Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донецкий национальный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методичка ДЕРКАЧА

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.04.2015

Размер:

973.11 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 166 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

2.7. ОПЕРАТОР ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ НА КОНЕЧНОМ ОТРЕЗКЕ

Замыкание оператора P 0 называется минимальным оператором и обозначается

Pmin(:=

P 0

Наряду с Pmin вводится

понятие максимального оператора

Pmax, порождаемого

E:9.1

дифференциальным выражением (

7.1)

dom Pmax = W21[−1; 1] = {f AC[−1; 1] : f0 L2(−1, 1)}

(7.2)

E:10.1max

Предложение 2.7.2. Справедливо соотношение Pmin

= Pmax.

A:9.1

Доказательство. ßñíî, ÷òî Pmax Pmin.

Включение v

dom P

означает, что v

[

−

1, 1] и существует функция

v L2 такая, что

min

i u0				dt (= (u, P v)), u	C∞.
i u0	(t)v(t) dt =	u(t)	v (t)	dt (= (u, P v)), u	C∞.	(7.3)	E:9.2
−					0
−1		−1

	E:9.2

Соотношение	(7.3) означает, что в смысле теории обобщенных функций функция
				KG
v имеет производную dv			dv = iv (t). Íî ýòî (ñì.
				[9])
		dt и справедливо равенство	dt
равносильно абсолютной непрерывности функции v, причем v = −iv0. 2

EXE:9.4

Óïð. 2.7.3. Доказать абсолютную непрерывность v не прибегая к теории обобщенных

функций.

dom P

Функции f

не удовлетворяют никаким краевым условиям, и P

min

(P 0)

min

. Опишем замыкание P

min

оператора P 0, пользуясь формулой: P

min

(P 0) = (Pmin)

Предложение 2.7.4. Справедливо соотношение:

o 1	[−1; 1] = {f W21[−1; 1] : f(−1) = f(1) = 0}	(7.4)
dom Pmin = W 2

Доказательство. Найдем оператор Pmin(= Pmin). Интегрируя по частям, получаем

для любых u, v

[

1; 1] = dom P

−

min

(Pmin

u, v) = − Z

iu0(t)

dt = − iu(t)

|t1=−1 − Z

v(t)

u(t)iv0(t) dt

(7.5)

−1

= − iu(t)

v(t)

|t1=−1 + (u, Pminv)

Åñëè v(−1) = v(1) = 0, то равенство

E:10.2

(7.5) принимает вид:

(Pminu, v) = (u, Pminv),

u dom Pmin.

o 1

Это означает, что v

dom P

è P

v = P

v =

−

iv0. Таким образом,

[

1; 1]

W 2

min

−

dom Pmin.

E:10.1

E:10.2

52 ГЛАВА 2. ТЕОРИЯ РАСШИРЕНИЙ СИММЕТРИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ

Обратно, пусть v	dom P	. Тогда, так как P			= P	min	P	, òî
	min		min				min
(Pminu, v) = (u, Pminv) = (u, Pminv),				u dom Pmin.

E:10.2

Отсюда в силу (7.5)

u(t)

v(t)

|t1=−1 = u(1)

(1) − u(−1)

(−1) = 0,

u W21[−1; 1] = dom Pmin

(7.6)

E:10.3

Полагая в

(7.6) u = ϕ± = 1±2 t , получим: v(−1) = v(1) = 0. 2

Найдем дефектные числа оператора Pmin, и его дефектные подпространства.

Так как, по определению, Nλ(Pmin) = ker(Pmin

−

λ), то решая уравнение (Pmin

−

λ)u =

iu0

λu = 0, получаем u(t) = ceiλt

Èòàê,

дефектные подпространства имеют вид:

−

iλt

}, λ C. Следовательно,

Nλ = span{e

n±(Pmin) = dim N±i(Pmin) = 1.

(7.7)

E:10.5

Из (7.7) следует, что оператор Pmin имеет симметрические расширения, и все они являются самосопряженными.

E:10.3

E:10.5

{

(it)k

eiλt}0∞

EXE:10.1

Óïð. 2.7.5. Показать, что

система

векторов

образует бесконечную

цепочку из собственных и присоедин¼нных векторов оператора Pmax(= Pmin

) äëÿ

любого λ C.

