1

L, такоеLR_6

A1 = A|L1 , B1 = B|L1

лежат в B(L1, H), удовлетворяют условию

что операторы

(2.2)

ran B

= ran B1

(3.13)

LR_34a

Доказательство. Так как линейное отношение θ является самосопряж¼нным, то

LRE:12

0 ρ(θ ± i) и в силу Упражнения 4.2.9

Отсюда следует, что

ran (B ± iA) = H,

ker(B ± iA) ker A.

(3.14)

LR_34

ker(B ± iA) = ker B \ ker A = L0.

LR_34

Действительно, если (B ± iA)h = 0, то из соотношений

следует, что

(3.14)

Ah = 0, а тогда и Bh = 0. Обратное включение очевидноLRP:27 .

LR_30

Заметим далее, что в силу Предложения

4.3.10

выполнено равенство (

3.9) è

поэтому

(B ± iA) (B ± iA) = B B + A A.

(3.15)

LR_35

Полагая A1 = L L1, получим что операторы A1, B1 удовлетворяют условию (

LR_35

3.15).

Так как операторыLR 34a B

1 B

, H) обратимы, то 0

ρ(B B

+ A A

). ßñíî, ÷òî

1 1

равенство

(3.13)

также выполняется. 2

4.4. КРИТЕРИЙ САМОСОПРЯЖ ННОСТИ ЛИНЕЙНОГО ОТНОШЕНИЯ 85

4.4Критерий самосопряж¼нности линейного отношения

Определим сигнатурный оператор JH â H2 равенством

		−IH
JH = i	0	−IH	,
	IH	0

тогда JH = J = J−1. Аналогично определим оператор JL â L2. Блочный оператор

W = w21

называется (JL, JH)-изометрическим, если выполнено

w22

, èç L2 â H2

w11

w12

равенство

W JHW = JL,

(4.1)

LR_36

è (JL, JH)-унитарным, если выполнено равенство (

LR_36

4.1) è

W JLW = JH.

(4.2)

LR_37

LR_36

Равенство

(4.1) эквивалентно следующим условиям на компоненты матрицы W

w11w21 = w21w11,

w12w22 = w22w12,

w11w22 − w21w12 = IL,

(4.3)

LR_38

LR_37

а условие

(4.2) эквивалентно равенствам

w11w12 = w12w11,

w21w22 = w22w21,

w11w22 − w12w21 = IH.

(4.4)

LR_39

Всякий (JL, JH)-унитарный оператор W является обратимым и

W −1 = JLW JH.

Обратно, если оператор W B(L, H) (JL, JH)-изометричен и обратим, то он и (JL, JH)- унитарен.

Теорема 4.4.1. Пусть A, B

B(L, H) удовлетворяют условию

LR_6

LRT:31

(2.2). Тогда

линейное отношение θ = ran BA является самосопряж¼нным, если и только если

оператор

W = AK−1/2

−BK−1/2

(K = A A + B B)

(4.5)

LR_40a

BK−1/2

AK−1/2

является (JL, JH)-унитарным.

Доказательство. Пусть оператор

является (

JL, JH)-унитарным. Первое из

LR_38

равенств

(4.3)

приводит к соотношению

B A = A B,

ГЛАВА 4. ГРАНИЧНЫЕ ТРОЙКИ И СОБСТВЕННЫЕ РАСШИРЕНИЯ.

LR_30

LR_35

совпадающему с равенством (

3.9). Отсюда получаем равенства (

3.15), из которых

следует, что ker(B ± iA) = {0} и линеалы ran (B ± iA) замкнуты в H. Более того

ran (B ± iA) = H. Действительно, если

B iA )f

= 0, то полагая f =

fif ,

получим

−2kfk2 = (Jf, f) = (JW f, W f) = 0.

Отсюда

, и следовательно операторы

B ±

iA ограниченно обратимы.

f = 0

b b

Допустим теперь, что линейное

отношение θ является самосопряженным. Тогда

A è B удовлетворяют условиям (

LR_30

LR_31

LR_30

3.9),

(3.10). Из соотношения (

3.9) следует, что

W JHW = JL. Поэтому ker W = {0} è ran W замкнуто в H2.

