Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донецкий национальный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методичка ДЕРКАЧА

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.04.2015

Размер:

973.11 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1614 15 16 > Следующая >>>

Глава 6

Оператор Штурма-Лиувилля

Пусть q = q L∞loc(a, b), (b ≤ ∞). Рассмотрим дифференциальное выражение Штурма-Лиувилля

d2
L = −dx2 + q è q = q Lloc∞ (R+)	(0.1)

и симметрический оператор, определяемый на функциях y C0∞(a, b) равенством

(L0y)(x) = −y00(x) + q(x)y(x).

Здесь C0∞(a, b)	пространство C∞-гладких функций с финитными носителями в
(a, b). Всюду в	дальнейшем Lloc1 (a, b) (Lloc∞ (a, b)) обозначает множество функций,
которые принадлежат L1(α, β) (L∞(α, β)) äëÿ âñåõ α, β		(a, b). Аналогично, L1 [a, b)
		loc

(L∞loc[a, b)) обозначает множество функций, которые принадлежат L1(a, β) (L∞(a, β))

äëÿ âñåõ β (a, b).	2	(a, b)	определим минимальный Lmin, как замыкание
В пространстве	L
оператора L0, и максимальный оператор Lmax, полагая
Lmax = L dom (Lmax)			dom (Lmax) = {f L2(R+) : Lf L2(R+)}	(0.2)

è Lf понимается в смысле теории распределений.

EXE:13.1002

Предложение 6.0.19. Lmin = Lmax.

Доказательство. Вложение

max

очевидно. Пусть h

dom L

, ò.å.

min

существует функция f L

(a, b), такая что

f(x)

dx y C0∞(a, b).

h(x)(Ly)(x)dx =

y(x)

(0.3)

Последнее означает, что Lh = f в смысле распределений, и следовательно, h

dom Lmax. 2

E:100.13

E:13.11a

E:13.11c

131

132	ГЛАВА 6. ОПЕРАТОР ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ
Функцию y(x) будем называть решением уравнения
	l(y) = f(x), x [a, b],
	l(y) = f(x), x [a, b],	(0.4)	144

в котором f

(a, b), åñëè y, y0

AC[α, β] для любого компактного подинтервала

loc

144

[α, β] (a, b), и равенство

(0.4)

справедливо почти всюду.

Naj69

lem:11.2

Лемма 6.0.20.

[10, Теорема 16.2] Пусть q, f Lloc1 (a, b), y0, y1 C, x0 (a, b). Тогда

задача Коши

l(y) = f,

y(x0) = y0,

y0(x0) = y1

(0.5)

имеет единственное решение

в указанном выше смысле. Если к тому же

q, f

Lloc[a, b), то утверждение Леммы верно и при x0 = a.

Теорема 6.0.21 (о регулярности). Пусть q

L∞ (a, b). Тогда справедливо

T:13.10

соотношение

loc

dom (Lmax) Wloc2,2(a, b).

(0.6)

Åñëè ê òîìó æå q Lloc∞ [a, b), òî dom (Lmax) Wloc2,2[a, b).

Доказательство. Òàê êàê C∞(

R+

) плотно в H0 = dom (L

min

) (по норме графика),

то равенство L h = f эквивалентно соотношению

(h, Ly) = (f, y) y C0∞(R+),

E:13.11c

то есть справедливо равенство (

0.3) äëÿ âñåõ y C0∞(R+), èëè

145

E:13.11b

∞∞

			dx, y C0∞(R+).
h(x)y00(x)dx =	[f(x) − q(x)h(x)]	y(x)	dx, y C0∞(R+).	(0.7)	E:13.12
0	0

Положим	∞
	∞
	Z
	F (x) := (x − t)[f(t) − q(t)h(t)]dt,

E:13.12

и проинтегрируем в (0.7) дважды по частям. Получим

∞

Z	y C0∞(R+).
[f(x) − F (x)]y0(x)dx = 0,

E:13.14

Из равенства (0.9) следует, что вторая обобщенная производная функции

(0.8) E:13.13

(0.9) E:13.14

[f(x) −

F (x)] равна нулю. Но все обобщенные решения ОДУ n-го порядка со старшим

коэффициентом, равным 1 являются классическими (этот же результат вытекает

E:4.11a

из леммы ??). Поэтому

	E:13.13		f(x) = F (x) + ax + b,			a, b C+.		(0.10)	E:13.14a
Â ñèëó		2,2				2	(R+). Утверждение теоремы