E:10.5

Из первой формулы Неймана и (

7.7) получаем

dim (dom Pmin

/dom Pmin) = 2,

(7.8)

E:10.6

òî åñòü

dim (W21[−1; 1]/ρW 21[−1; 1])

2. Заметим,

÷òî

каждая

функция

dom P

= W 1[

−

1; 1] представляется в виде u(t) = u(

−

1)ϕ

−

(t) + u(1)ϕ

(t) + u

(t),

min

ãäå u0 dom Pmin = (ρ(W ))2[−1; 1]. Опишем все собственные расширения оператора

Pmin. По определению, каждое такое расширение определяется заданием линейного

множества dom Pe,

подчиненного условиям:

dom Pmin dom P dom Pmin,

(7.9)

E:10.7

P автоматически оказывается

dom Pmax

dom Pmin,

ïðè ýòîì

замкнутым. Пусть

тогда

dom P = dom P

span g

(7.10)

E:10.8

подпространство

min u

{ }

E:10.7

удовлетворяет условию (7.9). И обратно, каждое линейное множество De, подчин¼нное

E:10.7 E:10.8

условию (7.9), представимо в виде прямой суммы ( 7.10), где g De \ dom Pmin

некоторый фиксированный вектор.

E:10.8

Пусть g функция из (7.10). Тогда она заведомо не удовлетворяет обоим

	g(−1) = g(1) =	0. Определим число θE:10.8		g(1) = θg(−1)
граничным условиям:			из условия:
(θ = ∞ соответствует условию g(−1)		= 0). Тогда, в силу
(θ = ∞ соответствует условию g(−1)		= 0). Тогда, в силу	(7.10)
	dom Pe = {u dom Pmax : u(1) = θu(−1)}.
	dom Pe = {u dom Pmax : u(1) = θu(−1)}.			(7.11)	E:10.9

2.7. ОПЕРАТОР ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ НА КОНЕЧНОМ ОТРЕЗКЕ

E:10.9

Обратно, очевидно, что при каждом θ линеал в правой части равенства ( 7.11) зада¼т

собственное расширение Pe, êàê Pe = Pmax dom Pe. Обозначим это расширение Pθ. Отметим, что значения θ = 0 è θ = ∞ порождают "условия Коши": u(1) = 0 è u(−1) = 0, соответственно.

Exe:10.2

Óïð. 2.7.6. Доказать, что Pθ = Pθ1 , ãäå θ1 = (

)−1. В частности, Pθ = Pθ , |θ| = 1.

Граничные условия оператора Pθ ïðè |θ| = 1 называются квазипериодическими,

ïðè θ = 1 периодическими и при θ = −1

антипериодическими.

Óïð. 2.7.7. Доказать, что

ieiλ 1

f(τ)eiλ(t−τ) dτ Peθ имеет вид:

EXE:10.3

резольвента оператора

Rλ(Pθ)f = (Pθ λ)−1f =

iλ

iλ −

iλ

f(τ)eiλ(t−τ) dτ.

−

iθe

iλ

θe− − e

−

Доказать, что при θ = ∞ è θ = 0 резольвента есть оператор Вольтеррa.

EXE:10.4 Óïð. 2.7.8.

(a)Найти спектр σ(Pθ) оператора, и показать, что этот спектр является дискретным, то есть состоит из собственных значений, и периодическим;

(b)Доказать, что расширение Pfθ не имеет присоедин¼нных векторов;

(с) Найти вычеты резольвенты в е¼ полюсах;

(d) Образуют ли базис (не ортогональный) собственные векторы оператора Pθ ( |θ| 6= 1);

(e) Найти биортогональную систему к системе собственных векторов оператора Pθ.

Запишем первую формулу Неймана для оператора A = Pmin = 1

dom Pmin = (ρ(W ))21[−1; 1], à Pmax = Pmin

, òî dom Pmax = dom Pmin

i dx . Òàê êàê

= W21[−1; 1], N±i =

span{e t}. Тогда ортогональный вариант первой формулы Неймана принимает вид:

W21[−1; 1] = (ρ(W ))21[−1; 1] c+e−t c−et.

(7.12)

E:10.10

iπkt

}k Z образует ортонормированную, но не полную

EXE:10.5

Óïð.

2.7.9. Доказать, что

â W

[

1; 1]

систему. Найти

ортогональное дополнение к

подпространству

2 iπkt−

span{e

}k Z â W2 [−1; 1].

EXE:10.6

Óïð. 2.7.10.

