Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донецкий национальный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методичка ДЕРКАЧА

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.04.2015

Размер:

973.11 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 167 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

3.1. ЗАДАЧА О ДОСТРОЙКЕ НЕПОЛНОЙ НЕОТРИЦАТЕЛЬНОЙ МАТРИЦЫ 61

L:15.2

Лемма 3.1.2. Пусть A, B

[H], A

0, B = B . Тогда :

(i) Неравенство

|(Bf, f)| 6 (Af, f),

(1.9)

E:15.9

, в котором K эрмитово сжатие.

эквивалентно равенству B = A2 KA2

(ii) Равенство B = A2 KA2 устанавливает биективное соответствие между

E:15.9

операторами B = B

[H], удовлетворяющими

(1.9) и сжатиями K = K

[H], для которых ker A ker K.

E:15.9

(iii) Åñëè B > 0, то из неравенства

, ãäå K

(1.9) вытекает равенство B 2 = KA2

некоторое сжатие в H.

E:15.9

Доказательство. (i)

Неравенство

(

1.9)

эквивалентно

неравенству

A(−21 )BA(−21 )g, g

6 kgk2, означающему, что K

= A(−21 )BA(−21 )

эрмитово

сжатие в H. Здесь A( 1/2)

оператор квазиобратный по отношению к

A1/2. Èòàê,

−

= A2 KA2 , ãäå K

= K , kKk 6 1.

(ii) с очевидностью вытекает из (i).

K èç

â ran B

(iii)

Определим

оператор

ran A2

2 , полагая

KA2 f = B 2 f. Â

силу неравенства kA2 fk > kB

2 fk он определ¼н корректно и является сжатием.

Доопределяя его нул¼м на ker A, получим требуемое. 2

Óïð. 3.1.3. Пусть A

[

, A

> 0

è A

EXE:15.1

блочно-матричное представление

]

= (

ij)i,j=1

оператора A относительно разложения H = H1 H2. Тогда A12

= A112 XA222

, A21 =

X A2 , ãäå X

, H

k 6

L:15.2

Указание. Требуемое вытекает из леммы

3.1.2

(iii) и вида оператора S.

Следствие 3.1.4 (обобщ¼нный критерий Сильвестра). Пусть A = (Aij)i,j2

C:15.3

блочно-матричное представление оператора A = A [H] по отношению к разложению H = H1 H2. Тогда A > 0 тогда и только тогда, когда

(i) A11 > 0;

(ii)ran A12 ran A112 ;

(−1 )

(iii)A22 > S S, ãäå S = A11 2 A12.

Более того, если		ran A12	ran A11,	òî	условие (iii)		принимает вид A22 >
	A21A11(−1)A12.
			ran A12 ran A11				åñëè 0 ρ(A11). Â ýòîì
R:15.4	Замечание 3.1.5. Условие				выполнено,C:15.3
	случае условие (ii) заведомо выполнено и следствие					3.1.4 это критерий Сильвестра :

	A > 0	точно тогда, когда		A11 > 0 è A22 > A21A11−1A12.

62	ГЛАВА 3. БЛОЧНЫЕ МАТРИЦЫ

3.2Укороченные операторы

Пусть H гильбертово пространство, N подпространство в H è A( [H]) неотрицательный оператор. Обозначим


	AN := {T [H] : 0 ≤ T ≤ A, ran T N}.		(2.1)	E:16.1
	Предложение 3.2.1. Пусть A = (Aij)i,j2
P:16.1	Предложение 3.2.1. Пусть A = (Aij)i,j2	=1 блочно-матричное представление
	оператора A( [H]) относительно разложения H = H1 N. Тогда:

E:16.1

(i) Множество AN âèäà (2.1) содержит единственный максимальный элемент AN, имеющий блочно-матричное представление

AN =

, ãäå S = A(−21 )A12;

(2.2)

E:16.2

0 A22 − S S

(ii) каждый элемент T AN удовлетворяет неравенству

(

T f, f

inf (A(f

−

)

, f

−

(2.3)

E:16.3

) ≤ g

)

E:16.3

причем AN единственный элемент в AN, для которого в

(2.3) имеет место

равенство

f, f) = inf (A(f

−

g), f

−

g),

(2.4)

E:16.4

C:15.3

E:16.2

Доказательство. (i) Согласно следствию

3.1.4 оператор AN âèäà

(2.2)

неотрицателен, AN ≥ 0. Включение ran AN

N очевидно. Поэтому AN

AN.