	(0.8) F (·) Wloc (R+)				(f − qh) Lloc
			E:13.14a	, òàê êàê

вытекает теперь из			(0.10). 2

133

lem:11.2

u dom Amax корректно

В силу Леммы

6.0.20 для функции

определены

значения u(x), u0(x). Обозначим Вронскиан функций u è

через

[u, v]x = u0((x))

(u, v dom Amax)

(0.11) 142

v0((x))

u x

v x

:= [u, v]b

и положим [u, v]a

−

[u, v]a.

lem:11.1 Лемма 6.0.22. Пусть q L1loc(a, b). Для любых u, v dom Lmax тождество Лагранжа

(Lu, v) − (u, Lv) = [u, v]βα.

142

Доказательство. Действительно, дифференцируя (0.11), получим

dxd [u, v]x = u(x)v00(x) − u00(x)v(x) = Lu(x)v(x) − u(x)Lv(x).

143

Интегрируя это равенство по (α, β), получим (0.12). 2

lem:11.4 Лемма 6.0.23. Пусть q L1loc(a, b). Тогда для всех u, v dom Lmax предел

[u, v]∞ = lim [u, v]β.

β→∞

справедливо

(0.12) 143

существует

(0.13) 1410

Доказательство. Для произвольных α, β (a, b) справедливо равенство (

143

0.12)

Zα

dx − Zα

(Lu)(x)

v(x)

u(x)(Lv)(x)dx = [u, v]β − [u, v]α.

(0.14)

eq:13.1

Òàê êàê u, v, Lu, Lv L2(a, b), то существует предел (

145

0.5). 2

Lloc1 (a, b). Область определения оператора

Lmin

cor:defLmin

Следствие 6.0.24. Пусть q

задается условиями

dom (Lmin) = {f dom Lmax : [f, u]b − [f, u]a = 0 u dom Lmax}.

(0.15)

eq:13.3

6.0.1Регулярный случай

Предположим,eq:13.3что потенциал q удовлетворяет условию q L∞(a, b). В этом случае условия (0.15) значительно упрощаются.

lem:regLmin Лемма 6.0.25. Пусть q L∞(a, b). Тогда области определения операторов Lmax, Lmin задаются равенствами

dom Lmax = W 2,2(a, b);

dom (Lmin) = {f W 2,2(a, b) : f(a) = f0(a) = f(b) = f0(b) = 0}.

cor:11.3

rem:11.1

lem:Lmin

134

ГЛАВА 6. ОПЕРАТОР ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ

Доказательство. Включение dom Lmax

W 2,2(a, b) следует из Теоремы

T:13.10

6.0.21.

Обратное включение обеспечивается условием q

L∞(a, b).

Рассмотрим

2,2

u1, u2 W

2,2

(a, b)

b è

финитные в окрестности точки

функции

функции v1, v2 W

(a, b)

финитные в окрестности точки a и удовлетворяющие

условиям

u1(a) = 1, u2(a) = 0, v1(b) = 1, v2(b) = 0,

u10 (a) = 0, u20 (a) = 1,

v10 (b) = 0,

v20 (b) = 1.

(0.16)

eq:13.2

Тогда

eq:13.3

[f, u1]b = [f, u2]b = 0, [f, v1]a = [f, v2]a = 0

и из условий

(0.15) получим

f(a) = [f, u2]a = 0, f(b) = [f, v2]b = 0,

f0(a) = [f, u1]a = 0, f0(b) = [f, v1]b = 0

Следствие 6.0.26. Совокупность

−y0(0(b)

, H = C2

0y = y(b) , 1y =

y(a)

(0.17)

149

образует граничную тройку для оператора L.

lem:regLmin

cor:11.3

Замечание 6.0.27.

Утверждения Леммы

6.0.25 и Следствия

6.0.31 остаются в силе

äëÿ q L1(a, b) (ñì.

Naj69

[10, Теорема 16.2]).

6.0.2Случай одного сингулярного конца

Приведем описание области определения минимального оператора в случае, когда (a, b) = (0, ∞) è q L∞loc[0, ∞), ò.å. q L∞(0, b) äëÿ âñåõ b > 0.