(a) Доказать, что система		iπ(k+ 1 )t		образует ортонормированный базис в
(a) Доказать, что система	√2(1+k2		π2)	образует ортонормированный базис в
	e	2
L2[−1; 1];				k Z

		eiπ(k+	1
(b) Система	√		2 )t	образует ортонормированную, но не полную систему

		2(1+(k+ 21 )2π2)
				k Z

âW21[−1; 1]. Найти ортогональное дополнение к подпространству

		eiπ(k+	1
span	√		2 )t	.

		2(1+(k+ 21 )2π2)
				k Z

54 ГЛАВА 2. ТЕОРИЯ РАСШИРЕНИЙ СИММЕТРИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ

2.8Оператор дифференцирования на полупрямой

L:11.1

Лемма 2.8.1. Пусть f W21(R+). Тогда f(t) → 0 ïðè t → +∞.

Доказательство. Òàê êàê f

W 1

(

R+

) òî f абсолютно непрерывна и f

L2(R+). Тогда

|f|2 =

0. R0

|f|2 dt =

(f0

0) dt

≤

(ff)

+ ff

|f(x)|2 − |f(0)|2 ≤ 2(

|f0|2

|2)21 . Òàê êàê f, f0 L2, то существует предел правой

части. Поэтому

существует

f(x)

. Следовательно lim f(x) = 0. 2

R lim

x→∞

L:11.1

EXE:11.1

Óïð. 2.8.2. Доказать лемму

2.8.1 для функции f W11(R+).

В гильбертовом пространстве H = L2(R) рассмотрим оператор дифференцирования

P 0 =

−

dom P 0

= C∞(0,

∞

). Аналогично предыдущему пункту устанавливается

dx ,

симметричность оператора P 0. Обозначим Pmin его замыкание.

Лемма 2.8.3. Имеют место следующие соотношения

L:11.2

dom Pmin

= W21(R+)

(Pminv)(t) = −iv(t) = (Pmaxv)(t)

dom Pmin

= dom Pmax = W21(R+)

оператора Pmin имеет вид dom Pmin =

L:11.3

Лемма 2.8.4. Область

определения

(ρ(W ))12(R+) = {f : f W21(R+) : f(0) = 0}.

Доказательство. Для любых u, v dom Pmax справедливы равенства

∞

(Pmaxu, v) = −i Z0

u0(t)

dt = iu(0)

− Z0

v(t)

v(0)

u(t)iv0(t) dt = iu(0)v(0) + (u, Pmaxv).

L:11.1

(8.1)

Здесь при интегрировании по частям учтено (см. лемму

2.8.1), ÷òî u(∞) = v(∞) = 0.

Òàê

êàê

min

= dom

max

то достаточно описать

E:11.1

dom

min

max

min

dom P

Èç

вытекает, что v

тогда и только тогда, когда

u(0)v(0) = 0 äëÿ

(8.1)

âñåõ u

dom P

min

dom P

. Следовательно v(0) = 0 для каждой функции v

max

. Ïðè

min

ýòîì Pminv = Pmaxv = Pminv. Таким образом оператор Pmin есть сужение оператора

(= P

max

) на множество (ρ(W ))1

(

) =

{

f : f

W 1

(

R+

), f(0) = 0

}

. 2

min

R+

Найдем индексы дефекта оператора

Pmin. Запишем уравнение P

v =

1 v0

= iv.

min

Общее решение этого уравнения имеет вид v(t) = Ce−t L2(R+). Аналогично,

уравнение P	v =	−	iv имеет решение v(t) = Cet / L2	(	R+	). Поэтому
min		−			R+
			N+(Pmin) = span{e−t}; N−(Pmin) = {0}.				(8.2)

E:11.1

E:11.2

P:11.4

EXE:11.3

EXE:11.5

EXE:11.6

2.9. ИНВАРИАНТНЫЕ И ПРИВОДЯЩИЕ ПОДПРОСТРАНСТВА НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОПЕР

Значит

E:11.3

n+(Pmin) = 1,

n−(Pmin) = 0.

(8.3)

E:11.3

Pmin является максимальным симметрическим оператором.

видно, что

Èç (8.3)

E:11.2

Â ñèëó

(8.2) 1-

я формула Неймана примет вид:

W21(R+) = (ρ(W ))21(R+) u span{e−t}.

(8.4)

E:11.4

Более того, разложение (

E:11.4

åñòü W21(R+)

8.4)

ортогонально в W21(R+), òî

(ρ(W ))21(R+) span{e−t}.

ßñíî, ÷òî dim (dom Pmin dom Pmin) = 1.

