Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донецкий национальный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методичка ДЕРКАЧА

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.04.2015

Размер:

973.11 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 1615 16 > Следующая >>>

T:14.1

E:14.1

6.1.

141

Доказательство. Òàê êàê

F (·)-мероморфна

интервале (α, β), òî åå íóëè è

полюса изолированы и могут иметь своими предельными точками только концы

интервала (α, β). Пусть ak è ak+1-два соседних нуля функции F (·). Если в интервале

(ak, ak+1) нет полюсов функции F (·), òî F (·) голоморфна, а значит, монотонная в

(ak, ak+1), это противоречит равенству F (λk) = F (λk+1). Аналогично, если (bk, bk+1)

соседние полюса функции F (·), то они суть соседние полюса функции −F −1(·) R.

Тогда по доказанному, между ними лежит полюс функции

−F −1(·), òî åñòü

нуль функции F (·). 2

C, A =

a , ãäå B

Теорема 6.1.3 (Коши-Пуанкаре). Пусть A = A

C(n−1)×(n−1). Пусть собственные значения A è B упорядоченны по возрастанию:

λ1(A) ≤ ... ≤ λn(A) è

λ1(B) ≤ ... ≤ λn−1(B)

(1.2)

E:14.2

Тогда они перемежаются(нестрого), то есть справедливы неравенства:

λ1(A) ≤ λ1(B) ≤ λ2(A) ≤ ... ≤ λn−1(B) ≤ λn(A)

(1.3)

E:14.3

Доказательство. Пусть {ej}1n стандартный ортонормированный

базис в Cn.

Тогда

det(B

− λ)

−

λ)−1e

= ((A

, e

)

(1.4)

E:14.4

det(A

−

λ)

L:14.1

Поэтому в силу леммы

6.1.2 нули числителя и знаменателя строго перемежаются

после сокращения. 2

Предложение 6.1.4. Пусть A замкнутый симметричный оператор в H,

n±(A) = 1

S0 = S0 ,

S1 = S1 ExtA S0 6= S1.

(1.5)

E:14.5

Åñëè (α, β) ρ(A), то спектры операторов S0

è S1 â (α, β) дискретные,простые и

строго

перемежаются.

Доказательство. Òàê êàê n±(A) = 1, òî

dim (dom (S1)/dom (A)) = 1.

(1.6)

E:14.5

Поэтому, S0 è S1 трансверсальны, так как S0 6= S1. Согласно следствию

C:1.99

4.8.11

существует граничная тройка Π = {H, 0, 1} такая, что

= Aj (= A ker j),

j {0, 1}.

(1.7)

E:14.6

Пусть M(·) соответствующая функция Вейля. Так как (α, β) ρ(A), òî M(·)

мероморфна в (α, β). Òàê êàê M(·) R, то нули и полюса функции M(·) â

P:4.10

(α, β) перемежаются. Но в силу предложения 4.9.11, нули функции Вейля суть собственных значений оператора A1. Полюса же функции Вейля суть собственных значений оператора A0 2

A0(y) = −y00 = λy yk(x) = sin kx

òî åñòü

λk

		142			ГЛАВА 6. ОПЕРАТОР ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ
		Предложение 6.1.5. Пусть
	E:14.2	Предложение 6.1.5. Пусть
		S0 = S0 , S1 = S1 C(H)					rank(RS0 (λ) − RS1 (λ)) = 1
		S0 = S0 , S1 = S1 C(H)				è	rank(RS0 (λ) − RS1 (λ)) = 1	(1.8)	E:14.7
		Пусть далее σ(S0) ∩ (α, β)			состоит	èç	простых собственных значений. Тогда
		спектры σ(S0) è σ(S1) â (α, β) перемежаются, то есть если
				λk = λk(S0)			λk+1 = λk+1(S0)
				λk = λk(S0)		è	λk+1 = λk+1(S0)	(1.9)	E:14.8
		два соседних собственных значения, то в интервале (λk, λk+1) не более одного, а в
		отрезке [λk, λk+1] не менее одного собственного значения оператора A1.
		Пример 6.1.6. A = −	d2	â	L2[0, π].
EXE:18.1			d2
EXE:18.1			dx2
			dx2

dom A = W02,2[0; π],

d2 A1 = −dx2 ;

yk(x) = cos kx

A = Amin, A0 = − d2 , è dom (A0) = W 2,2[0, π] ∩ W 1,2[0, π]. dx2 0

y(0) = y(π) = 0,

= k2, k N.