Лемма 6.0.28. Пусть q

L∞

[0,

∞

). Тогда для всех f

dom L

max

è b > 0 χ

[0,b]

W 2,2(0, b) è

loc

dom (Lmin) = {f dom Lmax : f(0) = f0(0) = 0, [f, u]∞ = 0 u dom Lmax}.

Доказательство. Включение χ[0,b]f W 2,2(0, b) следует из Теоремы

T:13.10

6.0.21.

Пусть

u , u.2

W 2,2

∞)

функцииeq:13.3 финитные вблизи

∞

и удовлетворяющие

eq:13

условиям

(0.16). Тогда из условий (

0.15) получим

f(0) = [f, u2]0 = 0, f0(0) = [f, u1]0 = 0.

eq:13.3

Â ñèëó

(0.15) это доказывает утверждение. 2

135

T:13.11 Теорема 6.0.29 (Вейля). Пусть q = q L1loc(R+). Тогда n+(L) = n−(L) è n±(L) ≥

1, т.е. уравнение

Ly = −y00 + q(x)y = λy

(0.18)

E:13.15

при каждом λ C\R имеет по крайней мере одно решение, принадлежащее L2(R+).

Доказательство. Так как оператор L коммутирует с инволюцией комплексногосопряжения, то n+(L) = n−(L) = n. Далее, по 1-й формуле Неймана получим

2n = n+(L) + n−(L) = dim (dom Lmin/dom Lmin) .

(0.19)

E:13.17

Осталось заметить, что dim (dom L

/dom L

)

≥

2, так как для функций u

, u

2,2

min

lem:Lmin

min

(0, ∞) из доказательства Леммы

6.0.28 имеем

span {u1, u2} dom Lmin \ dom Lmin.

lem:11.4

cor:11.3

Таким образом, в случае одной сингулярной точки индексы дефекта оператора Lmin либо равны 1, либо равны 2. Исследуя множества m-функций, соответствующих

различным самосопряженнымWeyl22 граничным условиям в правом конце b, Г.Вейль обнаружил в [?], что они представляют собой некоторые окружности, вложенные друг в друга при возрастании b. При этом в случае n±(Lmin) = 1 они сходятся к точке,

называемой "предельной точкой Вейля", а в случае n±(Lmin)LPLC= 2 к окружности, называемой "предельной окружностью Вейля"(см. параграф ??).

Лемма 6.0.30. Åñëè n±(Lmin) = 1, òî äëÿ âñåõ u, v dom Lmax существует предел

			[u, v]∞ = lim [u, v]β = 0				(0.20)	1410
è				β→∞
				β→∞

		dom Lmin = {f dom Lmax : f(0) = f0(0) = 0 }.
		dom Lmin = {f dom Lmax : f(0) = f0(0) = 0 }.					(0.21)	1411
Доказательство. Òàê êàê			n±(Lmin) = 1, òî			dim (dom Lmin/dom Lmin) =	2, è,
следовательно, всякая функция f dom Lmax представима в виде
			u = u0 + C1u1 + C2u2,
ãäå u0 dom Lmin, u1, u2			eq:13W.2 2,2(0, ∞) функции финитные вблизи				∞ è
ãäå u0 dom Lmin, u1, u2			eq:13W.2 2,2(0, ∞) функции финитные вблизи				∞ è
удовлетворяющие условиям (				Тогда	[u0, v]∞ = 0 äëÿ âñåõ v dom Lmax â ñèëó
удовлетворяющие условиям (			0.16).	Тогда
	lem:Lmin
Леммы	6.0.28 è		[u1, v]∞ = [u2, v]∞ = 0
			[u1, v]∞ = [u2, v]∞ = 0
по построению. Следовательно, [u, v]∞ = 0 äëÿ âñåõ v dom Lmax. 2
Следствие 6.0.31. Совокупность
		0y = y(0), 1y = y0(0),				H = C
		0y = y(0), 1y = y0(0),				H = C	(0.22)	149

образует граничную тройку для оператора Lmax.

V:1.1

V:1.2

V:1.3

136	ГЛАВА 6. ОПЕРАТОР ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ

6.0.3Полуограниченный потенциал

В случае потенциала, полуограниченного снизу, теорему можно дополнить

−y00

+ q(x)y = λy

(0.23)

W:1.1

Определение 6.0.32. Åñëè n±(L)

W:1.1

òî

решением

Вейля

уравнения

(0.23)

yλ

называют единственное (с точностью до пропорциональности) решение

L2(R+).

