Методичка ДЕРКАЧА

1.4. СОПРЯЖЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ

11

D:3.1

Определение 1.4.1. Пусть T линейный оператор в H, dom (T ) = H. Элемент

g H принадлежит области определения dom (T ) сопряженного с T оператора T ,

если существует h H, такой что

(T f, g) = (f, h)

äëÿ âñåõ f dom (T ).

(4.1)

E:3.1

В этом случае полагают T g = h.

E:3.1

Таким образом

(4.1) принимает вид

(T f, g) = (f, T g),

f dom (T ),

g dom (T ).

(4.2)

E:3.3

E:3.1

Åñëè T B(H), то равенство

(4.1) выполнено для всех f, g

H. Åñëè dom (T ) = H, òî

E:3.1

не вводится для неплотно

элемент h â

(4.1) не определяется однозначно. Поэтому T

заданных операторов. В этом случае T является линейным отношением.

Сопряженный оператор можно исследовать геометрически и аналитически. В

рамках геометрического подхода мы будем систематически использовать операторы

U è W :

U, W : H H → H H,

W {f, g} = {−g, f}, U{f, g} = {g, f}.

(4.3)

eq:5.2

P:3.1

Предложение 1.4.2. Пусть T линейный оператор в H, dom (T ) = H. Тогда

[W G(T )] = G(T ).

(4.4)

eq:5.3

L:1.3

[W G(T )]

график

некоторого оператора.

Доказательство. По Лемме

1.2.9

Запишем условие {g, h} W G(T ) â âèäå

{g, h} {−T f, f}

f dom (T ),

ò. å.

−(T f, g) + (f, h) = 0

f dom (T ).

E:3.1

Это равенство эквивалентно (

4.1). 2

Всюду в дальнейшем считаем, что T плотно определен.

Предложение 1.4.3. Оператор T линеен и замкнут.

P:3.2

eq:5.3

) замкнутое подпространство. 2

Доказательство. Â ñèëó

(4.4) G(T

Предложение 1.4.4. Åñëè T замыкаем, то

= T .

P:3.3

T

Предложение 1.4.5. Åñëè S

B(H), òî (T + S) = T + S .

P:3.4

(T )

è ker T ортогональны и

P:3.5

Предложение 1.4.6. Подпространства

ran

справедливо равенство:

H = ker T

(T ).

(4.5)

E:3.5

ran

14

ГЛАВА 1. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Доказательство. Òàê êàê

dom (T ) = H, то существует T . По Теореме

1T:3.4..118

(T ) = H, òàê êàê T C(H). Покажем, что T B(H). Для этого рассмотрим

dom

семейство линейных функционалов

lg(f) = (T f, g) = (f, T g), g dom (T ), kgk 6 1.

(4.17)

E:3.16

На каждом фиксированном векторе f H = dom (T ) семейство {lg} ограничено:

lg(f) = |(T f, g)| 6 kT fkkgk 6 kT fk

g dom (T ), kgk 6 1.

В силу принципа равномерной ограниченности существует C > 0:

klgk 6 C,

g dom (T ),

kgk 6 1.

(4.18)

E:3.17

Íî

klgk = kT gk. Это означает,

÷òî

kT k

6 C

T

P:3.2

P:2.1 . Òàê êàê

замкнут (см.

предложение

то согласно

предложению

dom (T ) = H. Следовательно,

1.4.3),

1.3.13

T:3.8

T B(H). Но в силу теоремы

1.4.11 T = T B(H). 2

C:3.11

Следствие 1.4.15. Åñëè T замкнут и H1 = dom (T ) = dom (T ), òî T B(H1, H).

Óïð. 1.4.16. Пусть T C(H) è P ортопроектор в H H íà G(T ). Тогда

EXE:3.4

P {f, 0} = {(I + T T )−1f, T (I + T T )−1f}.

Óïð. 1.4.17. Привести пример операторов A è B таких, что dom (AB) = {0}.

EXE:3.5

C:3.12

Следствие 1.4.18. T T самосопряжен и

dom (T T )

= H.

Óïð. 1.4.19. T =

d

, dom. (T ) = {f AC[0; 1] : f(0) = f(1) = 0} L2[0; 1]. Найти

EXE:3.6

dx

a) T ;

b) T T ;

c) T T

Óïð. 1.4.20. Пусть A

= A ,

n 1,

A f

→

A

f,

x

dom (A

) è A замыкание

EXE:3.7

∞

A∞, A =

∞. Åñëè A = A , òî

A

n

n

справедливы соотношения∞

>

n

s − nlim (I + An2 )−1 = (I + A2)−1,

s − nlim A(I + An2 )−1 = A(I + A2)−1.

→∞

→∞

EXE:3.8

Óïð. 1.4.21. Верно ли, что A∞ = A∞?

1.5

Подчиненность операторов

Определение 1.5.1. Пусть T, S линейные операторы в H, причем

D:4.1

dom T dom S

(5.1)

E:4.1

и при некоторых a, b > 0 справедливо неравенство:

kSfk2 ≤ a2kT fk2 + b2kfk2,

f dom T

(5.2)

E:4.2

1.5. ПОДЧИНЕННОСТЬ ОПЕРАТОРОВ

17

Доказательство. Заметим, что S замыкаем, т. к. dom S плотно в H, dom S ,

dom T . Операторы T +S è T +S , определенные соответственно на dom T è dom T

T:4.4

dom T , òî g dom S , (T f + Sf, g) =

по теореме

1.5.14 замыкаемы. Далее, если g

(f, T g) + (f, S g) = (f, T g + S g)

f

dom T . Это равенство означает, что

T + S (T + S) .