Предложение 2.8.5. (i) ßäðî

спектра

σˆ(Pmin) оператора Pmin

совпадает

(σˆ(Pmin) = R); (ii) σp(Pmin)

; (iii)

σc(Pmin) = σˆ(Pmin) =

(iv)

ρ(Pmin)

C+ (Im > 0); (v) σr(Pmin) = C−;

(vi) Резольвента оператора Pmin â C+ имеет вид

Rλ(Pmin)h = v, ãäå

v(t) = i Z0

exp(iλ(t − s))h(s) ds,

λ C+.

P:11.4

Óïð. 2.8.6. Доказать предложение

2.8.5.

Указание: утверждение 1 следствие равенств n+(Pmin) = 1, n−(Pmin) = 0.

Óïð. 2.8.7. Всегда ли оператор свертки является компактным:

Af = ϕ f

L1(R+)?

P:11.4

Óïð. 2.8.8. Сформулировать

доказать предложение аналогичное

2.8.5

äëÿ

оператора Pmin = Pmax.

2.9Инвариантные и приводящие подпространства неограниченных операторов.

D:12.1 Определение 2.9.1. Пусть T замкнутый оператор в H. Подпространство H1 инвариантно для T , åñëè T D1 H1, ãäå D1 = H1 ∩ dom T .

Множество всех инвариантных подпространств оператора T обозначается

Lat T .

EX:12.1 Óïð. 2.9.2. Доказать, что если dom T = H, òî D1 = H1.

Пусть инвариантные для T подпространства H1 è H2 таковы, что H = H1 H2. Можно ли разложить оператор T в прямую сумму T = T1 T2 в соответствии с разложением H = H1 H2?

Óïð. 2.9.3. Доказать, что при T B(H) такое разложение имеет место.

Покажем на примере, что это неверно, если T неограничен.

56 ГЛАВА 2. ТЕОРИЯ РАСШИРЕНИЙ СИММЕТРИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ

EX:12.2

Пример 2.9.4. Пусть H = L2(0, 1). Введ¼м оператор

1 d

dom T = W21(0, 1) = {f W21(0, 1) : f(0) = f(1) = 0}.

T =

Пусть a

(0, 1) è H

= L2[0, a] =

{

L2(0, 1) : f(x) = 0, x > a , тогда H = H

}

ãäå H2 = L

[a, 1]. Далее D1 = H1 ∩dom T = {f W2

[0, a] : f(0) = f(a) = 0} = W2[0, a].

ßñíî, ÷òî

H1 инвариантно для T , òî åñòü H1 Lat(T ). Кроме того D2 = H2 ∩dom T =

W2[a, 1]

Lat(T ). Поэтому dom T % dom T1 dom T2 è T % T1 T2

Óïð. 2.9.5. Найти индексы дефекта оператора T1 T2, дефектные подпространства

и написать формулы Неймана.

Определение 2.9.6. Пусть T линейный оператор в H = H1 H2. Говорят, что

D:12.2

H1 приводит T , åñëè

Pjdom T = Dj = Hj ∩ dom T, j = {1, 2}

(9.1)

E:12.1

T D1 H1, T D1 H2

(9.2)

E:12.2

Óïð. 2.9.7. Доказать импликацию: P1dom T = D1 P2dom T = D2

E:12.2

Таким образом, если в

9.2 выполняется одно условие, то автоматически

выполняется и второе условие.

Óïð. 2.9.8. Пусть T = D2 = −

è dom T = W22(0, 1). Показать, что H1 = L2[0, a]

EX:12.3

dt2

Lat T . Приводит ли H1 оператор T ? Найти Dj = dom T ∩Hj è Pjdom T , j = {1, 2}(H2 =

H H1).

EX:12.3

Óïð. 2.9.9. Выполнить упражнение

2.9.8 ïðè H1 = L2[0, a] è H = L2[0, ∞]

Óïð. 2.9.10. Пусть T симметричен и H1 Lat(T ), T1 = T D1, D1 = dom T ∩ H1.

Тогда оператор T1 симметричен.

EX:12.2

Заметим, что в примере

2.9.4 Pjdom T % Dj

= dom T ∩ Hj, j = {1, 2}.

Предложение 2.9.11. Для того, чтобы подпространство H1 приводило оператор

T необходимо и достаточно, чтобы

T коммутировал с P1, òî åñòü T P1

(

P1dom T = D1

è P1T f = T P1f, f dom T ).