Для доказательства (JL, JH)- унитарности W оста¼тся показать, что

ran W

плотно в H2. Допустим, что это не так и h = h2 ran W . Тогда W h = 0, òî åñòü

A h1 + B h2 = 0,

−B h1 + A h2 = 0.

(4.6)

LR_42

Из второго равенства в (

4.6) следует, что

−A = θ .

h2 ker B

существует

À òàê êàê θ самосопряж¼нное линейное отношение, то h2

θ и поэтому

LR_42

u L такой, что h1 = Au, h2 = Bu. Подставляя это в первое равенство в ( 4.6), получаем

(A A + B B)u = Ku = 0.

Отсюда следует, что u = 0 и следовательно h1 = h2 = 0. 2

предыдущее В применении к линейному отношению вида θ = ker C D

утверждении принимает вид

LRC:32 Следствие 4.4.2. Пусть C, D B(H, L) и пусть

0 ρ(K), K1 = CC + DD .

(4.7)

является самосопряж¼нным и тогда и

Тогда линейное отношение θ = ker C D только тогда, когда матрица

"	K1−1/2D K1−1/2C		#
	K−1/2C K−1/2D
W =	1	1		,	(4.8)

−

çàäà¼ò (JH, JL)- унитарный оператор.

LR_43

LR_43a

4.4. КРИТЕРИЙ САМОСОПРЯЖ ННОСТИ ЛИНЕЙНОГО ОТНОШЕНИЯ 87

LRT:31

Доказательство. Утверждение следует немедленно из Теоремы 4.4.1, если

LRP:21

заметить, что в силу Предложения 4.3.4

θ = ran −D . C

LR_43

LRT:33 Теорема 4.4.3. Пусть C, D B(H, L) и пусть выполнено условие (4.7). Тогда

является самосопряж¼нным, если и только

линейное отношение θ = ker

C D

åñëè

CD = DC

(4.9)

LR_44

0 ρ(K1),

(4.10)

LR_45

0 ρ(K2),

(4.11)

LR_46

ãäå K1 = CC + DD , K2 = K1 − K21K1−1K21, K21 = D C − C D.

LR_39

LRW

JL, JH

Доказательство. Â ñèëó

соотношений

(4.4) оператор

является

(

_44

изометрическим тогда и только тогда, когда выполнено (

Далее, оператор W

4.9).

является (JH, JL)-унитарным если к тому же W обратим, что эквивалентно

условию 0

ρ(W W ). Представляя матрицу W â âèäå

W = KeWf,

K−1/2

ρ(W W ) â âèäå

K1−1/2

D C

ãäå K = 1

è W =

, перепишем условие 0

ρe(W W ), ãäå

−

f f

W W =

C C + D D C D − D C

K1 K21 .

f f

D C − C D D D + C C

K21 K1

Êàê

W W

эквивалентна обратимости

известно, обратимость

матрицы

f f

оператора K1 и его дополнения Шура K2. 2

LR_43

LRC:34

Следствие 4.4.4. Пусть C, D B(H, L), пусть выполнено условие

(4.7) и пусть

C D = D C.

(4.12)

LR_47

является самосопряж¼нным, если и


	Тогда линейное отношение θ = ker		C	D
		LR_44		LR_45
	только если выполняются условия	(4.9),		(4.10).
	только если выполняются условия	(4.9),

LRC:34a	Следствие 4.4.5. Пусть C, D B(H, L) и выполнены условия
	CD = DC ,		0 ρ(CC + DD ),
	CD = DC ,		0 ρ(CC + DD ),		(4.13)	LR_47a
	C D = D C,		0 ρ(C C + D D).
	C D = D C,		0 ρ(C C + D D).		(4.14)	LR_48a
	Тогда линейное отношение θ = ker C		D является самосопряж¼нным.
	Тогда линейное отношение θ = ker C		D является самосопряж¼нным.

LRE:35

LRR:1

LRR:2

LRD:40

LRD:41

88 ГЛАВА 4. ГРАНИЧНЫЕ ТРОЙКИ И СОБСТВЕННЫЕ РАСШИРЕНИЯ.

C, D

(H, L), пусть выполнены

LR_43

LR_47

является

условия

(

4.7),

(4.12). Тогда

Óïð. 4.4.6. Пусть

θhC Di

самосопряж¼нным если и только если

C K−1D = D K−1C,

C K−1C + D K−1D = I.

