Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донецкий национальный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методичка ДЕРКАЧА

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.04.2015

Размер:

973.11 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 168 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

3.6. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ РАСШИРЕНИЙ

(iii) (I + T )N = 0 точно тогда, когда T

= Tm;

(I − T )N = 0 точно тогда, когда

T = TM ;

(iv) TM − Tm = (I + TM )N = (I − Tm)N;

(v) (DT2m )N = 0 è (DT2M )N = 0.

Доказательство.

(i)

Òàê

êàê

Ext

T1 (−1; 1)

, òî

≥ 0

. Пусть

E:18.31E:18.31T

= (

ij)i,j=1

E:16.2

Тогда в силу

(2.2) è

(

??), (??)

0 I ± T22

− S±S± .

(I ± T )N =

E:18.3a

Для завершения доказательства осталось воспользоваться формулой ( 4.4) для Tm è

TM .

(ii) и (iii) вытекают из (i).

(iv)вытекает из (i) при T = TM è T = Tm соответственно.

(v)Заметим, чтоP:17.D2 T2m ≤ 2 · (I + Tm) è DT2M ≤ 2 · (I − TM ). Отсюда в силу предложения 3.3.1 получаем:

0 ≤ (DT2m ) ≤ 2 · (I + Tm)N, è 0 ≤ (DT2M ) ≤ 2 · (I − TM )N. Осталось применить свойство (ii). 2

L:19.8 Лемма 3.6.5. Пусть H = H1 N è T1		=	T21		( [H1, H])− эрмитово сжатие,
			T11

ïðè÷¼ì

Ker(I ± T11) = {0}. Åñëè T ExtT1 (−1; 1) è K− соответсвующее ему сжатие в

E:19.1

E:19.2

формулах

(5.1) è

(5.2), òî (DT2 )N = 0

DV DK2 DV .

19.2

Доказательство.

18.2

Простыми вычислениями,

используя

(

??), коммутационные

соотношения (

??), и самосопряж¼нность операторов T11 è K приходим к равенству

= I

T T = X

(X Y ) +

(6.4)

19.8

−

0 DV DK2

ãäå X = DV DT11

è Y = −(DV T11V + V KDV ). Òàê êàê ker(I ± T11) = {0}, òî

ranDT11 = H1 и, следовательно, ranX = ranDV . Поэтому, ranDV T11V

ranX.

Кроме того, так как K [H] è H =

ranDV , отсюда следует, что

ranV KDV

V (H)

ranV DV

ranDV V

ranDV .

EXE:17.1

Осюда, ranY ranX. Поэтому применим результат примера

3.3.3. 2

72						ГЛАВА 3. БЛОЧНЫЕ МАТРИЦЫ
3.7		Критерий			совпадения				экстремальных
		операторов Tm è TM
	Õîòÿ	множество ExtT1 (−1; 1)	непусто, оно может состоять из							одного элемента.
Ýòî		может происходить тогда		и только		тогда,	когда		Tm =	TM . Здесь мы
				KM1
привед¼м критерий М.Г.Крейна				[8]	указанного совпадения. Для этого воспользуемся

	следующим описанием изометрий в классе всех сжатий.
			T −сжатие,			T		[H1, H2],
P:19.9	Предложение 3.7.1. Пусть									тогда следующие
	утверждения эквивалентны:

(i)T − изометрия;

(ii)KerT = {0} è ranT ∩ ranDT = {0};

(iii)для некоторого подпространства L H2 такого, что ranT L справедливо

соотношение:

|(f, T ϕ)|

∞

1 \ {

}

sup

, ϕ

(7.1)

E:19.9

DT f

Доказательство. (i) (iii). Пусть L−

Предположим, что для некоторого ϕ H1 найд¼тся константа C > 0, такая, что:

подпространство в H , ranT L .

E:192.9

\ {0} супремум в (7.1) конечен. Тогда

| ≤

· k

DT f

(7.2)

E:19.10

(f, T ϕ)

Òàê êàê ranT L, то полагая в

E:19.10

(7.2) f = T ϕ, получим

kϕk2 = kT ϕk2 ≤ C · kDT T ϕk.

(7.3)

E:19.11

Íî DT2 T ϕ = T DT2 ϕ = 0, поэтому из

E:19.11

E:19.9

(7.3) следует, что ϕ = 0. Это доказывает

(7.1).