Пусть T AN. Òàê êàê

T ≥ 0 è

ran T N,

òî îí

имеет блочно-матричное

представление

T = 0

T22 ,

T22 ≥ 0

(2.5)

E:16.5

P:15.1

A11

A12

и удовлетворяет условию A21

A22 − T22

= A−T ≥ 0. Согласно предложению

3.1.1

неравенство A − T ≥ 0 äàåò A22 − T22

≥ S S, òî åñòü T ≤ AN. Поэтому AN

максимальный элемент в AN. Его единственность очевиднаE:15. .8 E:16.2

(ii) Пусть f = f1 f2 H1 N è g H1, тогда из (1.8) и (2.2) получаем

(A(f − g), f − g) = kA111/2(f1 − g) + Sf2k2 + ((A22 − S S)f2, f2)

= kA111/2(f1 − g) + Sf2k2 + (ANf2, f2)

= kA111/2(f1 − g) + Sf2k2 + (ANf, f).

1/2

)

1/2

E:16.4

Òàê êàê ran S

(ker A

= ran A

единственный

, òî

(2.4) доказано. Так как

E:16N.4

E:16.3

максимальный элемент во множестве AN, то соотношение (2.4) влечет (2.3) для

каждого T AN.

пространство,

полагая

C:17.4

D:16.*

L:16.2

R:16.3

EX:17.1

3.2. УКОРОЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Докажем единственность. Допустим, что для некоторого T AN справедливо

равенство

(

) = g H1

−

g), f

g),

T f, f

inf (A(f

(2.6)

E:16.6

E:16.4

Тогда в силу

(2.6) è

(2.4) (T f, f) = (ANf, f), f H. Следовательно, T = AN. 2

Следствие 3.2.2. Пусть

A( [H])

является

решением задачи

2о достройке

матрицы A

âèäà (1E:15.1) .1до неотрицательной матрицы

A = (Aij)i,j=1. Тогда A

совпадает

минимальным

решением

задачи

достройке точно

тогда,

когда

g H1

−

g), f

−

g) = 0, f

inf (A(f

P:15.1

P:16.1

Доказательство. Вытекает из предложений

3.1.1 è

3.2.1. 2

Определение 3.2.3.

Оператор AN

(максимальный элемент во множестве

E:16.1

âèäà

называют укороченным (на N) оператором, а трансформатор A → AN

(2.1))

трансформатором М.Г. Крейна.

Лемма 3.2.4 (Крейна-Гельфанда). Пусть

≥ 0, A

[H] è

подпространство в H. Тогда укороченный на N оператор AN имеет вид

AN = A1/2PLA1/2,

(2.7)

ãäå L := clos {f : f H, A1/2f N} è PL ортопроектор в H íà L.

L:15.2

Доказательство. Пусть H1 = ran A. По лемме

3.1.2 каждый оператор B

имеет вид B = A1/2KA1/2, ãäå 0 ≤ K ≤ I. Òàê êàê ker B N , òî ker K A1/2(N ) и, значит, ran K (A1/2(N )) = L. В частности, AN = A1/2K0A1/2, ãäå 0 ≤ K0 ≤ I

è ker K0 A1/2(N ).

≤

Так как неравенство B

AN эквивалентно неравенству (0

K0(

è AN максимальный элемент во множестве AN, то формула

E:16.*

(2.7) вытекает из

того, что оператор K0 = PH1 PL H1 максимален во множестве эрмитовых сжатий,

аннулирующих линеал A1/2(N ). 2

L:16.2

P:16.1

Замечание 3.2.5. Лемма

3.2.4 дает независимое от предложения

3.2.1 доказательство

существования укороченного оператора AN.

Пример 3.2.6. Пусть H = H1 N, R [N], R > 0. Пусть, далее, H3

гильбертово

X [H1, H3], Y

[N, H3] è ran Y

ran

X. Определим оператор A,

0 0

A =

X Y

+ 0 R > 0.