dom (A1) = {f W 2,2[0, π] : f0(0) = f0(π) = 0}, λk = k2, k N {0} = N0.

Óïð. 6.1.7. Доказать, что:

rank[(A2 + 1)−1 − (A0 + 1)−1] = 1, ãäå

A2 = − d22 , dom (A) = {f W 2,2[0, π]; f(0) = f(π), f0(0) = f0(π)}. dx

P:18.100 Предложение 6.1.8. Пусть A = A Cn×n, B = A+C, ãäå C = C > 0, rank C = 1.

Тогда собственные значения матриц A è B перемежаются не строго:

λ1(A) 6 λ1(B) 6 λ2(A) 6 λ2(B) 6 . . . 6 λn(A) 6 λn(B).

(1.10)

Доказательство. Òàê êàê rank C = 1 È C = C > 0, òî C допускает представление Cf = c(f, e)e, ãäå e Cn, kek = 1, c = c, f Cn. Тогда

det (B − λ)(A −

−1

= det1 (A + C − λ)(A − λ)

−1

(1.11)

λ)

= det(In + C(A − λ)

Пусть {ej}1∞

è (A − λ)− Cf = c(f, e)(A − λ)− e ортонормированная система

â Cn, в которой e1

= e. Òàê êàê (C(A − λ)−1ej, ek) = ((A − λ)−1ej, Cek) = δ1kc((A −

λ)−1ej, e1), то матрица оператора In + C(A − λ)−1 имеет в базисе {ej}1n

âèä:

1 +

c A λ

, e

. . . c A

λ)

, e

(( −0 )−

((

− 0−

.0. .

.. .. ..

.1. .

E:18.100a

E:18.101a

6.1.

143

E:18.101a

Поэтому равенство (

1.11) принимает вид:

det(B − λ)

= det((B

−

λ)(A

−

λ)−1) = c((A

−

λ)−1e , e

(1.12)

E:18.102a

det(A

−

λ)

E:18.102a

ÒàêL:14.êàê1 c > 0, то функция в

(1.12) является R функцией. Следовательно, по лемме

6.1.2

нули числителя после сокращения с нулями знаменателя строго перемежаются.

Осталось заметить, что нули числителя собственные значения матрицы B, íóëè

знаменателя собственные значения матрицы A. 2

â H,

P:18.101

Предложение 6.1.9. Пусть A

замкнутый

симметрический

оператор

n±(A) = n < ∞, Aj = Aj ExtA, j {1, 2}. Если спектр оператора A1 в интервале

(α, β) дискретен, то спектр оператора A2

â (α, β) также дискретен и

|dim EA2 (α, β) − dim EA1 (α, β)| 6 n.

(1.13)

E:18.103a

Доказательство. Достаточно

доказать

неравенство dim EA2 (α, β)

dim EA1 (α, β) + n.

Допустим противное:

dim EA2 (α, β) > dim EA1 (α, β) + n,

тогда существует подпространство H1 â ran (EA2 (α, β)) такое, что

H1 ran (EA2 (α, β)),

H1 ran (EA1 (α, β))

dim H1 > n.

(1.14)

E:18.104a

ÒàêE:18êàê.104an±(A) = n, òî dim (dom (A2)/dom (A)) = n. Поэтому в силу соотношений

(1.14) найдется вектор f H1 такой, что

f dom (A),

f ran (EA1 (α, β))

f ran (EA2 (α, β)).

