Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донецкий национальный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методичка ДЕРКАЧА

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.04.2015

Размер:

973.11 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 163 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

1.7. СПЕКТР И РЕЗОЛЬВЕНТА ЗАМКНУТОГО ОПЕРАТОРА.				21

D:6.4	Определение 1.7.4. Пусть оператор T замкнут в H.
	(i) Точечным спектром оператора T называют множество
	σp(T ) = {z C : ker(T − z) 6= {0}}
	σp(T ) = {z C : ker(T − z) 6= {0}}			(7.1)	E:6.2
	(ii) Непрерывным спектром оператора T называют множество
	σc(T ) = {z C : ran (T − z) 6=
	σc(T ) = {z C : ran (T − z) 6=	ran (T − z)	}.	(7.2)	E:6.3

(iii) Остаточным спектром оператора T называют множество

σr(T ) = σ(T )\σb(T ).

Ясно, что точки z σp(T ) это собственные значения оператора T . Óïð. 1.7.5. Верно ли, что σp(T ) ∩ σc(T ) = ?

exe:6.4 Óïð. 1.7.6. Доказать, что σp(T ), σc(T ) σb(T ).

Óïð. 1.7.7. Верно ли, что каждое замкнутое множество F C является спектром

a)некоторого оператора T C(H);

b)некоторого оператора T B(H)?

T:6.3	Предложение 1.7.8. Пусть T замкнутый оператор в H, тогда
			σp(T ) σc(T ) = σ(T ).
			σp(T ) σc(T ) = σ(T ).				(7.3)	E:6.4
	Доказательство. Включение " " очевидно			b		exe:6.4
	Доказательство. Включение " " очевидно			b

				(см. Упражнение		1.7.6).
	Докажем обратное включение. Пусть z / σp(T ) σc(T ). Тогда ran (T − z) =
	.
	ran (T − z) подпространство в H и на н¼м существует обратный оператор (T −z)−1
	Этот оператор замкнут вместе с оператором (T −z) и по теореме о замкнутом графике
	(T − z)−1 ограничен. Значит z ρ(T ), òî åñòü z / σ(T ). Следовательно, справедливо
	включение σp(T ) σc(T ) σ(T ).b2			b
T:6.4		b	T è T		H, T T , тогда:
	Предложение 1.7.9. Пусть		˜ замкнутые операторы в				˜

		˜
	(i) σp(T ) σp(T );

(ii)σˆ(T ) σˆ(T ).

Таким образом, точечный спектр и ядро спектра оператора не уменьшаются при расширении оператора.

22	ГЛАВА 1. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Доказательство. Свойство (i) очевидно.

Докажем свойство (ii). Если z σb(T ), то оператор (T −z)−1 либо не существует, либо существует, но не ограничен (по определению). Однако оба эти свойства

сохраняются при расширении. Значит σ(T ) σ(T ). 2

Óïð. 1.7.10. Åñëè T

T , то возможны ли

соотношения:

a) σc(T )

σc(T )\σc(T ) возможно лишь в том случае,

Óïð. 1.7.11. Доказать, что включение z

когда z являетсяe

собственным значениемe бесконечной кратности для T .

расширение

Óïð. 1.7.12. Åñëè

z σr(T )

, то существует

T T , äëÿ

которого

z ρ(T )

Óïð. 1.7.13. Åñëè z ρ(T ) è T T (T 6= T ), òî z σp(Te).

Rz = Rz(T )e= (T − z)−

1, определ¼нная на

D:6.5

Определение 1.7.14.

Оператор-функция

ρ(T ) называется резольвентой оператора T .

Óïð. 1.7.15 (Тождество Гильберта). Åñëè z è z0 ρ(T ), то справедливо тождество

Rz − Rz0 = (z − z0)RzRz0

(7.4)

è RzRz0 = Rz0 Rz

E:6.5

Óïð. 1.7.16. Åñëè z0 ρ(T ), то уравнение

Dz0

(c0), ãäå c0−1 =

(7.4) разрешимо при z

kRz0 (T )k.

При этом условии справедливо равенство

∞

− z0)kRzk0+1,

Rz = (I − (z − z0)Rz0 )−1Rz0 = (z

(7.5)

E:6.6

ïðè÷¼ì ðÿä

(7.5) сходится равномерно в B(H) ïðè |z − z0| < c0.