(

−

)

−

) = k

(

1 −

1)+

2kE:16.4 2 2 1 1

Тогда

, f

X f

Y f

+(Rf , f ), f , g

g = g1 0. Òàê êàê ran Y

X, òî èç

ran

(2.4)

(ANf, f) = 0

R f, f .

0 0

Таким образом, AN = 0 R .

(2.8)

H1, f2 N, f = f1 f2,

E:16.6

E:16.*

E:17.1

ГЛАВА 3. БЛОЧНЫЕ МАТРИЦЫ

E:16.*

P:16.1

EXE:16.4

Óïð. 3.2.7. Вывести формулу

(2.7) для оператора AN из предложения

3.2.1.

Óïð. 3.2.8. Доказать соотношение ran AN1/2 = (ran A1/2) ∩ N.

EXE:16.5

Óïð. 3.2.9. Пусть h

H, A

[

]

, A

≥

1/2

, h)h подчинен оператору

EXE:16.6

0. Оператор B

:= (

AN в точности тогда, когда h (ran A

) ∩ N.

3.3Свойства укороченных операторов

P:17.2 Предложение 3.3.1. Пусть A, B [H], A > 0, B > 0 è M, N подпространства в H. Тогда справедливы соотношения :

(i) (λA)N = λAN, λ > 0;

(ii) AN + BN 6 (A + B)N;

(iii) AM∩N = (AM)N. В частности A 6 B âëå÷¼ò AN

6 BN;

(iv) M N âëå÷¼ò AM 6 AN;

(v) Åñëè A

k [

, A

k >

A, A

w-lim A

, òî A

= s-lim(A )

]

→∞

E:16.4

Доказательство. Утверждения (i) (iv) очевидны. Докажем (v). Согласно (2.4) для всякого ε > 0 найд¼тся вектор gε H1 :

(ANf, f) 6 (A(f − gε), f − gε) 6 (ANf, f) + ε/2.

Òàê êàê w-lim Ak = A è Ak > A, то существует n0 = n0(gε) :

k→∞

(ANf, f) 6 (Ak(f − gε), f − gε) 6 (ANf, f) + ε,

k > n0.

Отсюда получаем

(ANf, f) 6 ((Ak)Nf, f) 6 (ANf, f) + ε.

Òàê êàê ε > 0 любое, то lim ((Ak)Nf, f) = (ANf, f). Отсюда AN = w-lim(Ak)N. Òàê

k→∞

êàê Ak > A, òî (Ak)N > AN. Но для неотрицательных операторов Bk := (Ak)N − AN

слабая сходимость к нулю влеч¼т сильную сходимость к нулю. 2

Óïð. 3.3.2. Пусть Ak [H] è Ak > 0. Доказать эквивалентность:

EXE:17.4

w-lim A

= 0

s-lim A

= 0.

→∞

k > 0

EXE:17.1

Óïð. 3.3.3. Верна ли импликация: A

, w-lim A

= A

s-lim A

= A?

k→∞

Например, Ck

= (I + U k)(I + Uk), ãäå U односторонний сдвиг, удовлетворяет

условию w-lim Ck = 2I. Однако сильный предел не существует.

k→∞

3.3. СВОЙСТВА УКОРОЧЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ

P:17.7 Предложение 3.3.4. Пусть H гильбертово пространство, N N1 N2 подпространства в H è A неотрицательный оператор в H. Пусть, далее Aj :=

PjA|Nj , ãäå Pj

ортопроектор в H íà Nj, j {1, 2}. Тогда (A1)N > (A2)N.

E:16.4

Доказательство. Согласно формуле

(2.4) äëÿ

всякого

справедливо

соотношение

((A

)

f, f) =

inf

−

g), f

−

g) =

inf

(A(f

−

g), f

−

> g

inf (A(f

−

g), f

−

g) = ((A

)

f, f) .

R:17.3

EXE:17.2

EXE:17.3

C:17.5

EXE:17.5

P:17.6

Замечание 3.3.5. Соотношения

(i),

(ii)

означают

свойство

сублинейности

трансформатора М.Г. Крейна A → AN. Свойство (v) не обязательно верно без

условия Ak > A, даже если сильную сходимость заменить слабой : AN = w-lim(Ak)N.

k→∞

Например, если X [H1, H3] и удовлетворяет условиям :

ran

X = H3 è Y

[

ïðè

, тогда

εkX

3]\{0}

εk → 0

→ ∞

Ak = Y

εkEX:17.1 →

Y Y =: A

в сильном смысле. С другой стороны, согласно примеру

, õîòÿ A

3.2.6

N =

Y Y = 0.