(1.15)

E:18.105a

Но тогда, полагая c =

α+β

r = β−α

получим

+∞

k(A − c)fk2 = k(A1 − c)fk2 = Z (t−c)2d(EA1 (t)f, f) =

(t−c)2d(E1(t)f, f) > r2kfk2.

−∞

|t−c|> r

Но эти неравенства противоречат друг другу. 2

P:18.102 Предложение 6.1.10. Пусть p1, p2 R[z], deg p1 = m, deg p2 = m−1. Следующие

свойства эквивалентны:

(i)нули полинома p1 + ip2 лежат в C−;

(ii)старшие коэффициенты p1 è p2 имеют одинаковые знаки, а нули p1 è p2 вещественные, простые и непересекающиеся;

144

ГЛАВА 6. ОПЕРАТОР ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ

(iii) все корни {xj}1∞

полинома p1 вещественные, простые и справедливо

соотношение

p2(z)

cj > 0.

(1.16)

E:18.106a

−

p1(z)

Доказательство. (i) = (ii) Пусть p1(z) + ip2(z) 6= 0 ïðè z

C+ R. Тогда

функция

p1(z) − ip2(z)

ϕ(z) =

+ R

(1.17)

E:18.107a

p1(z) + ip2(z)

определена корректно. Так как многочлены p1 è p2 вещественны, то |ϕ(t)| = 1, t R.

Кроме того, ϕ(z) −→ 1 ïðè z −→ ∞, z C+.

E:18.107a

Следовательно, по принципу максимума |ϕ(z)| 6 1 ïðè z C+ R. Èç

(1.17)

p2(z)

ϕ(z) − 1

C+

p1(z)

i ϕ(z) + 1

p2(z)

ϕ(z) − 1

(ϕ(z) − 1)(

(z) + 1)

= Im

p1(z)

−

i ϕ(z) + 1

|ϕ(z) + 1|2

|ϕ(z)|2 − 1 + 2iImϕ(z)

1 − |ϕ(z)|2

> 0, z

C+

−

|ϕ(z) + 1|2

|1 + ϕ(z)|2

Таким образом, p2

p1 R. Следовательно, старшие коэффициенты полиномов p1 è p2

одного знака по лемме ???? нули p1 è p2 простые и перемежающиеся. Действительно, если бы p1 è p2 имели бы общий ноль t0 R, ò. å. p1(t0) = p2(t0) = 0, òî p1(t0)+ip2(t0) = 0, что противоречит условию.

(ii) = (iii) Разлагая	p2
	p1 на простейшие дроби, приходим к соотношению
			p2(z)		m		cj
					=				.

			p1(z)				xj	z
				=1				−
					Xj
Допустим c1 < 0, òàê êàê	1	p2		R, òî Im			c1	< 0 ïðè z C+, áåðÿ z достаточно
	x1−z					x1−z
близким к xk получим, что Imp1				< 0. Противоречие. 2

6.2Резольвента самосопряженного расширения

6.2.1Регулярный случай

Распадающиеся граничные условия

Пусть q L∞(a, b). Рассмотрим самосопряженное расширение характерезующее граничными условиями

y(a) cos α + y0(a) sin α = 0,

Le оператора Lmin,

(2.1) E:13.29

6.2. РЕЗОЛЬВЕНТА САМОСОПРЯЖЕННОГО РАСШИРЕНИЯ	145
y(b) cos β + y0(b) sin β = 0.
y(b) cos β + y0(b) sin β = 0.	(2.2)	E.13.30
Пусть λ C. Обозначим через u1(x, λ), u2(x, λ) решения уравнения

Ly − λy = −y00 + qy − λy = 0,

(2.3)

удовлетворяющие начальным условиям

u1(a, λ) = sin α,

u2(b, λ) = sin β,

(2.4)

u10 (a, λ) = − cos α,

u20 (b, λ) = − cos β.