W:1.1

Определение 6.0.33. Говорят,

÷òî

äëÿ

уравнения

(0.23)

имеет

место

квазирегулярный случай, если при каждом

λ C это уравнение имеет два

решения из L2(R+).

Следствие 6.0.34.

ÅñëèW:1.1

n±(L)

= 2, òî

2ρ(L) = C и для каждого λ C âñå

решения уравнения

(0.23) принадлежат L (R+). При этом резольвента каждого

самосопряженного расширения является

оператором Гильберта - Шмидта.

Предложение 6.0.35. Пусть q ≥ c, тогда

(i)n±(L) = 1,

(ii)Ïðè λ (−∞; c) существует и единственно (с точностью до пропорциональности) решение yλ L2(R+),

(iii)Ïðè λ (−∞; c) решение Вейля y(·) & 0 ïðè x −→ ∞.

Доказательство.

(i) Пусть λ (−∞; c). Тогда qλ

= q(x) − λ ≥ 0. Пусть u(x, λ) решение следующей

задачи Коши

−u00 + qλ(x)u = 0,

u(0, λ) = 1,

u0(0, λ) = α > 0.

(0.24)

W:1.2

Интегрируя задачу

(0.24), придем к уравнению

u(x, λ) = 1 + αx + Z0

(x − t)qλ(t)u(t, λ)dt.

(0.25)

W:1.3

Решая

W:1.3

V:1.2

u(x, λ) ≥ 1

, следовательно

уравнение

(0.25) методом Пикара, получим, что

u(·, λ) / L (R+). Согласно W:1.3

n±(L) = 1

u(x, λ) % ∞

ïðè

. Действительно из

следствию

6.0.34

. Более того,

1 + αx

% ∞

(0.25) следует, что u0(x, λ) > 0 è u(x, λ)

≥

−→ ∞

(iii) Òàê êàê u(·, λ) не имеет нулей при λ (−∞; c), то в силу теоремы Штурма

решение Вейля yλ(·) имеет не более одного нуля на R+. Значит, существует a > 0

такое, что yλ(x) > 0 ïðè x > a. Но тогда

yλ00(x) = qλ(x)yλ(x) ≥ 0,

x > a.

Отсюда вытекает, что

(x)

≤

0 ïðè x > a. Действительно, если y0

) > 0, òî

. Тогда y0

(x) > 0 ïðè x

≥

и, значит y

(x)

% ∞

(x) < 0 ïðè x

≥

a è y

(

)

монотонно убывает и, значит, yλ(x) & 0, ò.ê. yλ(·) L

(R+) 2

137

V:1.4 Следствие 6.0.36. Пусть q ≥ 0 ïðè x ≥ 0. Тогда каждое решение уравнения
−y00 + q(x)y = 0	(0.26) W:1.4

удовлетворяет одному из соотношений

(i)y(x) −→ ∞ ïðè x −→ ∞,

(ii)y(x) −→ 0 ïðè x −→ ∞. При этом, решение, удовлетворяющее условию (ii)

существует и единственно (с точностью до пропорциональности) и совпадает с решением Вейля.

ДоказательствоV:1.3. Пусть y1(·) -

W:1.4

решение Вейля уравнения (

0.26). Â ñèëó

ïðè

. В силу того же предложения

предложения 6.0.38[(iii)] y1(x) −→

−→ ∞

W:1.4

∞

ïðè x

−→ ∞

òàê

существует решение y2(

) уравнения (0.26) такое, что y2(x)

êàê y1 è y2 линейно независимы, то общее решение уравнения (

W:1.4

0.26) имеет вид

y(x) = c1y1(x) + c2y2(x),

поэтому y(x) −→ 0 в точности тогда, когда c2 = 0. Åñëè æå c2 6= 0, òî y(x) −→ 0 ïðè

x −→ 0 2

V:1.5 Теорема 6.0.37. (Титчмарша - Сиерса) Пусть q(·) удовлетворяет условию q(x) ≥

−h(x), h(x) ≥ δ > 0, x R+ è

∞		h(x) = +∞.	(0.27) W:1.4a
Z		h(x) = +∞.	(0.27) W:1.4a
	dx
0	p
0	p

Если к тому же выполнено хотя бы одно из двух условий

(i)h(·) не убывает,

(ii)h C1(R+) è |hh3/0(2x(x) ) | ≤ c < ∞, x R+,

òî n±(L) = 1.