(iii)

E:19.9

выполнено для некоторого подпространства

E:19.9

(ii). Пусть условие (7.1)

ϕ KerT

ϕ 6= 0

ranT . Åñëè KerT 6= {0}, то условие

(7.1)

E:19.9

нарушается при

. Пусть

теперь ranT

∩

6 {

}

ranDT =

, тогда левая часть в (7.1) конечна для вектора ϕ, такого,

EXE:18.2

÷òî T ϕ = DT g, g = 0.

(ii) (i). Пусть ranT ∩ ranDT

= {0}. Тогда согласно упражнению

3.4.3 пункт(ii)

T DT = 0. Òàê êàê KerT = {0}, òî DT = 0, òî åñòü T − изометрия. 2

P:19.9

Из предложения

3.7.1 вытекает следующий критерий единственности,

принадлежащий М.Г.Крейну:

KM1

P:19.10 Предложение 3.7.2. [8] Пусть H1−подпорстранство в H, H2 = H H1 è T1( [H1, H])− эрмитово сжатие. Тогда Tm = TM в точности тогда, когда

|(T1f, ϕ)|

sup kfk2 − kT fk2 = ∞, ϕ H2 \ {0}. (7.4) E:19.12

f H1 1

3.8.

T:18.2

(−1)

Доказательство. Согласно определению (смотри теорему

3.4.5)

Поэтому cправедливы равенства:

V = T21DT11 .

(T1f, ϕ) = (T21f, ϕ) = (V DT11 f, ϕ) = (DT11 f, V ϕ), kfk2 − kT1fk2 = kDV DT11 fk2.

E:18.5

тогда и только тогда, когда V −изометрия.

В силу равенства

(4.8) TM = Tm

Òàê êàê KerV

KerD

, òî ranV

T11

ranD

. Поэтому утверждение следует

P:19T.119

3.7.1, примен¼нного к оператору

из эквивалентности (i) (iii) предложения

подпространству L = ranDT11 . 2

3.8

P:20.1 Предложение 3.8.1. Пусть y W21[0, ∞) Тогда

∞∞

y x

dx ≤ 4 Z0

( )|

|y0(x)|2dx

(8.1)

E:20.1

∞

Доказательство. Òàê êàê

2dx

t y t dt

òî

y x

∞

|y(x)|

∞= 2Re R0

∞0( ) ( )

R0∞

−

( )|

y0(t)y(t)

2Re 0

x−2dx 0

y0(x)y(t)dt

2Re 0

y0(t)y(t)dt

≤

2 0

|dt

≤

∞

|y0(t)|2dt 0

|y(tt2)|

Возводя обе части полученного неравенства в

квадрат и сокращая, получим требуемое.

L2(0, 1)

минимальный Lmin,c

EXA:20.2

Пример 3.8.2. Рассмотрим в

оператор порожд¼нный

дифференциальным выражением Ly = −y00 +

y, c =

Каковы индексы дефекта соответствующего минимального оператора?

Очевидно Lmin,c оператор с cодним сингулярным концом в т. 0. A = −Dmin2

, Bcy =

y.,

L = A + B

, Ly =

−

y00

y = 0. Ищем решение этого уравнения в виде y = xα

√

α(α

1)xα−2 + cxα−2 = 0,

α2

−

c = 0, α

1± 1+4c

xα+

L2(0, 1) à

−α

−2

23 ,

≥ −4 .

−

(0, 1) в точности тогда, когда α > −2

ò. å. c < 4 .

Таким образом n

) =

2, −41 ≤ c < 43

min,c

(1, c ≥ 43

EXE:20.1

Óïð. 3.8.3. Доказать, что форма (Lmin,cy, y) полуограничена снизу в точности тогда,

когда c ≥ −41 .

y00

k y.

EXE:20.2

Óïð. 3.8.4. Пусть

−

Найти индексы

дефекта

минимального

(0, ∞).

дифференциального оператора Lmin,k â L

(0, 1) è L

74	ГЛАВА 3. БЛОЧНЫЕ МАТРИЦЫ

Пусть A - неотрицательный симметрический оператор в H, domA = H. Обозначим через ExtA(0, ∞) множество всех неотрицательных самосопряж¼нных

расширений оператора A. Фридрихсом [], Стоуном [] и Фрейденталем [] показано,

T:18.2

÷òî ExtA(0, +∞) 6= . Мы выведем этот результат из теоремы ( 3.4.5). Для этого рассмотрим дробно-линейное преобразование