( k)N = 0

a) Ck;

b) I + U k.

Óïð. 3.3.6. Найти нормы операторов:

Óïð. 3.3.7. Привести

пример

последовательности ортопроекторов

такой, что

w-lim P

= A = 0, íî s-lim P

не существует.

k→∞

Следствие 3.3.8 (Неравенство Бергстрома). Пусть

A, B(

Cn×n) äâå

положительно определ¼нные матрицы. Тогда справедливо неравенство :

|A + B|

|A|

|B|

(3.1)

E:17.3

|Ai + Bi|

|Ai|

|Bi|

ãäå Ai, Bi алгебраические дополнения элементов aii è bii соответственно.

A11

A12

ρ(A11) è 0

Óïð. 3.3.9. A = A21

A22

блочно-операторная матрица. Если 0

ρ(B), ãäå B = A22 − A21A11−1A12, òî 0 ρ(A), òî åñòü A обратима и

A−

A−1

+ A11−1A12B−1A21A11−1

A11−1A12B−1

−B−1A21A11−1

−

B−1

(3.2)

E:17.4

Формула

(3.2) называется формулой Фробениуса.

Предложение 3.3.10. Пусть A неотрицательный оператор в H = H1 N è

0 ρ(A). Тогда 0 ρ(AN) и справедливо равенство :

(PNAN|N)−1 = PNA−1|N.

(3.3)

EXE:17.6

EXE:17.7

P:17.8

EXE:17.8

C:17.8

EXE:17.9

ГЛАВА 3. БЛОЧНЫЕ МАТРИЦЫ

E:17.4

P:16.1

Доказательство. Вытекает из формулы

(3.2) и предложения

3.2.1 2

P:17.6

E:17.4

Óïð. 3.3.11.

Доказать

предложение

3.3.10 используя

формулу

(

3.2)

P:17.2

предложение

3.3.1.

Óïð. 3.3.12. Пусть A = (Aij)i,j2

=1 блочно-матричное представление положительно

определ¼нной матрицы A( Cn×n) относительно разложения Cn = M N. Тогда

det A = det A11 det AN.

(3.4)

E:17.6

Предложение 3.3.13 (Неравенство Адамара-Фишера). Пусть A =

(aij)i,jn

положительно определ¼нная матрица и α, β {1, . . . , n}. Пусть A(α) = (aij)i,j α

подматрица матрицы A. Тогда

A(α

β)

| 6

|A(α)||A(β)|

(3.5)

E:17.7

|A(α ∩ β)|

В частности, если α ∩ β = , òî

|A(α β)| 6 |A(α)||A(β)|.

(3.6)

E:17.8

E:17.6 ∩

Доказательство. Пусть γ

= α

β, α = α

γ, β = β

γ. Пусть, далее, N =

span{ei}i β1 . Тогда согласно

E:17.7

(3.4) |A(α β)| = |A(α)||A(α β)N|

|A(β)| = |A(γ)||A(β)N|

С учетом этих равенств (

3.5)

принимает вид

|A(α β)N| 6 |A(β)N|.

(3.7)

E:17.9

P:17.7

A(α

β)N 6

A(β)N. Осталось

Согласно предложению

3.3.4

воспользоваться

импликацией 0 6 A 6 B det A 6 det B. 2

Óïð. 3.3.14. Доказать импликацию 0 6 A 6 B det A 6 det B.

Следствие 3.3.15. Åñëè A = (aij)ni,j=1 положительно определ¼нная матрица, то

n
Yi
det A 6	aii.		(3.8)		E:17.10
=1
		C:17.8		E:17.10
		C:17.8		E:17.10
Óïð. 3.3.16. Доказать, что в условиях следствия		3.3.15 равенство в (		3.8) имеет место
Óïð. 3.3.16. Доказать, что в условиях следствия		3.3.15 равенство в (		3.8) имеет место
точно тогда, когда матрица A диагональна.