V:1.3 ОпределениеW:1.61.0.38. Пусть n±(L) = 1. Обозначим через uθ(x, λ), v(x, λ)- решение уравнения (0.23), удовлетворяющие начальным условиям

u(0, λ) = 1,

u0(0, λ) = θ,

v(0, λ) = 0,

v0(0, λ) = 1.

±(

) = 1

( W:1.1

(λ)u(x, λ)

Òàê êàê n

, то найдется функция m

(λ) : y

(x, λ) = v x,

λ) + m

L (R+). Функцию mθ(·) называют функцией Вейля уравнения

(0.23).

138 ГЛАВА 6. ОПЕРАТОР ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ

W:1.1

Пусть ϕ è ψ- решение уравнения (0.23), удовлетворяющие начальным условиям

ϕ(0, λ) = sin α, ϕ0(0, λ) = − cos α, ψ(0, λ) = cos α, ψ0(0, λ) = sin α. (0.28) W:1.5

Åñëè n±(L) = 1, то по теореме Вейля существует (единственное с точностью до пропорциональности) решение y(x, λ) = yλ(x) L2(R+). Тогда найдутся функции

c1(λ), c2(λ) такие, что

yλ(x) = c1(λ)ψ(x, y) + c2(λ)ϕ(x, λ) L2(R+).

(0.29)

W:1.6

Óïð. 6.0.39.

c1(λ)c2(λ) 6= 0,

λ C\R

Доказать, что

Поэтому,

пологаяW:1.6 yλ := c−1(λ)yλ(x), m(λ) :=

c−1(λ)c2(λ).

Запишем

(0.29)

â âèäå

−

yλ(x) = ψ(x, λ) − m(λ)ϕ(x, λ) L2(R+).

(0.30)

W:1.7

n±(L) =

1, тогда для

âñåõ λ1, λ2

C\R справедливо

V:1.6

Лемма 6.0.40. Пусть

соотношение

xlim {y(x, λ1), y(x, λ2)} = 0.

−→∞

Доказательство. Пусть yj(x) := y(x, λj), j {1, 2}, тогда

−yj00(x) + q(x)yj(x) = λjyj(x),

j {1, 2}.

(0.31)

W:1.8

Умножая первое уравнение (

0.31) íà y2, а второе на y1, вычитая первое

уравнение из второго и интегрируя, получаем

[y10 (t)y2(t) − y1(t)y2(t)]0dt = (λ1 − λ2) Z0

y1(t)y2(t)dt.

(0.32)

W:1.9

Òàê êàê y1, y2 L2(R+), òî y1y2 L1(R+)W:1, следовательно.9

ïðè x −→ ∞ существует

предел правой, а

значит и левой части в (

0.32).

W:1.9

Записывая

(0.32) â âèäå

∞

W {y1, y2}(x) − W {y1, y2}(0) = (λ1 − λ2) Z0

y1(t)y2(t)dt

Заключаем, что существует предел

∞

x−→∞

{

, y

(x) = W

{

, y

}

(0) + (λ

−

(t)dt

lim

)

(t)y

(0.33)

W:1.10

Òàê êàê n±(L) = 1. то по лемме

V:1.6

W:1.10

6.0.40, предел в

(0.33) равен нулю. 2

139

Следствие 6.0.41. В условиях леммы

V:1.6

V:7

6.0.40 справедливо тождество

∞

λ2 − λ1

y(x, λ

)y(x, λ

)dx =

m(λ2) − m(λ1)

(0.34)

W:1.5

W:1.6

Доказательство. Из начальных условий

(0.28) è

(0.29) получаем

W {y1, y2}(0) = [cos α − m(λ1) sin α][sin α + m(λ2) cos α]−

(0.35)

− [cos α − m(λ2) sin α][sin α + m(λ1) cos α] = m(λ2) − m(λ1).

W:1.11

W:1.10

xlim

W {y1, y2}(x) = 0,

Объединяя

(0.35) è

(0.33), учитывая, что

приходим к

W:1.11

−→∞

равенству

(0.35). 2

−y00 + q(x)y − λy = f.

(0.36)

(y0

(1)

− h1y

− λ(1) = 0.

