Методичка ДЕРКАЧА

2.5. ОБОБЩЕННАЯ ФОРМУЛА НЕЙМАНА

41

n±(A)

= m

> ∞ è z =

ρˆ(A), то существует

C:8.1111

Следствие 2.5.2. Åñëè

z

расширение A = A ExtA, для которого z σp(A) è dim ker(A − z) = m.

e

e

A := Az является искомым. 2

e

Доказательство. Оператор

e

Следствие 2.5.3 (1-я

A

C:8.7_T

формула Неймана). Пусть

симметрический

оператор в H è z C+. Тогда

dom (A ) = dom (A) u Nz u N

(5.3)

E:8.8

z

Следствие 2.5.4. Пусть A симметрический оператор в H. Тогда

C:8.14

dA(z) ≡ const äëÿ z C+ è z C−.

(5.4)

E:8.9

E:8.10

Доказательство. Вытекает из формулы

(5.5). Фиксируем z1 C+. Тогда

dA(z2) = dim Nz2 = dim (dom (A ))/(dom (A) u Nz1 ),

и осталось заметить, что правая часть не зависит от z2 C−.

Аналогично, если z1 C−, то правая часть в последнем равенстве не зависит

îò z2 C+. 2

Следствие 2.5.5. Åñëè ρˆ(A) ∩ R 6= , òî n+(A) = n−(A).

C:8.16a

Доказательство. Вытекает из формулы

˙

N

˙ N

C+ C−.

dom (A

) = dom (A)+

z1

+

z2 , z1 = z¯1, z2

2

Теорема 2.5.6 (2-я формула Неймана). Формула

T:8.9

dom (A) = dom (A) + (I − V 0)Nz0 ,

(5.5)

E:8.10

устанавливает

взаимно-

e

однозначное

соответствие

между множеством

замкнутых симметрических расширений A оператора A и множеством частично

При этом расширение

A оператора

eA является самосопряженным тогда и

изометрических операторов V 0

èç Nz0 ( Nz) â Nz0¯( Nz¯).

только тогда, когда V 0

e

Nz íà Nz¯.

изометрия из

Доказательство. Пусть V = Cz(A) это преобразование Кэли оператора A, òî

åñòü

V = (A − z)(A − z¯)−1

это изометрия из ran (A

−

z¯) íà ran (A

−

z). Åñëè V 0 изометрия из Nz0 (

Nz) â

N0

(

N

), то оператор V = V

V 0

является изометрическим расширением оператора

z¯

z¯

e

V . В силу Теоремы

T:14.9Ext

A = C−1

(V ) оператора

V

2.3.4 обратное преобразование Кэли

z

E:14.4

является симметрическим расширением оператора

V

e

e

формулы (

e

. Ïðè ýòîì â ñèëó

1.4)

111a

справедливы соотношения

Ae

оператора A

Следствие 2.5.7. Для каждого симметрического

расширения

dim (dom (A)/dom (A)) = dim Nλ0 6 min n+(A), n

(A)

,

(5.6)

E:207b

e

n

(A) = n

(A)

−

dim N0 {i.

−

}

(5.7)

±

±

E:207c

±

В частности, если n±(A) = n < e

, òî A = A тогда и только тогда, когда

∞

dim (dom (

A /dom (A)) = n.

(5.8)

E:207c

)e

e

Следствие 2.5.8. Пусть n

(A) = m <e

è z = z

σp(A). Тогда

C:8.1112

±

∞

6

m(z) := dim ker(A − z) 6 m.

(5.9)

E:8.96

E:8.93

Доказательство. Определяя Az

по формуле

(4.4), ãäå Nz = ker(A − z), получим

T:8.16

Теорема 2.5.9. Пусть A симметрическое расширение оператора A. Тогда

A = A dom (A )e,

dom (A ) = dom (A) u (I − V )Nz0 u Nz00 u Nz00¯,

(5.10)

E:8.13

Nz0

eè V E:8.13

e

e

T:8.9

Nz00 = Nz Nz0

, Nz00¯ = Nz¯ V Nz0

è

ãäå

те же, что и в Теореме

2.5.6, à

разложение

(5.10)

прямое. При этом справедливо равенство

n±(A) = dim N±00 z = dim (ker(A z)), z C+.

(5.11)

e

e

фон Неймана,

существует

Доказательство. Согласно 2 ой формуле Дж.