3.4Самосопряженные сжимающие расширения неплотно заданного эрмитового сжатия

Пусть H1 подпространство в гильбертовом пространстве H, è T1 [H1, H] эрмитово сжатие, то есть (T1h, h) = (h, T1h), h H1 è kT1k ≤ 1.

D:18.1

EXE:18.1

EXE:18.2

EXE:18.3

T:18.2

3.4. САМОСОПРЯЖЕННЫЕ СЖИМАЮЩИЕ РАСШИРЕНИЯ НЕПЛОТНО ЗАДАННОГО ЭР

Обозначим через ExtT1 (−1, 1) совокупность всех самосопряженных сжимающих расширений оператора T1, òî åñòü

ExtT1 (−1, 1) = {T [H] : T1 T = T , kT k ≤ 1}

(4.1)

E:18.1

М.Г. Крейном

[3] (см. также

[4]) показано, что ExtT1 (−1, 1) 6= и дано полное

описание этого множества. Ми получим описание

ExtT1 (−1, 1) используя блочно

матричные представления соответствующих операторов.

Определение 3.4.1. Пусть H1 è H2 гильбертовы пространства, T сжатие

èç H1 â H2. Операторы DT := (I

−

T T )1/2

, DT = (I

−

T T )1/2 называют дефектными

операторами оператора T .

SNF1

Известно (см.

[5]), что дефектные операторы удовлетворяют соотношениям

T DT = DT T,

T DT = DT T ,

(4.2)

E:18.2

Óïð. 3.4.2. Доказать равенства (4.2), используя спектральную теорему. Óïð. 3.4.3. Пусть T сжатие, T [H1, H2]. Справедливы соотношения:

(i) T ker DT = ker DT T (ker DT ) = ker DT . В частности, ker DT = {0} ker DT = {0};

(ii) ran T ∩ ran DT = ran T DT = ran DT T .

В следующей теореме мы сведем задачу об описании множества ExtT1 (−1, 1) к задаче о достройке двух неотрицательных матриц вида


	A0 =	I ± T11	±T12 .				(4.3)	E:18.3
	±	±T21
	±	±T21
Для этого запишем оператор T1 в блочном виде T1 = T11				, T	11	[H1], T21	[H1, H2]
относительно ортогонального разложения H = H1 H2.T21					11
Óïð. 3.4.4. Показать, что T1 эрмитов точно тогда, когда T11 = T11.
Тогда:	T11
Тогда:	Пусть T = T21 ( [H1, H]) эрмитово сжатие в H = H1 H2.
Теорема 3.4.5.

(i)Задача о достройке матриц A0 E:18.3

±âèäà (4.3) имеет решение.

(ii)Пусть A± минимальные решения задачи о достройке матриц A0±. Тогда

Tm := A+ − I è TM := I − A− принадлежат ExtT1 (−1, 1).

(iii) Операторы Tm è TM имеют следующие блочные представления

	T11	DT11 V		T11	DT11 V

Tm = V DT11		−I + V (I − T11)V	, TM =	V DT11	I − V (I + T11)V	, (4.4)	E:18.3a

ãäå	(−1)
	V := T21DT11	;

68	ГЛАВА 3. БЛОЧНЫЕ МАТРИЦЫ
(iv) Операторы Tm è TM являются экстремальными расширениями оператора T1:
T ExtT1 (−1, 1) T = T [H] è Tm ≤ T ≤ TM .
T ExtT1 (−1, 1) T = T [H] è Tm ≤ T ≤ TM .		(4.5)	E:18.3b
Таким образом, множество ExtT1 (−1, 1) образует операторный сегмент
(возможно вырожденный) с концами Tm è TM .
(v) Операторы Tm è TM связаны равенствами
(−T )m = −TM , (−T )M = −Tm.
(−T )m = −TM , (−T )M = −Tm.		(4.6)	E:18.3c
Доказательство. (i) Условие T1	1 эквивалентно условию T21T21	I T112 =

DT211 , ãäå DT11

неравенство эквивалентно следующему:

−

= (I − T112 )1/2. Ýòîk

k ≤

≤

kT21fk ≤ kDT11 fk,

f H1.

(4.7)

E:18.4

Неравенство

(4.7) эквивалентно (см.