T:6.5 Предложение 1.7.17. Резольвента Rz(T ) = (T − z)−1 аналитически зависит от

					0	(		1
z	ρ(T ) è	вE:6окрестности.6		каждой точки z		ρ	T ) резольвента представляется в
âèäå ðÿäà			сходящегося в круге Dz0 (c0), ãäå c0−						= kRz0 (T )k.
		(7.5),
		(7.5),

E:6.5

E:6.6

1.8Дифференциальные операторы

Пусть Ω ограниченная область с достаточно гладкой границей (говорят, что граница ∂Ω принадлежит классу Cl, если каждый ее малый участок задается уравнением вида xj = ϕj(x1, . . . , xˆj, . . . , xn), ãäå ϕj Cl(Ω)).

L :=

α|≤r

aα(x)Dα,

(8.1)

E:2.3

ãäå α = (α

, . . . , α

) Dα = Dα1

. . . Dαn

= α + . . . + α

è D

= 1

∂

{

1, .., n

}

E:13.11

∂xk ,

Коэффициенты aα

предполагаются комплекснозначными,

aα

C|α|(Ω). Ñ

(2.1)

1.8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ								23
каждым	rL	связано формально-сопряженное выражение	L	+	.	Именно, пусть	u, v
r	rL		L		.		u, v
C0 (Ω) (C0 (Ω) пространство r-гладких финитных функций в Ω). Тогда из формулы
интегрирования по частям (формулы Грина) получаем

Z (Lu)(x) v(x) dx =

α r Z

aα(x)Dαu(x) v(x) dx

|≤ Ω

Z u(x)(

X(−1)|α|

Dαaα(x)v(x))

(8.2)

E:13.2

|α|≤r

u(x)(L+v)(x) dx,

ãäå

(L+v)(x) =

(−1)|α|Dα(

aα(x)

v(x)).

(8.3)

E:2.4

α|≤r

Если выражение

(8.3) продифференцировать, то L+ примет вид (8E:2.1)..3

D:2.6

Определение 1.8.1. Дифференциальное

выражение

называется формально

самосопряженным (эрмитовым), если L

= L

Пример Dk = 1

∂

i ∂xk . Оператор Гильберта-Шмидта

(Lu)(x) = −

(Dj2u)(x) + q(x)u(x) = −(Δu)(x) + q(x)u(x), q =

(8.4)

E:2.5

Lmin,

D:2.7

Определение 1.8.2. Минимальный

оператор

порожденный:

дифференциальным выражением L, это замыкание в L2(Ω) оператора L0

dom (L0) = C0l (Ω), L0u = Lu, u C0l (Ω).

P:2.5 Предложение 1.8.3. Оператор L0 замыкаем, т.е. Lmin определен корректно.

Доказательство. Пусть

dom (

0) = C0l (Ω), fn

→

0 è

0fn

→

g â L2. Пусть

E:13

далее v C0(Ω). Тогда из

(8.2) получаем

(g, v)L2(Ω) = nlim (Lfn, v) = nlim (fn, L+v) = (0, L+v) = 0

(8.5)

E:2.6

→∞

Поскольку C0l (G) плотно в L2(G), òî g = 0, следовательно, L0

замыкаем. 2

24	ГЛАВА 1. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Глава 2

Теория расширений симметрических операторов

2.1Симметрические и самосопряженные операторы

D:7.1

Определение 2.1.1. Оператор A называют симметрическим, если dom (A) = H è

(Af, g) = (f, Ag),

f, g dom (A).

(1.1)

E:7.1

A симметрический, если квадратичная форма

(Af, f), f

EXE:7.1

Óïð. 2.1.2. Оператор

dom (A), вещественна.

D:7.1

Определение

(2.1.1) равносильно включению A A (но не равенству A = A ).

Òàê êàê A замкнут, то симметрический оператор A заведомо допускает замыкание

. Ïðè ýòîì (

) = A . Из этого замечания и теоремы Банаха вытекает:

Теорема 2.1.3 (Хеллингер). Åñëè A симметрический и dom (A) = H, òî A

T:7.2

B(H).

Покажем,E:7.1

→ 0

Доказательство.

÷òî

замыкаем. Действительно пусть

Afn → h ïðè n → ∞. Èç

следует, что для всех g dom (A) справедливо

(1.1)

равенство (h, g) = 0. Значит h = 0 и оператор A замыкаем. Но dom (A) = H è,

значит, A замкнут, то есть A C(H). По теореме Банаха о замкнутом графике

A B(H). 2

Åñëè A симметрическое расширение оператора A (A A), òî (A)

=: A A è,

E:7.2

A A A A .