(0.37)

(0)

h0y

λ(0) = 0,

−

y(x, λ) = (Rλf)(x) Z

G(x, t; λ)f(λ)dt,

ãäå

(

G(x, t; λ) = v(x; λ)u(t; λ), 0 ≤ t ≤ x, u(x; λ)v(t; λ), x ≤ t ≤ 1.

u(·, λ) решение уравнения

W:1.12

W:1.13

W:1.12

W:1.13

v(·, λ) решение уравнения

(0.36) и первого уравнения из системы (

0.37),

(0.36) и второго уравнения из системы (

0.37).

y(x, λ) = v(x, λ) Z0

u(t, λ)f(t)dt + u(x, λ) Zx

v(t, λ)f(t)dt.

Теорема 6.0.42. Пусть q C(R+),

Rλ- резольвента некоторого собственного

v:1.8

расширения L оператора L = Lmin, с непустым резольвентным множеством

ïðè âñåõ t

и справедливо равенство

ρ(L) 6= . Тогда существует ядро K(·,

·; λ) íà R+ × R+, такое, что K(t, ·) L2(R+)

R+

(Rλt)(f) = Z

K(t, s; λ)f(s)ds, f L2(R+).

R+

W:1.11

W:1.12

W:1.13

Более того

140

ГЛАВА 6. ОПЕРАТОР ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ

(i) для каждого c R+ функция K(c, ·; λ) W 2,2[0, c] ∩ C2[c, +∞) è Lmax(

K(c, s; λ)) =

0, ïðè s 6= c,

(ii) Åñëè K+(c, s) = K(c, s) ïðè s > c è K−(c, s) = K(c, s) ïðè s < c, òî

lim K+(c, s) = lim K−(c, s),

lim

∂

c, s

− s

lim

∂

c, s

∂s

)

0 ∂s lim

−(

) = 1

−→

c+0

−

−→

Доказательство.

(i) 2,2

(R+) −→ dom(L).

dom(L)

H+

Rλ : L

Íî

подпространство в

Отображение

b > 0

W [0, b]

(Rλfe)(t)

t R+ {0}.

äëÿ âñåõ

. Поэтому

непрерывен для всех

Rλ

lt=(Rλf)(t)

lt : L2 −→ H+ −−−−−−→ C

По теореме Рисса функционал lt допускает представление

lt(f) = (Rλf)(t) = Z

K(t, s; λ)f(s)ds, f L2(R+),

R+

в котором K(t, ·; λ) L(R+).

6.1

Перемежаемость

(i) Множество {an}1∞ называется дискретным, если оно не

D:14.1

Определение 6.1.1.

имеет конечных предельных точек.

(ii)Говорят, что два дискретных множества {an}∞1 è {bn}∞1 пересекаются, если между 2-мя соседними элементами одного множества содержатся ровно один элемент другого, то есть после упорядочения последовательностей {an}∞1 è {bn}∞1 по возрастанию, справедливы неравенства

		a1 < b1 < a2 < b2 < ... < ak < bk < ak+1 < ...					(1.1)	E:14.1
	(iii) Говорят, что		E:14.1		{an}1∞	è {bn}1∞ перемежаются нестрого,
			последовательность
если неравенства			(6.1.4)	нестрогие.
если неравенства			(6.1.4)	нестрогие.
		F (·) R и допускает				мероморфное продолжение	через
L:14.1	Лемма 6.1.2. Åñëè	F (·) R и допускает				мероморфное продолжение	через
	интервал (α, β) R, то ее нули и полюса перемежаются.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1614 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.04.20151.78 Mб24методичка вышка.pdf
#
16.03.20168.21 Mб956Методичка грам последн 2013.doc
#
01.05.2025108.08 Кб0Методичка ГЭК маг II.docx
#
01.05.2025261.63 Кб0Методичка ГЭК магістри I.doc
#
01.04.2025920.58 Кб0методичка Деньги и кредит.doc
#
13.04.2015973.11 Кб36Методичка ДЕРКАЧА.pdf
#
16.03.201678.87 Кб24методичка до курсових робіт.docx
#
14.11.2019183 Кб2Методичка Екологічне 2011-3.docx
#
13.04.2015533.5 Кб31Методичка Екологічне право 2013.doc
#
29.04.2019863.23 Кб6Методичка з Цивільного права (Особлива частина)....doc
#
01.05.2025566.78 Кб0Методичка земельное.doc