Доказательство. Пусть H1 приводит T , тогда T f = T P1f +T P2f, и значит, в силу

ортоганалности H1 è H2, P1T f = T P1f. Обратное очевидно. 2

Åñëè H1

приводит T , òî dom T = D1 D2 = dom T1 dom T2 è T = T1 T2, òî åñòü

T f = T1P1f + T2P2f и, следовательно, ran T = ran T1 ran T2.

Óïð. 2.9.12. Пусть H1 приводит T , тогда T замкнут точно тогда, когда замкнуты T1 è T2.

Óïð. 2.9.13. Пусть dom T = H, подпространство H1 приводит T , è T1 = T D1. Тогда H1 приводит T è T D1 = T1 , и, следовательно, (T1 T2) = T1 T2 .

Теорема 2.9.16.

P:12.1

EX:12.*

EX:12.**

EX:12.***

2.9. ИНВАРИАНТНЫЕ И ПРИВОДЯЩИЕ ПОДПРОСТРАНСТВА НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОПЕР

Óïð. 2.9.14. Пусть T B(H), è H1 LatT ∩ LatT . Тогда H1 приводит и T , è T . Обратное также верно.

Óïð. 2.9.15. Åñëè T = T B(H) è H1 Lat T , òî H1 приводит T . Верно ли это для неограниченных самосопряженных операторов?

Пусть A замкнутый симметрический оператор в H è H1 Lat A. P1 ортопроектор на H1. Åñëè P1dom A = D1, òî H1 приводит A.

D:12.2

Доказательство. По условию теоремы выполнены три условия определения 2.9.6 (соотношение P2dom A = D2 = dom A ∩ H2 вытекает из того, что P1dom A = D1 =

dom A ∩ H1). Проверим теперь условие AD2 H2.

Пусть

f dom A

ортогонально

. Åñëè

g D1

, òî

EX:12, è.1

ïîэтому

(Af, g) = (f, Ag) = 0. Таким образом Ag D1, но, в силу упражнения

2.9.2, D1

= H1.

Таким образом g dom A, íî dom A плотно в H, òî åñòü g = 0. Тогда Af D1, следовательно, AD2 H2. 2

Óïð. 2.9.17. Пусть A = A в гильбертовом пространстве H è H1 = span{(A − λ)−1h0 : λ C+}, ãäå h0 H некоторый фиксированный элемент. Верно ли, что:

a) H1 Lat A; b) H1 приводит оператор A?

Определение 2.9.18. Симметрический (изометрический) оператор называют простым, если отсутствуют приводящие его подпространства, в которых он

индуцирует самосопряженный (унитарный) оператор.

Предложение 2.9.19. Пусть A симметрический оператор в H è H1 = span{Nz : z C+ C−}, тогда подпространство H1 приводит оператор A и сужение A1 =

A H1 является простым симметрическим оператором. Поэтому						A допускает
разложение A = A1 A2, ãäå A2 = A2 C(H2), H2 = H1 .
					P:12.1
Óïð. 2.9.20. Доказать предложение					2.9.19.
Óïð. 2.9.20. Доказать предложение					2.9.19.
Óïð. 2.9.21. Пусть A симметрический оператор в H, H1 Lat A и сужение A1								=
A	H1	= A . Верно ли, что H	1	приводит A?
	H1	1	1
Óïð. 2.9.22. Доказать, что				минимальный симметрический оператор		P =	1	d
Óïð. 2.9.22. Доказать, что				минимальный симметрический оператор		P =	i dx
							i dx

является простым в L2[0, b], dom P = W21[0, b] ïðè b ≤ ∞. Имеет ли оператор P приводящие подпространства?

Указание. Так как Nz = {ceizt}, x C+, то равенство L2[0, ∞) = span{Nz : z C+} эквивалентно теореме единственности для преобразования Лапласа.

Óïð. 2.9.23. Пусть V оператор одностороннего сдвига в H, V ek = ek+1, ãäå {ek}∞1ортонормированный базис в H. Доказать, что

a) V является вполне неунитарным оператором, то есть не имеет приводящего подпространства H1 такого, что оператор V |H1 унитарен;

b) имеет ли V приводящие подпространства?

58 ГЛАВА 2. ТЕОРИЯ РАСШИРЕНИЙ СИММЕТРИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ

Глава 3

Блочные матрицы

3.1Задача о достройке неполной неотрицательной матрицы

Пусть H = H1 H2 ортогональное разложение гильбертова пространства H и пусть

A0 =

A11

A12

(1.1)

E:15.1

A21

неполная блочно-операторная матрица, где Aij

[Hj, Hi], i, j

1, 2

. Оператор A22

[H2] называют достройкой матрицы

элемент, дополняющий

A0. Если существует {

}

A0 до неотрицательной операторной матрицы A = (Aij) > 0, то очевидно, что

A11 > 0 è A21 = A12

. Однако не каждая матрица с такими свойствами дополняема

до неотрицательной матрицы A [H]. Например, матрица A0

íå

дополняется до неотрицательной.

