Методичка ДЕРКАЧА

T:14.9

Теорема 2.3.5. Пусть

A

симметрический оператор в

H, тогда

подпространство H1 приводит A тогда и только тогда, когда оно приводит

его преобразование Кэли V = C(A).

Доказательство. Легко видеть, что

V = C(A) = (A − z)(A −

)−1 = I + (

− z)(A −

)−1.

(3.6)

E:14.8

z

z

z

T:12.5

По теореме

?? подпространство H1 приводит A в точности тогда, когда P1

коммутирует с A (P1 ортопроектор на H1), òî åñòü

P1Af = AP1f,

f dom A è

P1dom A dom A.

E:14.9

(3.7)

E:14.9

Èç

(3.7) имеем P1(A − z)f = (A

− z)P1f, f

dom A. Отсюда

(A −

)−1P1g = P1(A −

)−1g,

g ran (A −

).

z

z

z

(3.8)

E:14.10

E:14.8

E:14.10

Èç

(1.9) è

(3.8) получаем V P1 = P1V , значит H1 приводит V .

Рассуждение обратимо. 2

Óïð. 2.3.6. Пусть H = L2(R), A = −i

d

, dom A = W21(R).

EX:14.*

dx

a) Доказать, что A = A ;

b) Найти RA(λ), σ(A).

Пример 2.3.7. Пусть A = A оператор из упражнения

2EX:14.3.6,.*V = I

−

2i(A + iI)−1

EXA:14.5

его преобразование Кэли. Тогда V унитарен и имеет вид:

∞

(V f)(x) = f(x) − 2 Zx

f(t) exp(x − t) dt.

Пусть

H± = L2(R±) = {f L2(R) : f(x) = 0, x ≥ 0}.

Легко видеть, что подпространства

H

±

Lat

A не приводят оператор A. Â òî æå

x

, ãäå χ−

время H− Lat V , íî H+ / Lat V . Более того, e− V H−, ãäå e− = χ−(x)e

индикатор полуоси R−.

Óïð. 2.3.8. Пусть A = A â H è

H

Cyc A, òî åñòü

EX:14.6

2.4. ЧИСЛОВАЯ ОБЛАСТЬ ОПЕРАТОРА

33

Re(T f, f) ≥ 0 (Im(T f, f) ≥ 0),

f dom (T ),

òî åñòü, åñëè Θ(T )

C

r (Θ(T )

C

+).

|Re [(T u, v) + (T v, u)]|2 6 Re(T u, u) Re(T v, v).

(4.1)

E:8.4a

T:8.4

Теорема 2.4.8. Пусть T

плотно определен.

H è Θ(T ) 6= C. Тогда

плотно определенный оператор в

T замыкаем и, значит, T

Доказательство. Òàê êàê Θ(T ) выпуклое множество и Θ(T ) 6= C, то числовой

образ оператора T содержится в некоторой полуплоскости. Заменяя T íà αT + β ñ

некоторыми α, β( C) можно считать, что Θ(T )

C

r, ãäå Cr = {z C : Re z > 0}

правая полуплоскость, то есть

Re(T f, f) > 0,

äëÿ âñåõ f dom (T ).

L:8.4a

Пусть fn dom (T ), fn

→ 0 è T fn

→ g. Тогда, по

Лемме

2.4.7 справедливо

неравенство

|Re [(T fn, v) + (T v, fn)]|2 6 Re(T fn, fn) · Re(T v, v),

v dom (T ).

(4.2)

E:8.4b

E:8.4b

Переходя в неравенстве (

4.2) к пределу при n → ∞, получим

| Re(g, v)|2 6 0,

äëÿ âñåõ v dom (T ),

òî åñòü (g, v) = 0, v dom (T ). Òàê êàê dom (T ) = H, òî g = 0. Значит, оператор T

замыкаем. 2

Óïð. 2.4.9. Åñëè T диссипативен и замкнут, то

EXE:8.3A

(a)

C− ρˆ(T );

(b)

dT (z) := def(ran (T − z)) ≡ const,

z C−.