изометрия V 0 èç Nz0

â Nz¯, такая что

˙

0

)

N0

(5.12)

eq:2.5.17

dom (A) = dom (A)+(I

− V

z.

Найдем дефектные

e

Nz(A)

A

подпространства

e

оператора

. Для произвольного вектора

f èç dom (A) âèäà

e

e

f = fA + (I − V 0)fz

(fa dom A, fz Nz)

2.5. ОБОБЩЕННАЯ ФОРМУЛА НЕЙМАНА

43

получим

(A − z¯)f = (A − z¯)fA + (z − z¯)fz,

z

z0

z

e

z00

поэтому N

(A) = N

N

= N

. Аналогично из равенства

e

(A − z)f = (A − z¯)fA + (z − z¯)V fz,

следует, что Nz¯(A) = Nz¯e Nz0¯ = Nz00¯. В соответствии с 1-ой формулой Дж. фон

Неймана

e

справедливо прямое разложение

dom (A ) = dom (A) u Nz00 u Nz00¯

Из (5.12) и (5.12) следует

(5.13)

eq:2.5.18

e

2e

eq:2.5.17eq:2.5.17

E:8.13

равенство(

5.10).

T:8.9

T:8.16

Из Теоремы

2.5.6 и Предложения

2.5.9 вытекает

C:8.17

Следствие 2.5.10. Пусть A замкнутый симметрический оператор в H. Тогда:

Доказательство.

Утверждения (i), (ii) и (v) с очевидностью вытекают из

T:8.9

Теоремы

2.5.6.

E:8.7

(iv) Пусть n

(A) = n

(A). Тогда положим в

(4.14) N0

:= N

, N

0

:= N

è

пусть

+

z

−

. Тогда N00 = N

00

z

z

z

E:8.13

0 и по формуле

(5.10)

V произвольная изометрия из N

z

íà N

=

A = A .

z

z

z

{ }

e

e

Обратно, пусть A = A . Тогда

из формул (4E:8.14).7

è (5E:8.10).13

вытекает, что N00 =

e

n e(A) = n

E:8.7

z

(A)

dim N = dim N , òî

Nz00

=

{0} и оператор V

в формуле

(4.14) изометрия из Nz íà Nz. Следовательно,

åñòü

−

.

z

z

+

(vi) Выберем подпространства Nz0

è N

z0

так, чтобы

dim (Nz Nz0 ) = n+0 ,

dim (N

N

z0

) = n−0

è dim Nz0 = dim N

z0

.

z

Тогда каждая изометрия из Nz0

íà N

z0

E:8.7

задает по формуле

(4.14) симметрическое

2.5. ОБОБЩЕННАЯ ФОРМУЛА НЕЙМАНА

45

Доказательство. Òàê êàê J2 = I, то из включения Jdom (A) dom (A) вытекает

dom (A) Jdom (A), ò.å.

Jdom (A) = dom (A).

Пусть fi Ni, fA dom (A), тогда в силу упражнения

Ex:8.17a

2.5.13

0 = (fi, (A + i)fA) = (Jfi, J(A + iI)fA) = (Jfi, (A − i)JfA).

(5.16)

E:8.13a

E:8.13a

Òàê êàê Jdom (A) = dom (A), òî èç

(5.16) вытекает, что Jfi N−i, ò.å.

JNi N−i.

(5.17)

eq:5.13

Аналогично, JN−i Ni, откуда следует, что

eq:5.13

eq:5.14

N−i JNi.

(5.18)

eq:5.14

Таким образом из

(5.17),

(5.18) получаем JNi = N−i и, следовательно,

dim Ni = dim N−i.

2

Óïð. 2.5.16. Пусть J

отображение в (H), такое что J2

= I è

Ex:8.18a

eq:2непрерывное.5.19

выполняется равенство (

5.14). Доказать, что J антилинейный оператор.

eq:2.5.19

Решение. Полагая в

(5.14) g = Jh, получим (Jf, h) = (f, Jh), откуда следует, что для

âñåõ α, β C, f, g, h H

(J(αf + βg), h) = (αf + βg, Jh) =

(f, Jh) + β(g, Jh)

α

=

(Jf, h) + β(Jg, h) = (

α

αJf + βJg, h).

Таким образом,

J(αf + βg) =

αJf + βJg.

Пример 2.5.17. 1) Пусть H = L2(R). Тогда оператор сопряжения J : f −→

является

Exa:8.18j

f

инволюцией в H;