(4.15)

LR_48

LRT:33

LRE:35

Замечание 4.4.7.

Сравнение

Теоремы

4.4.3 и Упражнения

4.4.6 показывает, что

LR_48

LR_45

LR_46

LR_43

соотношения

(4.15) следуют из

(4.10),

(4.11), а при выполнении условий (

4.7),

(4.7)

эквивалентны.

LR_47a

LR_48a

Замечание 4.4.8. Åñëè dim H < ∞, то условия

(4.13) эквивалентны условиям.

(

4.14)

и обеспечивают самосопряж¼нность линейного отношения θ = ker C

Этот факт был доказан Ф. С. Рофе-Бекетовым

[??]. В бесконечномерном случае

â [??].

θ = ker C

были получены

некоторые достаточные условия самосопряж¼нности

4.5Неванлинновские пары

Определение 4.5.1. Ïàðà

A(λ), B(λ) B(H)-значных функций, голоморфных в

ïðè

(iii) невырождена, то есть 0 ρ B(λ) + λA(λ)

λ C+ C−.

LRC:28

Из Следствия

4.3.11 следует, что для произвольной Неванлинновской пары

A(λ), B(λ)

τ(λ)

= ran

B(λ) является

максимально

линейное отношение

A(λ)

называются эквивалентными,

диссипативным при λ

и максимально аккумулятивным при

C−

. Äâå

Неванлинновские пары

A(λ), B(λ) A1(λ), B1(λ)

åñëè

A(λ) = A1(λ)G(λ), B(λ) = B1(λ)G(λ) (λ C+ C−)

для некоторой оператор-функции G(λ)

со значениями в B(H), голоморфной в

C+ C− и ограниченно обратимой на C+ C−. Ясно, что линейные отношения θ =

ran B(λ) , θ1 = ran

(λ)

соответствующие эквивалентным Неванлинновским

A(λ)

(λ)

парам, совпадают.

Определение 4.5.2. Семейство линейных отношений τ(λ), ãäå λ

C+ C−,

относят к классу RH, и называют Неванлинновским семейством, если

Im λ

≥ 0, ïðèe λ C+ C−;

(a)

Im τ(λ)

τ(λ) = τ(

), ïðè λ

C+

C−

(b)

;

4.5. НЕВАНЛИННОВСКИЕ ПАРЫ	89
(c) 0 ρ τ(λ) + λ è оператор-функция τ(λ) + λ −1 голоморфна в C+ C−.

LRD:41

Условие (a) в Определении 4.5.2 следует понимать в том смысле, что для всех

f0 τ(λ)

Im(f0, f)	≥ 0, ïðè λ C+ C−.
Im λ

LRP:42 Предложение 4.5.3. Формула

τ(λ) =	B(λ)h	: h H	(5.1) LR_50
	A(λ)h
устанавливает взаимно-однозначное соответствие между множеством			ReH

Неванлинновских семейств τ(·) и множеством классов эквивалентности Неванлинновских пар {A, B} â H.

ДоказательствоLR 50 . Пусть {A, B} Неванлинновская пара в H и пусть τ определена равенством (5.1). Тогда, как было уже отмечено выше, τ(λ) является максимально диссипативным линейным отношением в H ïðè λ CLRP:15+, поэтому выполняются условия (a) è (c). При этом, как следует из Предложения 4.2.12

τ(λ)

λ −1 = A(λ) B(λ)

+ λA(λ) −1.

ïðè

Èç (

) следует, что

LRP:20, èëè

−

τ(λ) τ(λ)

(τ(λ) + λ)

τ(λ) + λ

В силу Предложения

4.3.3

(5.2) eq:1

λ C+ C−.

τ(

) = ker

LRP:16

B(λ)

−A(λ)

откуда в силу Предложения

4.2.13

получим

τ(

) + λ −1 = (B(

) + λA(

) )−1A(

) .