Åñëè λ

σ (L), то Вронскиан решений u , u2

6 p

ω(λ) ≡

u1(x, λ)

1u2(x, λ)

u10 (x, λ) u20 (x, λ)

E.13.31E.13.32

отличен от нуля. Определим функцию

Грина G(x, t, λ) задачи

(2.3)- (2.4) равенством

G(x, t, λ) = (−

(x, λ)u1

(t, λ)

x > t.

(2.5)

(x, λ)u2

(t, λ)

x ≤ t,

ω(λ)

−

ω(λ)

расширения L оператора

Abh.11

Предложение 6.2.1. Резольвента

самосопряженного

оператором с ядром G(x, t, λ)

E.13.31

Lmin, характеризующегося граничными условиями

(2.3) является интегральным

(Rλf)(x) = Zab G(x, t, λ)f(t)dt.

(2.6)

Ïðè ýòîì ÿäðî G(x, t, λ) непрерывно на [a, b] × [a, b]

∂

G+(x, t, λ) −

G−(x, t, λ)|t=x = −1.

(2.7)

∂t

Доказательство.

Непосредственной проверкой убеждаемся в справедливости

E.13.34

E.13.33

равенства

(2.6). Далее из

(2.5) получаем

∂

(u1(x, λ)u20 (t, λ) − u2(x, λ)u10 (t, λ)) = −1.

G+(x, t, λ) −

G−(x, t, λ)|t=x = −

∂t

ω(λ)

Общие граничные условия

граничными условиями

оператора Lmin может быть задано

Произвольное самосопряженное расширение

E.13.31

E.13.32

E.13.33

E.13.34

E.13.35

C 0y + D 1y = 0,

146

ГЛАВА 6. ОПЕРАТОР ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ

где операторы следов 0, 1 имеют вид (0.17)149, а

пара матриц

C, D

C2×2

удовлетворяют условиям

CD = DC ,

CC + DD > 0.

Тогда в силу ТеоремыT:35.1 и формулы

резольвента Rλ расширения L имеет вид

λ = (

−

)

−

( ))

(

)

(

) ∩

e 0

λ −1 + γ(λ)(C

DM λ

−1Dγ

ρ(L

(2.8)

E.13.40

E.13.29E.13.30

Lmin,

ãäå

самосопряженное расширение оператора

определенное граничными

условиями

(

??)-

(2.2) ïðè α = β = 0. Тогда

u1(a, λ) = 0,

u2(b, λ) = 0,

u10 (a, λ) = −1,

u20 (b, λ) = 1,

è äëÿ

u(x, λ) = u1(x, λ)

u2(x, λ) c,

получим

c C2

u (a, λ)

u0 (a, λ)

u1(b, λ)

−u10 (b, λ)

0u(x, λ) =

c, 1u(x, λ) =

−

Таким образом, учитывая равенства −u1(b, λ) = u2(a, λ) = ω(λ) получим

γ(λ) = ω(λ)−1

J =

−1

(2.9)

E.13.41

γ(λ) f = ω(λ)J

dt !,

(2.10)

E.13.42

ab f(t)u2

(t, λ)

b f(t)u1

(t, λ)dt

u0 (a, λ)

ω(λ)

−u10 (b, λ)

E.13.40E.13.42

M(λ) =

−

(2.11)

E.13.43

(2.12)

E.13.44

Èç

(2.8)-

(2.10) следует,G(x, t, λ) = G0(x, t, λ) + G1(x, t, λ), Le имеет вид

что функция Грина расширения

ãäå G0(x, t, λ) функция Грина расширения

L0 определяемое равенством

E.13.33

(

2.5), à

G1(x, t, λ) - двумерное вырожденное ядро

(t, λ) .

