Методичка ДЕРКАЧА

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донецкий национальный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

B(H) 3 B ↔ tB, tB[u, v] = (Bu, v),

dom (tB) = H.

При этом симметрическим формам и только

им соответствуют в

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.04.2015

Размер:

973.11 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1613 14 15 16 > Следующая >>>

Глава 5

Квадратичные формы.

5.1Первая теорема о представлении

D:21.1 Определение 5.1.1. (i) Пусть D линеал в H. Отображение t[·, ·] : D ×D → C называется полуторалинейной формой, если выполнены условия:

t[λ1u1 + λ2u2, v] = λ1t[u1, v] + λ2t[u2, v], λ1, λ2 C, t[u, λ1v1 + λ2v2] = λ1t[u, v1] + λ2t[u, v2], λ1, λ2 C;

(ii)Линеал dom (t) = D называют областью определения формы t;

(iii)Отображение t : dom (t) → C, определяемое равенством t[u] = t[u, u] называют квадратичной формой, ассоциированной с полуторалинейной формой t[·, ·].

E:21.1 Óïð. 5.1.2. Доказать, что полуторалинейная форма однозначно определяется квадратичной формой.

D:21.2

Определение 5.1.3.

(i) Две квадратичные формы t è t0 называются равными,

åñëè dom (t) = dom (t0) è t[u] = t0[u],

dom (t);

(ii) Форма t0 называется продолжением формы t, åñëè

dom (t)

dom (t0) è t[u] = t0[u], u

dom (t).

Определение 5.1.4.

(i) Сумма двух квадратичных форм t1 è t2 определяется

равенством t[u, v]

= t1[u, v] + t2[u, v],

u, v dom (t) на области dom (t) =

(ii) Форма1

Tdom (

2)определяется равенством

dom (t

)

;

αt, α C

u, v dom (αt) = dom (t).

(αt)[u, v] = αt[u, v],

Определение 5.1.5.

(i) Форма t , сопряженная к форме t определяется

равенством t [u, v] =

t[v, u]

, u, v

dom (t ) = dom (t);

(ii) Форма t называется симметрической, если t = t ;

121

122			ГЛАВА 5. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ.
(iii) Симметрическая		форма t называется полуограниченной снизу, если
существует γ R, такое что t[u] > γ k u k2, u dom (t).
Óïð. 5.1.6. Пусть t(> γ) - квадратичная форма. Тогда
\|(t − γ)[u, v]\| 6 ((t − γ)[u])1/2((t − γ)[v])1/2.
Пример 5.1.7. Пусть H		= L2(R) è f	измеримая функция на R, t[u, v] =

f(x)u(x)v(x)dx - полуторалинейная форма с
R
R
	dom (t) = {u : u H, Z		\|f(x)\|\|u(x)\|2dx < ∞}.
		R

D:21.7

Определение 5.1.8. Пусть форма t полуограничена снизу. Последовательность

{

∞, u

H называют t-сходящейся к вектору u ( и пишут u

t u), åñëè

n}1

t[un

um] n,m

n →

dom (t), un

→

−

−→

→∞

Заметим, что u в этом определении может не принадлежать dom (t).

Полуограниченная снизу форма t порождает на dom (t) новое скалярное

произведение:

(u, v)t = (t − γ + 1)[u, v] = t[u, v] − (γ − 1)(u, v),

u, v dom (t),

превращающее dom (t) в предгильбертово пространство Ht.

Óïð. 5.1.9.

(i) Последовательность

dom (t) является t-сходящейся тогда и

только тогда, когда она фундаментальна в Ht. Легко видеть, что форма t ограничена на Ht, ò.ê.

|t1[u, v]| ≤ t[u]1/2 · t[v]1/2 = kukt · kvkt,

ãäå t1 = t − (γ − 1);

(ii)Åñëè u dom (t), òî t-сходимость последовательности un ê u эквивалентна е¼ s-сходимости (по норме) в Ht.

Определение 5.1.10. (i) Полуторалинейная форма t â H называется замкнутой, если пространство Ht полно, т.е. является гильбертовым;

(ii)Полуторалинейная форма t называется замыкаемой, если она имеет замкнутое продолжение.