(1.2)

значит,

симметрическое.e

Из (1.2) следует, что

A обязательно является

E:7.2

расширение

сужением сопряженного оператора A

D:7.3 Определение 2.1.4. (i) Симметрический оператор называется максимальным, если он не имеет симметричных расширений;

26ГЛАВА 2. ТЕОРИЯ РАСШИРЕНИЙ СИММЕТРИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ

(ii)Оператор A называется самосопряженным, если A = A . Иначе говоря, A самосопряжен, если он симметричен и dom (A) = dom (A );

(iii)Говорят, что A существенно самосопряжен, если его замыкание A является самосопряженным: A = A 6= A.

EXE:7.2 Óïð. 2.1.5. Существует ли максимальный симметрический, но не самосопряженный оператор?

EXE:7.3 Óïð. 2.1.6. Оператор A симметричекий точно тогда, когда A = A. Обозначим C± = {z C : ± Im z > 0}.

T:7.4 Теорема 2.1.7. Пусть A замкнутый симметрический оператор в H. Тогда C±

ρˆ(A).

E:7.1

Доказательство. Пусть z = α + iβ ,β 6= 0 . Тогда с учетом (1.1) получаем

k(A − z)fk2 = k(A − α)fk2 + β2kfk2 + 2Re((A − α)f, iβf) = k(A − α)fk2 + β2kfk2.

E:7.3

Из (1.3) вытекает оценка

k(A − z)fk ≥ β · kfk

(1.3) E:7.3

(1.4) E:7.4

		2
		Следствие 2.1.8. Дефектное число dA(z) симметрического оператора постоянно
	C:7.5
		в каждой из полуплоскостей C±.				T:7.4		T:6.2


		Доказательство. Утверждение немедленно вытекает из Теорем				2.1.7 è		1.6.10. 2
		Определение 2.1.9. Положим
			n±(A) := dA( i).
		Числа n±(A) называются индексами дефекта оператора A.
		Пусть z ρb(A).	Подпространство
		Пусть z ρb(A).	Nz = H • ran (A − z¯),	z ρ(A),	z C
				b	z C
		называется дефектным подпространством оператора A в точке					.
		Предложение 2.1.10. Пусть A замкнутый симметрический оператор в H.
prop:7.5
		Тогда	Nz = ker(A − zI),	z ρb(A).
		Тогда

T:7.4 T:6.2

Доказательство. вытекает из Теорем 2.1.7 и 1.6.10. 2

2.1. СИММЕТРИЧЕСКИЕ И САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Óïð. 2.1.11.

EXE:7.4

dim Nz = (n

(A),

z C .

n+(A),

C+,

−

Следствие 2.1.12. Ядро спектра σˆ(A) замкнутого симметрического

C:7.7

оператора

вещественно, σ(A) R.

Следствие

z0 = z0 ρ(A), òî n+(A) = n−(A) = dA(z0).

C:7.8

2.1.13. Åñëè

T:6.4

Доказательство. Ò.ê. ρˆ(A)

ε > 0

открыто в

(Теорема

1.7.9), то существует

такое, что Dz0 (ε) ρˆ(A) è dA(z) = dA(z0) ïðè z Dz0 (ε) 2

Óïð. 2.1.14. Верно ли обратное, то есть следует ли из равенства n+(A) = n−(A), ÷òî

EXE:7.5

ρ(A) ∩ R 6= ?

z1, z2 σp(A)

z1 6= z2. Тогда

EXE:7.6

Óïð. 2.1.15. Пусть

симметрический оператор,

ker(A − z1I) ker(A − z2I)

(i) Оператор A называется полуограниченным снизу, если

D:7.9

Определение 2.1.16.

при некотором m R справедлива оценка

(Af, f) ≥ mkfk2,

f dom (A).

(1.5)

E:7.5

(ii) Наибольшую возможную константу m = mA â (1.5) называют точной нижней гранью оператора A. Другими словами,

m		inf	\{	}	Af, f / f		2.
	A = f	dom (A)			) k	k
			0	(

(iii)Åñëè mA ≥ 0, òî A называют неотрицательным. Если mA > 0, то оператор A называют положительно определенным.

(iv)Оператор A называют полуограниченным сверху, если −A полуограничен снизу.

EXE:7.7 Óïð. 2.1.17. Åñëè A полуограничен снизу/сверху и dom A = H, òî A симметрический.

C:7.10 Следствие 2.1.18. Åñëè A полуограничен снизу, то (−∞, mA) ρˆ(A) и, значит, n+(A) = n−(A).