G1(x, t, λ) = ω(λ)2 u1(x, λ) u2(x, λ) J(C − DM(λ))−1DJ u2

(t, λ)

6.2. РЕЗОЛЬВЕНТА САМОСОПРЯЖЕННОГО РАСШИРЕНИЯ

147

6.2.2Случай предельной точки Вейля

Рассмотрим дифференциальный оператор Lmin, порожденный дифференциальной

операцией L на полуоси (0, ∞), предполагая, что 0-регулярная точка для L и имеет

случай предельной точки в ∞. Тогда n± = 1.

E.13.31

ОбозначимAbh.13через.6A C(x, λ), S(x, λ) решения уравнения

(2.3), удовлетворяющие

условиям

(2.17) и пусть m(λ) - это коэффициент Вейля, определяемый условием

ψ(x, λ) := C(x, λ) + m(λ)S(x, λ) L2(0, ∞).

E.13.

E:13.29

Тогда функция Грина задачи

(

??)-

(2.1) принимает вид

G(x, t, λ) =

(−

(t, λ)ψ(x, λ)

x > t,

(2.13)

E.13.37

(x, λ)ψ(t, λ)

≤ t,

−

ω(λ)

ãäå ω(λ) - Вронскиан решений u1 è ψ уравнения

E.13.31

(2.3).

L оператора

Abh.11

Предложение 6.2.2. Резольвента

самосопряженного расширения

оператором с ядром G(x, t, λ) âèäà

E:13.29

(2.13), удовлетворяющим

Lmin, характеризующегося граничным

условием

(2.1), является интегральным

E.13.37

условиям

∞ |K(x, t, λ)|2dt < ∞

∞ |K(x, t, λ)|2dx < ∞.

(2.14)

E.13.38

Доказательство. Для любой финитной функции f имеет место

−ω(λ)u1(t, λ)f(t)dt · ψ(x, λ)

y(x) = (Rλf)(x) = Z0

−ω(λ)ψ(t, λ)f(t)dt · u1(x, λ) L2(0, ∞),

так как при больших значениях x последний интеграл обращается в 0.

Непосредственной

E.13. проверкой убеждаемся,E:13.что29

функция y(x) удовлетворяет

уравнению

(

??) è

граничному условию

(2.1). Это доказывает первое утверждение.

E.13.35

Второе утверждение следует из

(

2.7), так как, например,

∞

u (x, λ)

∞

|K(x, t, λ)|2dt =

1 |

|ψ(t, λ)|2dt < ∞.

|ω(λ)|2

Рассмотрим линейный оператор A[0,b], порожденный дифференциальной операцией

L â L2(0, b) и граничными условиями

y0(b) + hy(b) = 0.

(2.15)

Abh.13.5

148	ГЛАВА 6. ОПЕРАТОР ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ
Тогда граничную тройку для A[0,b] можно выбрать в виде
	0y = y(0), 1y = y0(0).
	0y = y(0), 1y = y0(0).	(2.16)	Abh.13.6

Åñëè c(x, λ), s(x, λ) это решения уравнения

L(y) = λy

удовлетворяющие условиям

c(0, λ) = 1, s(0, λ) = 0, c0(0, λ) = 0, s0(0, λ) = 1,

то дефектное подпространство Nλ(Ab,h) оператораAb,h пропорциональных

ψ(x, λ) = c(x, λ) + ms(x, λ),

Abh.13.5

ãäå m подбирается исходя из условия (2.15), т.е.

(2.17)
(2.17)	Abh.13.6A
состоит из функций

(2.18)	Abh.13.7

c0(b, λ) + ls0(b, λ) + h(c(b, λ) + ls(b, λ)) = 0,

mbh(λ) = l = −

c0(b, λ) + hc(b, λ)

(2.19)

s0(b, λ) + hs(b, λ)

Ab,h,

Abh.1

Предложение 6.2.3.

Функция Вейля

оператора

соответствующая

Abh.13.6

граничной тройке

совпадает с

m-функцией mb,h(λ). При изменении h

(2.16),

по прямой R {∞} множество значений mbh(λ) заполняет окружность Cb(λ)

(λ C+), лежащую в C+ с центром в точке

Mb = −

[c, s]b

(2.20)

[s, s]b

и радиусом

rb = (2 Im λ Z

|s(x, λ)|2dx)−1.