Ex:21.5	Óïð. 5.1.11. Пусть t(> γ) - квадратичная форма в H. Верно ли, что t замыкаема?
	Óïð. 5.1.12. Пусть t > γ. Форма t
Ex:21.6	Óïð. 5.1.12. Пусть t > γ. Форма t			замыкаема тогда и только тогда, когда верна
	импликация:	un	0, t[un um]	n,m		0	=	t[un]		0 (ò.å. t-сходимость
	k	k →	−	n,m					n−→
	k	k →	−	−→					n−→
					→∞				→∞

последовательности un к нулю влечет условие t[un] → 0).

5.1. ПЕРВАЯ ТЕОРЕМА О ПРЕДСТАВЛЕНИИ

123

Ex:21.5 Ex:21.6

Óïð. 5.1.13. Выяснить, замкнуты ли формы из примеров 5.1.11 и 5.1.12.

Ex:21.8 Óïð. 5.1.14. Пусть t[u, v] = (Su, Sv), ãäå S оператор в H, dom (S) = H. Доказать, что форма t замкнута (замыкаема) тогда и только тогда, когда S замкнут (замыкаем).

Óïð. 5.1.15. Пусть H = L2[0; 1], t[u, v] = u(0)v(0) + R u0(t)v0(t)dt, dom (t) = C1[0; 1].

Выяснить замкнута (замыкаема) ли эта форма?

Напомним, что существует биоднозначное соответствие между совокупностью ограниченных полуторалинейных форм t[·, ·] â H и множеством B(H) (ограниченных

операторов в H):

самосопряженные операторы B = B ( B(H)).

Мы изучим соответствие между симметричными квадратичными формами в H и неограниченными самосопряженными операторами в H.

Очевидно, что полуограниченный симметрический оператор A ≥ γ порождает полуограниченную симметрическую форму

tA[u] = (Au, u), dom (tA) = dom (A).

Определение 5.1.16. Пусть X B-пространство с нормой k·k, X1 нормированное пространство с нормой k · k1 непрерывно вложенное в X (X1 X), ò.å.

kfk ≤ ckfk1

f X1.

(1.2)

Eq:21.100

Говорят, что нормы k · k è k · k1

топологически согласованны, если из условия

−

n,m

k n−→

−→

→∞

вытекает соотношение kfnk1 n−→∞→ 0.

Åñëè

нормы

k · k è k · k1

топологически

согласованны, то пополнение X1

пространства X1 может быть реализовано как подмножество пространства

X, ò.å.

X1 топологически вкладывается в X.

Åñëè {fn}1∞ фундаментальна в X1, òî fn

→

Eq:21.100

X1. Â ñèëó

(1.2) fn

фундаментальна также в

, и в силу полноты последнего найдется

f X : fn n−→

→∞

его последовательности

f X

. Ïðè ýòîì

зависит лишь от

, а не от определяющей

Eq:21.100

fn, ò.å. f = f(g). Отображение i : g → f(g) линейно и непрерывно в силу

(1.2).

Åñëè

ker i =

{0},

òî

можно

отожествить

элементы g( X1) è

X) è

реализовать X1 как подмножествоX.

Доказать, что

ker i

= {0}

топологической согласованности норм

k · k è

Ex:21.100

Óïð. 5.1.17. f

k · k1.

124	ГЛАВА 5. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ.

Предложение 5.1.18. Полуограниченная форма t â H замыкаема тогда и только

тогда, когда нормы k · k è k · k1 топологически согласованы, т.е. справедлива импликация

−

−→

k →

−→

n,m

→∞

t[un] n

→∞

T:21.100

Теорема 5.1.19. Пусть A самосопряженный полуограниченный снизу оператор в

H, A = A > mA > 0. Тогда квадратичная форма tA0

tA0 [u, u] = A[u, u],

u dom (tA0 ) = dom (A),

(1.3)

Eq:21.1

замыкаема, и ее замыкание tA =

tA0

имеет вид

t[u, v] = A[u, v] = ((A−mA)1/2u, (A−mA)1/2v) + mA(u, v),

dom (tA) = dom ((A−mA)1/2).

При этом справедливы соотношения:

dom (A) dom (tA),

(1.4)

Eq:21.2

(Au, v) = tA[u, v],

u dom (A),

v dom (tA).

(1.5)

Eq:21.3

Доказательство.

Симметричность формы очевидна, а е¼ замкнутость

Ex:21.8

следствие упражнения

5.1.14.

T:21.100

Следствие 5.1.20. В условиях теоремы

5.1.19 для каждого γ 6 mAправедливо

представление

tA[u, v] = ((A − γ)1/2u, (A − γ)1/2v) + (γ)(u, v), dom (tA) =

dom (A − γ)1/2.