Доказательство. Пусть z = x + iy C−, ò.å. y < 0. Тогда

kT f − zfk2 = k(T − x)fk2 − 2y Im(T f, f) + y2kfk2 > y2kfk2.

Таким образом, C− ρˆ(T ) и в силу Упражнения

EXE:8.2

2.4.4 функция dT (z) := def(ran (T −

z)) сохраняет постоянное значение в C−. 2

Óïð. 2.4.10. Åñëè T аккретивен и замкнут, то

EXE:8.3

(a)

Cl ρˆ(T );

(b)

dT (z) := def(ran (T − z)) ≡ const,

z Cl.

Óïð. 2.4.11. Показать, что оператор T является m-диссипативным тогда и только

EXE:8.5

тогда, когда выполнены условия:

a) C− ρ(T ); b) k(T − z)−1k ≤

1

, z C−.

| Im z|

2.4. ЧИСЛОВАЯ ОБЛАСТЬ ОПЕРАТОРА

35

T является m-аккретивным тогда

EXE:8.5

Óïð. 2.4.12. Показать, что оператор

и только

тогда, когда выполнены условия:

a) ρ(T ) Cl; b) k(T + z)−1k ≤

1

,

z Cr.

Rez

EXE:8.3A

В силу Упражнения

2.4.9 для диссипативного оператора T корректно

определено его преобразование Кэли

V = Cz(T ) = (T − zI)(T −

zI)−1

E:14.4.13..3 Åñëè T диссипативный оператор в H, то его преобразование Кэли V

A:14.6Dis

Óïð. 2

âèäà

сжимающий оператор в H, для которого

(1.3)

dom V = M

:= ran (T −

(4.3)

E:14.5Dis

zI).

z

и оператор T является m-диссипативным тогда и только тогда, когда dom V = H.

Òàê

e

же, как и в пункте 2.3 доказывается следующее утверждение.

Óïð. 2.4.14. Пусть T , Te диссипативные операторы в H, z C+ è V

= Cz(T ),

T:14.9

Az = A

dom (Az),

˙

N

z,

(4.4)

E:8.93

dom (Az) = dom (A)+

является m диссипативным оператором;

(ii) åñëè z = x ρˆ(A) ∩ R, то оператор Ax âèäà

E:8.93

(4.4) самосопряжен, Ax = (Ax) .

2.4. ЧИСЛОВАЯ ОБЛАСТЬ ОПЕРАТОРА

39

P:8.5

Предложение 2.4.19. Пусть T аккретивный оператор в H, T C(H), è dT (z) > 0,

z Cl. Тогда для каждого z Cl справедливо соотношение dom (T ) ∩ Nz(T ) = {0} è

оператор

T (z)

,

˙

,

dom (T (z)) = dom (T )+Nz(T )

T (z)(fT + fz) = T fT − zfz,

f dom (T ), fz Nz(T ),

(4.15)

E:8.88

является m аккретивным.

Доказательство. (i) Åñëè f dom (T ) ∩ Nz(T ) è f 6= 0, òî

0 6 Re(T f, f) = Re(f, T f) = Re(f, zf) = Re

· kfk2 < 0.

z

Значит, dom (T ) ∩ Nz = {0} и определение

E:8.88

(4.15) корректно.

(ii) Покажем, что T (z) аккретивен. Легко видеть, что

(T (z)(fT + fz), fT + fz) = (T fT − zfz, fT + fz)

= (T fT , fT ) + (T fT , fz) − z(fz, fT ) − zkfzk2

= (T fT , fT ) +

(fT , fz) − z(

fT , fz

) − zkfzk2.

z

Отсюда

Re(T (z)(fT + fz), fT + fz) = Re(T fT , fT ) − Re z · kfzk2 > 0.

(4.16)

E:8.89

Таким образом, Tz

аккретивное расширение оператора T .

(iii) Покажем замкнутость оператора T (z). Пусть

fn = fnT + fnz dom (T (z)), fn −→ f, T (z)fn = T fnT − zfnz −→ g.

E:8.89

Тогда в силу

(4.16)