Доказательство. Пусть z < mA. Тогда

k(A − z)fk · kfk ≥ ((A − zf, f)

= ((A − mA)f, f) + (mA − z)(f, f) ≥ (mA − z)kfk2.

Это неравенство означает, что z ρb(A). 2

n±(A) = 0.

Теорема 2.1.25.

D:7.11

EXE:7.8

EXE:7.9

EXE:7.10

T:7.12

EXE:7.11

T:7.13

28 ГЛАВА 2. ТЕОРИЯ РАСШИРЕНИЙ СИММЕТРИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ

Определение 2.1.19. Говорят, что интервал (α, β) является лакуной для симметрического оператора A, если справедливо неравенство:

k(A − 2−1(α + β))fk ≥ 2−1(β − α)kfk,

f dom (A).

(1.6)

E:7.6

Óïð. 2.1.20. Доказать, что для

симметрического оператора A

лакуной (α, β)

справедливо включение (α, β) ρˆ(A) и, следовательно, n+(A) = n−(A).

Óïð. 2.1.21. Показать, что при α ↓ −∞ неравенство

E:7.6

E:7.5

(1.6) переходит в

(1.5), ñ m = β,

òî åñòü (Af, f) ≥ β(f, f).

E:7.5

Óïð. 2.1.22. Пусть A полуограничен снизу, т.е. выполнено (

1.5), тогда для каждого

α < mA интервал (α, mA) является лакуной оператора A.

Теорема 2.1.23. Åñëè A = A , òî ρ(A) = ρ(A) è σ(A) = σ(A)

ρ(A),bòî ker(A

z)b=

Доказательство. Åñëè z

−

0 и в силу условия A = A

получим

{ }

ker(A

−

) = dim

zI) = dim ker(A

zI) = 0.

Таким образом, ran (A − z) = H, z ρ(A) и, следовательно,

ρ(A) = ρ(A).

Равенство σ(A) = σ(A) следует

D:6.3

теперь из Определения

1.7.1.

Óïð. 2.1.24b. Åñëè A = A C(H), òî

(a) Rz(A) = Rz(A);

(b) k(A − z)−1k ≤ 1/| Im z|;

Åñëè C± ρ(A) и выполняется (b), то A = A .

Пусть A замкнутый симметрический оператор в H. Тогда A = A тогда и только тогда, когда

						T:7.12

Доказательство. Необходимость			доказана	â	Теореме	2.1.23. Докажем
					E:7.2
достаточность. Пусть n		(A) =	0. Â ñèëó
					(1.2) достаточно показать,		÷òî
	±						T:7.12
dom (A )dom (A). Пусть g dom (A ) è h = (A − i)g. Тогда, по Теореме							2.1.23

ran (A ± iI) = H, следовательно, найдется g0 dom (A) такой, что h = (A − i)g0. Íî тогда

prop:7.5

(A − i)(g − g0) = 0

и в силу Предложения 2.1.10 получим g − g0 Ni. Òàê êàê n+(A) = 0, òî g = g0 dom (A). Таким образом, dom (A ) dom (A), что и требовалось показать. 2

C:7.14 Следствие 2.1.26. Если хотя бы одно из чисел n+(A) èëè n−(A) = 0, òî A максимальный симметрический оператор.

2.2. ИЗОМЕТРИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРЫ

Следствие 2.1.27. Åñëè A

A è

ρ(A) =

, òî A

максимальный

C:7.15

симметрический оператор. Если же ρ(A)

, òî A = A

∩ R 6

T:7.16

Теорема 2.1.28. Пусть A è

C симметрические

операторы

H, причем A

замкнут, а C сильно подчинен оператору A. Тогда симметрический оператор

B = A + C замкнут на dom (A) è n±(B) = n±(A). В частности, B = B åñëè

A = A .

Доказательство. Замкнутость оператора B доказана в Теореме

T:5.1

??. Докажем

E:7.3

равенство индексов дефекта. Так как C сильно подчинен оператору A, òî â ñèëó

(1.3)

kCfk ≤ ak(A ± ik)fk,

f dom (A), a < 1,

(1.7)

E:7.7

T:5.5

ãäå k = b/a. Применяя Теорему

1.6.5 к операторам A ± ikI è C, получим

dA(±ik) = dB(±ik).

Следовательно, n±(A) = n±(B). 2

2.2Изометрические операторы

D:14.1

Определение 2.2.1. Пусть

H1 è

H2 подпространства гильбертова

пространства H. Оператор V , для которого dom V = H1 è ran V = H2, называется

изометрическим, если

kV fkH2 = kfkH1 , f H1.