(1.6)

Eq:21.4

Óïð. 5.1.21. Доказать, что определение (

1.6) не зависит от γ 6 mA.

Определение 5.1.22

Eq:21. Говорят,.2 Eq:21что.3 оператор A ассоциирован с формой t, åñëè

выполнены условия

(1.4) è

(1.5).

Определение 5.1.23. Пусть t - замкнутая полуограниченная форма. Линеал

dom (t0) dom (t) называется ядром формы, если замыкание формы t0 = t dom (t0)

совпадает с t.

Óïð. 5.1.24. Пусть t (> γ) - замкнутая форма в H è dom (t0) - линеал в dom (t). Äëÿ

Ex:21.10

того, чтобы dom (t0) был ядром t необходимо и достаточно, чтобы dom (t0) был плотен

â Ht.

Óïð. 5.1.25. Пусть T - замкнутый оператор в H. Тогда линеал dom (t0) является ядром

Ex:21.11

оператора T тогда и только тогда, когда он - ядро формы t[u, v] = (T u, T v),

u, v

dom T .

5.1. ПЕРВАЯ ТЕОРЕМА О ПРЕДСТАВЛЕНИИ					125
				Eq:21.5
				Eq:21.5
	В следующей теореме классическое соответствие (			1.1) распространяется на
	В следующей теореме классическое соответствие (			1.1) распространяется на
замкнутые полуограниченные снизу (сверху) квадратичные формы.
					t замкнутая
Th:21.13	Теорема 5.1.26. (Первая теорема	о представлении.) Пусть			t замкнутая
	полуограниченная снизу квадратичная форма в H		(t > γ). Тогда существует
	полуограниченная снизу квадратичная форма в H		(t > γ). Тогда существует
	оператор T = T > γ, такой что:
	(i)
	dom T dom (t),
	dom T dom (t),				(1.7)	Eq:21.6
	t[u, v] = (T u, v),	u dom (T ),	v dom (t);
	t[u, v] = (T u, v),	u dom (T ),	v dom (t);		(1.8)	Eq:21.7

(ii)dom (T ) является ядром формы t;

(iii)Åñëè u dom (t), ω H и равенство

t[u, v] = (ω, v)

(1.9)

Eq:21.7a

выполнено для всех v принадлежащих ядру формы t, òî u dom (T ) è T u = ω.

Доказательство. (i)Òàê êàê t замкнута, то пространство Ht (см. определение

D:21.7

5.1.8)

гильбертово. Пусть h H, тогда lh[u] = (u, h) ограничен в Ht:

|lh[u]| = |(u, h)| 6 kukkhk 6 khkkukt.

(1.10)

Eq:21.8

По теореме Рисса найдется единственный элемент v такой, что lh[u] = (u, v)t,

причем

. ßñíî, ÷òî v линейно зависит от h(

H). Положим v = Bh. Тогда

k hk

Eq:21.8

B линейный непрерывный оператор из H â Ht, òàê êàê â ñèëó

(1.10)

kBhkt = kvkt = klhk 6 khk.

(1.11)

Eq:21.9

Далее, в силу определения оператора B

(u, Bh)t (= lh[u]) = (u, h),

u Ht.

Eq:21.10

(1.12)

Eq:21.10

Полагая в

(1.12) u = Bh получаем

(Bh, h) = (Bh, Bh)t > 0,

h H.

(1.13)

Eq:21.11

Таким образом, B неотрицательный самосопряженный оператор в H.

Eq:21.10

Покажем теперь, что ker B = {0}. Åñëè Bh = 0, то равенство

(1.12) äàåò

(u, h) = 0,

u dom (t). Значит h = 0, òàê êàê dom (t) плотно в H. Èòàê, B обратим.

Поэтому оператор A = B−1 самосопряжен и неотрицателен вместе с оператором B.

ПолагаяEq:21.6 T = A + γ − 1,

Eq:21и замечая,.10 ÷òî dom (A) = ran B Ht = dom (t) приходим к

(1.7). Далее, полагая в (

1.12) h = Av, v dom (A) получаем равенство

(u, v)t = (u, BAv)t = (u, Ah),

v dom (A).

(1.14)

Eq:21.12

D:13.1

EXE:13.1

EXE:13.2

EXE:13.3

126

ГЛАВА 5. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ.