(2.21)

Уравнение окружности Cb(λ) имеет вид

Im m

|c(x) + mϕ(x)|2dx =

(2.22)

Im λ

Abh.13.8

Abh.13.9

Abh.13.10

Abh.13.11

при этом точки круга Kb(λ) ограниченного окружностью Cb(λ) характеризуются неравенством

Z	b		(2.23) Abh.13.12
Z	\|c(x, λ) + mϕ(x, λ)\|2dx ≤ Im λ .		(2.23) Abh.13.12
		Im m

6.2. РЕЗОЛЬВЕНТА САМОСОПРЯЖЕННОГО РАСШИРЕНИЯ

149

Abh.13.6

Доказательство. Действительно, применяя граничные операторы 0, 1 èç (2.16) к дефектной функции ψ(x, λ), получим

	0ψ = 1, 1ψ = mbh(λ)
òî åñòü mbh(λ)	совпадает с функцией Вейля оператора	Abh, соответствующей
òî åñòü mbh(λ)	Abh.13.6	Abh, соответствующей

граничной тройке (2.16). При этом γ- поле имеет вид

γbh = c(x, λ) + mbh(λ)s(x, λ).

Eq:4.8M

Из тождества (9.12) получим

Im mbh(λ) = γbh(λ) γbh(λ)

Im λ

=|c(x, λ) + mbh(λ)s(x, λ)|2dx.

Таким образом, точка m = mbh(λ) принадлежит окружности Cb(λ) ïðè âñåõ h

R {∞}.

Так как отображение h → l переводит точку h = −

s0(b,λ)

l = ∞, то центру

s(b,λ)

s0(b,λ)

круга Cb(λ) соответствует точка h = −

. Поэтому центр круга Cb(λ) расположен

s(b,λ)

в точке

−

c0(b, λ)s(b, λ) − s0(b, λ)c(b, λ)

−

[c, s]b

s0(b, λ)s(b, λ) − s0(b, λ)s(b, λ)

[s, s]

И наконец, найдем радиус круга

r =

c0(b, λ)

[c, s]b

[c,

Wb(c, s)

−

s0(b, λ)

[s, s]b

[

Wb(s,

)

s, s]b

s(x, λ)

2 Im λ

0 |

Последнее равенство следует из соотношения

Wb(s, s) = 1

и из формулы Лагранжа

(λ −

) Z0

|s(x, λ)|2dx = [s, s]b − [s, s]0 = [s, s]b.

(0, ∞) круги Cb(λ)

Abh.2

Предложение 6.2.4. При возрастании

вложены друг в

друга. При этом:

1)n±(A) = 1 Cb(λ) сходятся к точке C∞(λ) ïðè b → ∞;

2)n±(A) = 2 Cb(λ) сходятся к предельной окружности C∞(λ) ïðè λ → ∞.

150	ГЛАВА 6. ОПЕРАТОР ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 1615 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.2025108.08 Кб0Методичка ГЭК маг II.docx
#
01.05.2025261.63 Кб0Методичка ГЭК магістри I.doc
#
01.07.202581.75 Кб0Методичка ГЭК спец. каф.docx
#
01.07.2025154.57 Кб0Методичка ГЭК спеціалі.docx
#
01.04.2025920.58 Кб0методичка Деньги и кредит.doc
#
13.04.2015973.11 Кб36Методичка ДЕРКАЧА.pdf
#
16.03.201678.87 Кб24методичка до курсових робіт.docx
#
14.11.2019183 Кб2Методичка Екологічне 2011-3.docx
#
13.04.2015533.5 Кб31Методичка Екологічне право 2013.doc
#
29.04.2019863.23 Кб6Методичка з Цивільного права (Особлива частина)....doc
#
13.04.2015209.3 Кб60Методичка ИГПЗС.docx