	X(A) = (I − A)(I + A)−1 = −I + 2(I + A)−1	(8.2)	E:20.3
	Покажем, что X(A) - эрмитово сжатие. Полагая g := (I + A)−1f получим
	kfk2 − kX(A)fk2 = k(I + A)gk2 − k(I − A)gk2 = 4(Ag, g) ≥ 0
	kfk2 − kX(A)fk2 = k(I + A)gk2 − k(I − A)gk2 = 4(Ag, g) ≥ 0	(8.3)	E:20.4

	Оператор X(A) эрмитов т. к. (X(A)f, f) = (X(A)f, f). Отметим ещ¼, что
	domX(A) = ran(I + A), ranX(A) = ran(I − A)
	domX(A) = ran(I + A), ranX(A) = ran(I − A)	(8.4)	E:20.5

T:20.1	Теорема 3.8.5. Пусть A- неотрицательный плотно определ¼нный оператор в H
	тогда множество ExtA(0, ∞) не пусто. Более того, ему принадлежат операторы
	AF := X−1(Tm) = −I + 2(I + Tm)−1èAk = X−1(TM ) = −I + 2(I + TM )−1	(8.5)

ãäå Tm è TM - экстремальные расширения оператора T = то справедливы неравенства

(AF + a)−1 ≤ (Ae + a)−1 ≤ (Ak + a)−1

L:20.1 Лемма 3.8.6. Дробно-линейное преобразование

A → X(A) : (I − A)(I + A)−1

X(A). Åñëè Ae ExtA(0, ∞),

, a > 0

(8.6)

E:20.5A

(8.7) E:20.6

устанавливает биективное соответствие между совокупностью симметрических неотрицательных операторов A ≥ 0 с плотными в H областями определения domA

и совокупностью плотно заданных эрмитовых сжатий в H у которых Ker(I +T ) = {0}. Ïðè ýòîì A = A в точности тогда, когда domT1 = H.

Доказательство. Полагая

g = (I + A)−1f приходим

к соотношению

−

kX(A)fk

= k(I + A)gk

− k(I − A)gk

= 4(Ag, g) означающему, что X(A)- сжатие,

X(A) [H1, H] ãäå H1 = ran(I +A). Ясно также, что X(A)- эрмитов т. к. (X(A)f, f) =

−kfk2 + 2((I + A)−1f, f) =

(X(A)f, f)

Соотношение Ker(I + X(A)) = {0} вытекает

из равенств

I + X(A) = 2(I + A)−1

(8.8)

E:20.7

E:20.6

−

X(A))(I + X(A))−1 2

Отображение

(8.7) биективно т. к. оно обратимо. A = (I

3.8.

T:20.1

−

)(I + A) . По лемме

Доказательство. [Теоремы

(3.8.5)] Пусть T

= X(A) = (I

L:20.1

T:18.2

(3.8.6) T1

- эрмитово сжатие из H1 = ran(I + A) â H По теореме

(3.4.5) во множестве

ExtT1 (−1, 1) существуют минимальное Tm и максимальное TM расширения. Заметим, ÷òî Ker(I + T ) = 0 для каждого T ExtT1 (−1, 1). Действительно, если H Ker(I +

, òî

h, f

T )f). Íî ran(I + T )

ran(I + T

) = domA значит,

)

0 = ((

)

) = (

(

L:20.1

domA è h = 0. По лемме

оператор A = X−1

(T ) = (I

−

T )(I + T )−1

(3.8.6)

Ext (0, +

∞

). Неравенство

E:20.5A

определ¼н корректно и A

(8.6) c a = 1 вытекает из

E:18.3bA

E:20.7

(8.8). Полагая в

(8.8)

A = A

легко

неравенства Tm ≤ T ≤ TeM (4.5) и равенства

получим

(A + a)−1 =

I −

T +

a + 1

−1

, a > 0.

(8.9)

−

1)2

−

Òàê êàê

−

1(a + 1)

E:20.5a

E:18.3b

E:20.9

> I ïðè a >

, то неравенство

(

??) вытекает из

(4.5)è (

??)

1)− e

76	ГЛАВА 3. БЛОЧНЫЕ МАТРИЦЫ

Глава 4

Граничные тройки и собственные расширения.

4.1Линейные отношения

Пусть H гильбертово пространство и H2 = H × H декартово произведение двух экземпляров пространства H, снабженное нормой графика. Элементы пространства H2 будем обозначать

f =	f0	, (f, f0	H)
	f

Äëÿ f H2 è g =		g0	H2	b
b	b	g		положим
b	b			hf, giH2 = (f, g)H + (f0	, g0)H.
				hf, giH2 = (f, g)H + (f0	, g0)H.	(1.1)	LR_0
				b b
Обозначим через		π1	è π2	b b		H × H,
				проекторы на первую и вторую компоненту в

соответственно.