Åñëè H1 = H2 = H, то оператор V называют унитарным.

Óïð. 2.2.2. Доказать, что если V изометрия из H1 íà H2, òî

EX:14.2

a) dim H1 = dim H2;

b) kV k = 1.

EX:14.1

Óïð. 2.2.3. Оператор V будет изометрическим точно тогда, когда

(V f1, V f2)H2

= (f1, f2)H1

äëÿ âñåõ f1 H1, f2 H2.

EX:14.3

Óïð. 2.2.4. Доказать, что оператор V обратим и dom V −1 = H2, ran V −1 = H1.

Óïð. 2.2.5. Пусть Di = {z C : |z| < 1} è De = {z C : |z| > 1}. Доказать, что Di è

EX:14.4

De ρb(V ).

спектра σb(V )

изометрии

содержится в

окружности,

L:14.2

Лемма 2.2.6.

ßäðî

σ(V ) T.

Число dV (z) = def ran (V −zI) называется дефектным числом

D:14.3

Определение 2.2.7.

оператора V

в точке z. Положим

ni(V ) := dV (z), z Di;

ne(V ) := dV (z), z De.

(2.1)

E:14.1

30 ГЛАВА 2. ТЕОРИЯ РАСШИРЕНИЙ СИММЕТРИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ

D:14.1

Определение 6.1.1 корректно, так как дефектные числа постоянны внутри

T:6.4

связной компоненты поля регулярности (Теорема 1.7.9). A:14.4 Утверждение 2.2.8. Пусть V изометрия в H, тогда

ni(V ) = def ran V, ne(V ) = def dom V.		(2.2)	E:14.2
	E:14.2
	E:14.2
Доказательство. (i) Первое равенство в (	6.1.5) очевидно, так как
Доказательство. (i) Первое равенство в (	6.1.5) очевидно, так как
def ran V = dV (0) = ni.
ii) Докажем второе равенство. Пусть z De. Тогда

ran (V − z) = (V − z)DV = (z−1V = (V −1 − z−1I)dom V

− I)dom V = (z−1I − V −1)V dom V −1 = ran (V −1 − z−1I)

Поэтому

ne = def ran (V − z) = def ran (V −1 − z−1I) = def ran V −1 = def dom V.

T:12.4

Для изометрий справедлив следующий аналог Теоремы ??

A:14.5 Утверждение 2.2.9. Пусть V изометрия в H, H1 Lat V è V1 := V H1 . Åñëè ran V1 = H1, òî H1 приводит V , òî åñòü H1 Lat V .

Доказательство предоставляется читателю.

2.3Преобразование Кэли

Пусть A симметрический оператор в H, z = x + iy C+. Его преобразованием Кэли называют оператор

	E:14.3	V = Cz(A) = (A − zI)(A −				zI)−1	(3.1)	E:14.3


Иногда равенство (	1.3) записывают в параметрической форме:
Иногда равенство (	1.3) записывают в параметрической форме:
		((A	− z)h = V f				(3.2)	E:14.4
		(A		z	)h = f
			−
			−

A:14.6 Утверждение 2.3.1. Åñëè A симметрический оператор в H, то его преобразование

E:14.3

Êýëè V вида (1.3) изометрический оператор, для которого линеал ran (V − I) плотен в H. Ïðè ýòîì

dom V = M		:= ran (A −		(3.3)	E:14.5
			zI) è ran V = Mz := ran (A − zI).
	z

<<< < Предыдущая 1 23 / 163 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.04.20151.78 Mб24методичка вышка.pdf
#
16.03.20168.21 Mб956Методичка грам последн 2013.doc
#
01.05.2025108.08 Кб0Методичка ГЭК маг II.docx
#
01.05.2025261.63 Кб0Методичка ГЭК магістри I.doc
#
01.04.2025920.58 Кб0методичка Деньги и кредит.doc
#
13.04.2015973.11 Кб36Методичка ДЕРКАЧА.pdf
#
16.03.201678.87 Кб24методичка до курсових робіт.docx
#
14.11.2019183 Кб2Методичка Екологічне 2011-3.docx
#
13.04.2015533.5 Кб31Методичка Екологічне право 2013.doc
#
29.04.2019863.23 Кб6Методичка з Цивільного права (Особлива частина)....doc
#
01.05.2025566.78 Кб0Методичка земельное.doc