(5.3)

eq:2

eq:1

eq:2

Èç

(5.2),

(5.3)

и свойства (ii) следует, что

τ(.λ) + λ −1 = τ(

) + λ −1

и, следовательно, τ(λ) = τ(

)

Обратно, пусть τ(·) удовлетворяет (a) (c). Определим A(λ) è B(λ) равенствами

A(λ) = τ(λ) + λ

−1, B(λ) = I − λ τ(λ) + λ

−1, λ

C+

C−.

LR_50

Тогда τ(λ) допускает представление (

5.1). В силу условия (c) A(λ) è B(λ)

голоморфны в C+ C− и принимают значения в B(H). Òàê êàê B(λ) + λA(λ) ≡ I,

òî (iii) выполненоLRP:27. Условия (ii) äëÿ A è B очевидно, а условие (i) следует из

Предложения

(4.3.10)

−1. Легко

90 ГЛАВА 4. ГРАНИЧНЫЕ ТРОЙКИ И СОБСТВЕННЫЕ РАСШИРЕНИЯ.

LR_50

Допустим теперь, что τ(λ) допускает представление (5.1) для Неванлинновских пар {A, B} è {A,e Be}, òî åñòü

τ(λ) = ran	B	= ran	"B# .
			e
	A		A

Тогда

τ(λ) + λ −1 = A(λ) B(λ) + λA(λ) −1 = Ae(λ) Be(λ) + λAe(λ) −1,

òàê, ÷òî Ae(λ) = A(λ)G(λ), ãäå G(λ) = B(λ) + λA(λ) −1 Be(λ) + λAe(λ)

видеть, что также что Be(λ) = B(λ)G(λ), и следовательно пары {A, B} è {A,e Be}

эквивалентны. 2

LRP:43 Предложение 4.5.4. Пусть Неванлинновская пара. Тогда ядро

A(λ), B(λ)

N(λ, µ) = A(µ) B(λ) − B(µ) A(λ)

λ − µ

является неотрицательным в C+ C−.

Доказательство. Рассмотрим преобразование Кэли линейного отношения θ =

ran

A(λ)

B(λ)

C(λ) = B(λ) − iA(λ)

B(λ) + iA(λ) −1 (λ C+).

Из (iii) следует, что C(λ) голоморфна в C+. Кроме того, из тождества

C(µ) C(λ)

= 2 B(µ) + iA(µ) − N(λ, µ) B(λ) + iA(λ) −

(5.4)

eq:Kern

K(λ, µ) =

−

−iλ − µ¯

и условия (i) следует, что C(λ) принимает значения во

множестве сжимающих

NSF

операторов при

λ C+. Тогда ядро K(λ, µ)eq:Kern

C+ (ñì.

[?,

является неотрицательным в

доказывает утверждение. 2

Proposition V.8.1]), что в силу тождества (

5.4)

Оператор-функции C(λ), голоморфные в C+ и принимающие значения во множестве

сжимающих операторов в H при λ C+, будем относить к классу Шура S(H). Следующая лемма представляет собой вариант принципа максимума для оператор

функций класса S(H) и, по-видимому, хорошо известна.

lem:MaxP	Лемма 4.5.5. Пусть C(λ) семейство класса Шура S(H). Тогда:
	λ C+ è		для некоторого			äëÿ âñåõ

	1) åñëè 0 σp	K(λ0, λ0)		λ0 C+, òî 0 σp	K(λ, λ)

ïðè ýòîì

ker K(λ0, λ0) = ker K(λ, λ);

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 169 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.2025108.08 Кб0Методичка ГЭК маг II.docx
#
01.05.2025261.63 Кб0Методичка ГЭК магістри I.doc
#
01.07.202581.75 Кб0Методичка ГЭК спец. каф.docx
#
01.07.2025154.57 Кб0Методичка ГЭК спеціалі.docx
#
01.04.2025920.58 Кб0методичка Деньги и кредит.doc
#
13.04.2015973.11 Кб36Методичка ДЕРКАЧА.pdf
#
16.03.201678.87 Кб24методичка до курсових робіт.docx
#
14.11.2019183 Кб2Методичка Екологічне 2011-3.docx
#
13.04.2015533.5 Кб31Методичка Екологічне право 2013.doc
#
29.04.2019863.23 Кб6Методичка з Цивільного права (Особлива частина)....doc
#
13.04.2015209.3 Кб60Методичка ИГПЗС.docx