Определение 4.1.1. Линейное подпространство θ H2 называется линейным отношением в H. Линейное отношение называется замкнутым, если подпространство θ замкнуто в H2. Совокупность замкнутых линейных отношений

обозначим Ce(H).

Множества
dom θ = nf H : {f, f0} θ для некоторого f0 Ho = π1θ,
dom θ = nf H : {f, f0} θ для некоторого f0 Ho = π1θ,	(1.2)	LR_1
ran θ = nf0 H : {f, f0} θ для некоторого f Ho = π2θ
ran θ = nf0 H : {f, f0} θ для некоторого f Ho = π2θ	(1.3)	LR_2
называются областью определения и областью значений линейного отношения, а
множества
ker θ = {π1fb: fb θ, π2fb= 0},
ker θ = {π1fb: fb θ, π2fb= 0},	(1.4)	LR_3

ГЛАВА 4. ГРАНИЧНЫЕ ТРОЙКИ И СОБСТВЕННЫЕ РАСШИРЕНИЯ.

mul θ = {π2f : f θ, π1f = 0}

(1.5)

LR_4

называются ядром и многозначной

b b

частью линейного отношения

, соответственно.

Отождествляя

оператор T

C(H) ñ

его графиком

gr T ,

будем

считать в

дальнейшем, что C(H) C(H).

θ C(H) e mul θ = {0}

T C(H)

θ = gr (T )

LRE:1

Óïð. 4.1.2. Åñëè

, то существует

, такой что

Óïð. 4.1.3. Линейныйeоператор T â H является замыкаемым тогда и только тогда,

LRE:2

когда mul clos (gr T ) = {0}.

4.2Параметрическая и проективная формы линейных отношений

Пусть A, B B(L, H). Положим

θ = ran

B :=

Bh : h L .

(2.1)

LR_5

Тогда θ является линейным отношением в H. Представление

(2.1) линейного

отношения θ назовем параиетрическим.

параметрическое представление

(2.1).

θ Ce(H) допускает

LRP:5

Предложение 4.2.1. Всякое замкнутоеLR 5 линейное отношение

Доказательство. Достаточно положить L = θ è A = π1|L, B = π2|L : L → H.

Тогда всякий вектор

fb θ

представляется в виде

π1f

f = "π2f

# = "Bf # .

LR_5

Линейное отношение θ âèäà

(2.1), вообще говоря, не замкнуто.

Пример 4.2.2. Пусть A = B è 0 σc(A). Тогда линеал ran A, а с ним и линейное

LRE:6

отношение

не замкнуты.

θ = ran

A = f : f ran A

Предложение 4.2.3. Åñëè A, B B(L, H) удовлетворяют условию

LRP:6

0 ρ(A A + B B),

(2.2)

LR_6

òî θ = ran B

C(H).

4.2. ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ И ПРОЕКТИВНАЯ ФОРМЫ ЛИНЕЙНЫХ ОТНОШЕНИЙ 79

Доказательство. Пусть hn L (n = 1, 2, ...) и пусть Ahn → f, Bhn → f0 ïðè

n → ∞ для некоторых f, f0

H. Тогда

(A A + B B)hn → A f + B f0

(n → ∞)

LR_6

и в силу условия

(2.2) hn → h = (A A + B B)−1(A f + B f0). Тогда

Bh θ

и, следовательно, линейное отношение θ замкнуто. 2

Óïð. 4.2.4. Åñëè A, B B(L, H) и существуют операторы C, D B(L, H), такие что

LRE:6

CA + DB = IL,

(2.3)

LR_7

LR_6

то выполняется и условие (

2.2).

Пусть теперь C, D B(H, L). Рассмотрим линейное отношение

θ = ker C

D := f = f0

H2 : Cf + Df0 = 0 .

(2.4)

LR_8

Представление

LR_8

(2.4) линейного

будем называть проективным.

отношения

Сумма

θ1

+ θ2 è

, òî

сумма θ1+θ2

линейных

def:lin

LRE:8

Óïð. 4.2.5. Åñëè C, D B(H,

L), è θ = ker

θ C(H).

Определение 4.2.6.

покомпонентная

отношений θ1 è θ2 определяется равенствами

θ1

+ θ2 = f10 + f20

f10

θ1,

f20

θ2, ,

(2.5)

+θ2 = f10

θ2, .