[6],

[7]) равенству V DT11

= T21. Более того, при

дополнительном условии ker V ker DT11 оператор V определяется однозначно, V =

21 ·

D(−1)

= D

T11

= (I+T

)1/2(I

)1/2V , òî ran T

ran (I

)1/2.

T11 . Òàê êàê

−

Следовательно выполнены условия разрешимости задачи о достройке. Поэтому в

P:16.1

)(−1/2)T

−

)(−1/2)T

силу предложения

(3.2.1) операторы S

= (I + T

−

= (I

определены корректно и дают минимальные решения A± задачи о достройке матриц

±. Таким образом

±T21

±S±

âèäà

(ii) и (iii). Операторы Tm è TM допускают блочно-матричное представление

T21

T11

Заметим, что

Tm = T21 −I + S+S+ , TM = T21 I − S−S− .

S± = (I ± T11)(−1/2)DT11 V = P±(I T11)1/2V = (I T11)1/2P±V ,

(4.8)

E:18.5

ãäå P± ортопроекторы на (ker(I

T11)1/2

)

± T11).

ran

. C учетом этих

Òàê êàê ker V

ker

, òî ran V

ran D

ran (I

)1/2

E:18T11.5

T11

. Следовательно,

соотношений равенства (

4.8) принимают вид S

= (I

)1/2V

S S

= V (I

)V и соотношения (4E:18.4) .доказаны3a ± .

è TM

оператора T1,

ßñíî,

÷òî

самосопряженные

расширения

удовлетворяющие неравенствам I +Tm ≥ 0, I −TM ≥ 0. Кроме того из

E:18.3a

(4.4) получаем

TM − Tm =

0 2(I

−

V V ) .

Отсюда TM ≥ Tm и, значит, I − Tm ≥ I − TM ≥ 0 è I + TM ≥ I + Tm ≥ 0. Таким образом Tm, TM ExtT1 (−1, 1).

C:19.1

C:19.2

3.5.

(iv) Заметим, что включение T

ExtT1 (−1, 1) означает, что T

= T =

T11

T21

P:15.1

неравенства

T21

è I ± T ≥ 0. Â

ñèëó

T22

предложения 3.1.1 последние

E:18.3b

эквивалентны следующим

E:18.3c

E:18.3a , которые доказывают (4.5);

−

≤

−

(v) Соотношения (

−

4.6) следуют из вида

(4.4) операторов Tm è TM . 2

3.5

Обозначим через

CHs = {K [H] : K = K , kKk ≤ 1}

множество всех эрмитовых сжатий в H.

Следствие 3.5.1.

KM1,K

Пусть

H = H1

[8,

ортогональное разложение

T11

гильбертова пространства H è T1 = T21 ( [H1, H]) эрмитово сжатие. Пусть,

далее,

, ãäå

TM −

экстремальные расширения оператора

E:18.3

:= 2− (Tm + TM )

âèäà

(4.3).

Тогда каждая из следующих эквивалентных формул

T = T0 + 2−1 · (TM − Tm)

· (TM − Tm)2 ,

(5.1)

E:19.1

T11

DT11 V

T = V DT11

−V T11V

+ 0 DV KDV ,

(5.2)

E:19.2

устонавливает биективное соответствие

между

множеством ExtT1 (−1; 1) è

операторным шаром CH, ãäå H =

ranDV .

Доказательство. Пусть T ExtT1 (−1; 1). Тогда неравенство Tm ≤ T ≤ TM можно

переписать в виде:

−2−1(TM − Tm) = Tm − T0 ≤ T − T0 ≤ TM − T0 = 2−1(TM − Tm)

(5.3)

E:19.3

LEM:15.2

E:19.3

Согласно лемме (

??) неравенства

(5.3) эквивалентны равенству:

2 · (T − T0) = (TM − Tm)2

· K · (TM − Tm)2 ,

в котором K = K

E:19.1

, и совпадающему с

(5.1). Биоднозначное соответствие

E:19T1.1−

E:19.1

k ↔

Ext (

E:19.21) T = T

E:18C .3aâ

(5.1) очевидно. Эквивалентность соотношений

вытекает из

Tm è TM соответствуют

(5.1) è

(5.2)

(4.4). При этом расширениям

операторы K = −I, K = +I соответственно.2

Следствие 3.5.2. Пусть оператор T ( [H1, H]), T ≥ 0 и справедливо неравенство:

kT fk2 ≤ C · (T f, f),

f H1.