Åñëè A самосопряж¼нный оператор в H, òî H = ker A ran A è A допускает

разложение A =

, в котором A

= A è ker A

}

. Определим квазиобратный

1 1

{

оператор A(−1), полагая A(−1) = O A1−

Предложение 3.1.1. Пусть A0 - неполная операторная блок-матрица вида (1E:15.1) .1

P:15.1

â H = H1 H2. Пусть также A11 > 0 è A21 = A12

. Тогда :

(i) матрица A0

дополняема до неотрицательной операторной матрицы A [H]

с некоторым оператором

A22

[H2]

тогда и только тогда, когда

ran A12

ran A112 .

(ii) в этом случае оператор S = A11(−21 )A12 определ¼н корректно и S [H2, H1];

более того оператор S S является наименьшим во множестве

A = {A22 [H2] : A = (Aij)i,j2

=1 > 0}.

(1.2)

E:15.2

60 ГЛАВА 3. БЛОЧНЫЕ МАТРИЦЫ

Доказательство. (i) Предположим, что существует A22 A. Тогда 0 ρ(A + εI) äëÿ âñåõ ε > 0 и, следовательно,

−A21(A11

+ ε)−1

A21

A22 + ε

(1.3)

A11 + ε

A12

(A11 + ε)−1

A11 + ε

> 0.

× 0 −

A22 + ε − A22(A11 + ε)−1A12

E:15.3

Неравенство

(1.3) справедливо в точности тогда, когда

E:15.4

A22 + ε − A21(A11 + ε)−1A12 > 0.

(1.4)

В свою очередь

(1.4) эквивалентно неравенству

kA11k

ε > 0,

(1.5)

(t + ε)−1dkEtA12fk2 6 εkfk2 + kA222 k2,

E:15.5

ãäå Et разложение единицы оператора A11. Но (1.5) означает, что g = A12f

(−1 ) dom A11 2 .

(ii) Обратно, если

оператор

A(−

определ¼н

ran

2 )A

11, òî

корректно и ограничен, S

, H

]. Отсюда A

= A2

= S A2

, и, значит,

Amin :=

A21

S S =

S !

A11

S > 0.

(1.6)

A11

A12

A11

Таким образом A

= S S

и, в частности

. Отсюда с уч¼том равенства

A 6

A21 = S A112

получаем

ε→0

+ ε)−1A

12 = sε→0

(

)

(1.7)

s-lim A

-lim S

−1A2

S = S S.

A22 A, òî

E:15.4

Далее, если

справедливо неравенство (

1.4). Переходя в н¼м к пределу

E:15.7

ïðè ε → 0 и учитывая

(1.7), получим S S 6 A22. Таким образом, S S обладает

требуемым свойством минимальности. 2

P:15.1

E:15.6

Согласно предложению

3.1.1 оператор Amin âèäà

(1.6) является минимальным

решением задачи о достройке матрицы A0 до неотрицательной. Поэтому каждое

решение A [H] этой задачи представляется в виде

0 A22 − S S.

A =

A21

A22

S !

A11

S +

(1.8)

A11

A12

A11

E:15.3

E:15.4

E:15.5

E:15.6

E:15.7

E:15.8

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 166 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.04.20151.78 Mб24методичка вышка.pdf
#
16.03.20168.21 Mб956Методичка грам последн 2013.doc
#
01.05.2025108.08 Кб0Методичка ГЭК маг II.docx
#
01.05.2025261.63 Кб0Методичка ГЭК магістри I.doc
#
01.04.2025920.58 Кб0методичка Деньги и кредит.doc
#
13.04.2015973.11 Кб36Методичка ДЕРКАЧА.pdf
#
16.03.201678.87 Кб24методичка до курсових робіт.docx
#
14.11.2019183 Кб2Методичка Екологічне 2011-3.docx
#
13.04.2015533.5 Кб31Методичка Екологічне право 2013.doc
#
29.04.2019863.23 Кб6Методичка з Цивільного права (Особлива частина)....doc
#
01.05.2025566.78 Кб0Методичка земельное.doc