θ1

+ f20

f10

θ1,

f20

(2.6)

+ f2

Если слагаемые в

θ1+θ2 обозначается

LR_11

равенством

(2.6) ортогональны, покомпонентная сумма

θ1

θ2. Обратное линейное отношение к линейному отношению θ

определяется

θ−1 =

H2 :

θ .

(2.7)

ßñíî, ÷òî

dom θ−1 = ran θ,

ran θ−1 = dom θ,

ker θ−1 = mul θ,

mul θ−1 = ker θ.

LR_11Отождествляя оператор λI (λ C) с его графиком, получим в соответствии с

(2.6)

θ − λI = f0 − λf : f0 θ .

LR_10

LR_11

LR_9

ГЛАВА 4. ГРАНИЧНЫЕ ТРОЙКИ И СОБСТВЕННЫЕ РАСШИРЕНИЯ.

Определение 4.2.7. Åñëè θ C(H) è θ−1 = gr T

для некоторого оператора T

def:rho

Точка λ

называется

0 ρ(θ

λI)

B(H), то 0 называют регулярной точкой линейного отношения θ и пишут 0

ρ(θ).

регулярной для линейного отношения , если

−

Множество регулярных точек линейного отношения θ обозначают ρ(θ), спектр

линейного отношения обозначают σ(θ) := C\ρ(θ).

ker θ = {0}.

θ Ce(H), òî 0

ρ(θ) тогда и только тогда, когда

ran θ

H è

LRE:11

Óïð. 4.2.8. Åñëè

Óïð. 4.2.9. Пусть A, B B(L, H) и линейное отношение θ = ran BA замкнуто. Тогда

LRE:12

0 ρ(θ) ran B = H è ker B ker A.

LR_6

Если при этом выполнено условие (2.2), то 0 ρ(θ) ran B = H è ker B = {0}. Ïðè ýòîì θ−1 = AB−1.

, òî LRE:13 Óïð. 4.2.10. Åñëè C, D B(H, L) è θ = ker C D

0 ρ (θ) ker C = {0} è ran D ran C.

LRE:14

LRP:15

LRP:16

Если при этом выполнено условие

0 ρ(CC + DD ),

(2.8)

LR_12

òî 0 ρ(θ) ker C = {0} è ran C = H. Ïðè ýòîì θ−1 = −C−1D.

Óïð. 4.2.11. Åñëè

, òî

ρ(θ)

тогда и только тогда, когда

− λI) = {0}

è ran (θ − λI) = H.θ Ce(H)

ker(θ

Предложение 4.2.12.

Пусть

A, B

B(L,

= ran B

выполнено

LR_6

условие

. ρ (θ)

åñëè

и только

åñëè 0

ρ(B − λA). Ïðè ýòîì

(2.2). Тогда λ

(θ − λ)−1 = A(B − λA)−1

LRP:6

Доказательство. В силу Предложения

4.2.3 θ лежит в Ce(H). Òàê êàê

θ − λI = ran

−

λI

LRE:12

то утверждение следует из Упражнения 4.2.9. 2

( )

0 ρ(C +

)

и выполнено условие

LR_12

( − )−

Пусть C, D B(H, L), θ = ker

Предложение 4.2.13.

(2.8).

Тогда λ ρ θ

если и только если

λD . Ïðè ýòîì

θ λ

−

(C + λD)−1D.

Доказательство. Òàê êàê

H2 : (C + λD)f + Df0 = 0 ,

θ − λI = ker

C + λD D =

LRE:13

то утверждение следует из Упражнения 4.2.10. 2

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 168 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.04.20151.78 Mб24методичка вышка.pdf
#
16.03.20168.21 Mб956Методичка грам последн 2013.doc
#
01.05.2025108.08 Кб0Методичка ГЭК маг II.docx
#
01.05.2025261.63 Кб0Методичка ГЭК магістри I.doc
#
01.04.2025920.58 Кб0методичка Деньги и кредит.doc
#
13.04.2015973.11 Кб36Методичка ДЕРКАЧА.pdf
#
16.03.201678.87 Кб24методичка до курсових робіт.docx
#
14.11.2019183 Кб2Методичка Екологічне 2011-3.docx
#
13.04.2015533.5 Кб31Методичка Екологічне право 2013.doc
#
29.04.2019863.23 Кб6Методичка з Цивільного права (Особлива частина)....doc
#
01.05.2025566.78 Кб0Методичка земельное.doc