(5.4)

E:19.4

Тогда существует неотрицательное расширение

T = T

(

[H]) оператора T , также

E:19.4

e k

удовлетворяющее неравенству

(5.4), òî åñòü

T f

2 ≤ C · (T f, f), f H.

Exe:19.1

EXE:19.2

C:19.3

70	ГЛАВА 3. БЛОЧНЫЕ МАТРИЦЫ

E:19.4

Доказательство. Неравенство (5.4), очевидно, эквивалентно следующему: kT f −

2−1Cfk2 ≤ 4−1C2kfk2. По теореме М.Г.Крейна 3T:18.4.5.2существует расширение Tc = Tc оператора T − C/2 с нормой не превосходящей C/2. Òàê êàê −C/2 ≤ Tc ≤ C/2, òî

оператор Te = Tc + C/2 −искомый.2

E:19.4

Óïð. 3.5.3. Доказать, что оператор T , удовлетворяющий

(5.4), ограничен, kT k ≤ C.

Óïð. 3.5.4. Åñëè T = T ≥ 0 è kT k ≤ C, то выполнено

E:19.4

(5.4).

Следствие 3.5.5. Неотрицательный

оператор

T (

[H1, H]) допускает

неотрицательное расширение

= T

нормойE:19.4 не превосходящей C тогда и

только тогда, когда выполнено

(5.4)

неравенство

3.6Некоторые свойства экстремальных расширений

		KM1

C:19.4	Следствие 3.6.1.	[8] Пусть T ExtT1	(−1; 1), тогда:

	(i) T = Tm точно тогда, когда для каждого f H

inf ((I

)(

, f

−

) = 0;

(6.1)

E:19.5

−

)

(ii) T = TM точно тогда, когда для каждого f H

inf ((I

−

)(

, f

−

) = 0

(6.2)

E:19.6

−

)

C:17.4

Доказательство. Доказательство вытекает из

3.2.2 2

T −

. Обозначим через

Пусть

эрмитово сжатие в

H, не обязательно удовлетворяющее

условиям:

Ker(I ± T ) 6= {0}

k · k

H± полугильбертовы пространства, полученные

пополнением H по полунормам

I±T

(f, g)I±T = ((I ± T )f, g),

kfkI±T

= ((I ± T )f, f)2

(6.3)

E:19.7

Соответствующие гильбертовы

фактор-пространства

обозначим через

He/Ker(I±T ). С уч¼том этих определений следствие

C:19.4

3.6.1 можно сформулировать так

C:19.6

EXE:19.3

P:19.7

Следствие 3.6.2. Пусть T ExtT1 (−1; 1). Тогда T = Tm (T = TM ) точно тогда, когда H1 плотно в H+ (H−).

C:19.6

E:18.31

Óïð. 3.6.3. Вывести следствие

3.6.2 непосредственно из формул (

??) äëÿ Tm è TM .

KM1,K

T1( [H1, H])−эрмитово сжатие

Предложение 3.6.4.

[8, 3] Пусть H = H1

è T ExtT1 (−1; 1). Тогда:

(i)

T = Tm + (I + T )N,

T = TM − (I − T )N ;

(ii)

(I + Tm)N = 0 è

(I − TM )N = 0 ;

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 167 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.04.20151.78 Mб24методичка вышка.pdf
#
16.03.20168.21 Mб956Методичка грам последн 2013.doc
#
01.05.2025108.08 Кб0Методичка ГЭК маг II.docx
#
01.05.2025261.63 Кб0Методичка ГЭК магістри I.doc
#
01.04.2025920.58 Кб0методичка Деньги и кредит.doc
#
13.04.2015973.11 Кб36Методичка ДЕРКАЧА.pdf
#
16.03.201678.87 Кб24методичка до курсових робіт.docx
#
14.11.2019183 Кб2Методичка Екологічне 2011-3.docx
#
13.04.2015533.5 Кб31Методичка Екологічне право 2013.doc
#
29.04.2019863.23 Кб6Методичка з Цивільного права (Особлива частина)....doc
#
01.05.2025566.78 Кб0Методичка земельное.doc