Учитывая определение нормы в

(

2) легко преобразуем (1Eq:21.14).12

Eq:21.7

k·kt

= t[·]−(γ −1)k·k

0 6 B 6 1).

(1.8). Ïðè ýòîì T > γ ò.ê. A

Ex:21> 1 (.10

(ii) В силу упражнения

достаточно показать, что множество dom (T ) =

5.1.24

dom (A

Eq:21) = ran.12B плотно в Ht. Пусть v0 Ht è (u, v0)t = 0, u dom (A). Отсюда, в

ñèëó

(1.14)

(Au, v0) = (u, v0)t

= 0,

u dom (A).

(1.15)

Eq:21.13

Òàê êàê ran A = dom (B) = H,

Eq:21òî èç.7a

(1.15) получаем v = 0.

(iii)

выполнено

äëÿ ÿäðà dom (t0)

формы t. Ïî

Пусть условие

Eq:21(1.9).7a

непрерывности равенство (

распространяется на все v dom (t). В частности,

1.9)

äëÿ v

dom (T ) получаем (u, T v)

t[u, v]

= (ω, v). Отсюда вытекает, что u

dom (T ) = dom (T ) è T u = T u = ω. 2

Следствие 5.1.27. Пусть оператор S таков, что dom (S) dom (T ) è t[u, v] =

(Su, v),

u dom (S), v dom (t0), ãäå dom (t0) - ядро формы t. Тогда S T .

В частности, оператор T = T ассоциированный с формой t единственный.

Доказательство. Полагая ω = Su получим из теоремы

Th:21.13

5.1.26 (пункт (iii)), что

domT è Su = T u. Значит S T .

Åñëè S = S второй оператор, ассоциированный с формой

t, то согласно

доказанному S T è T S, значит T = S. 2

5.2Секториальные операторы

Определение 5.2.1. Оператор T в гильбертовом		пространстве	H называют
секториальным с вершиной β и полууглом ϕ (0, π2 ], åñëè
Re(T f, f) ± ctg ϕ · \|Im(T f, f)\| > βkfk2,		f dom (T ).
Re(T f, f) ± ctg ϕ · \|Im(T f, f)\| > βkfk2,		f dom (T ).	(2.1)		E:13.1
Åñëè ê òîìó æå ρ(T ) 6= , то оператор T называют m−секториальным с вершиной
β и полууглом ϕ (и относят к классу SH(β; ϕ)).
Будем писать SH(ϕ) вместо SH(0; ϕ). Ïðè ϕ =		0 неравенство		E:13.1
				E:13.1
				(2.1) удобно

понимать так:
(T f, f) > βkfk2,	f dom (T ),
(T f, f) > βkfk2,	f dom (T ),		(2.2)		E:100.2

что означает полуограниченность снизу симметрического оператора T .

Óïð. 5.2.2. Оператор T секториален с вершиной β и полууглом ϕ [0, π2 ] если его числовой образ содержится в секторе S(β; ϕ) = {z C : |arg(z − β)| 6 ϕ}.

Óïð. 5.2.3. T S (β; ϕ) точно тогда, когда он секториален с вершиной β и полууглом

H E:13.1

ϕ, и не имеет нетривиальных расширений с условием ( 2.1). Óïð. 5.2.4. Секториальный оператор замыкаем.

D:13.2

T:13.3

5.2. СЕКТОРИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ		127
Замечание 5.2.5. Ïðè ϕ = π	неравенство		E:13.1


2		(2.1) означает аккретивность оператора

T − β.

Для секториальных операторов справедлив следующий аналог теоремы Фридрихса.

Теорема 5.2.6. Пусть t-замкнутая секториальная квадратичная форма с вершиной β и полууглом ϕ, тогда с ней ассоциирован m−секториальный оператор T SH(β, ϕ). То есть справедливо соотношение t[u, v] = (T u, v),äëÿ âñåõ u dom (T ), v dom (t).

P:13.100

Предложение 5.2.7. Пусть S m−секториальный оператор в H с вершиной β è

полууглом ϕ,

R := Re(S − a)−1,

a (−∞; β).

Тогда Re t0 секториальной формы t0

= tS0 , tS0

[u, v] = (Su, v), допускает представление

Re t0[u, v] = (R1/2(S − a)u, R1/2(S − a)v) + a(u, v),

u, v dom (S).

(2.3)

E:13.100

Формы t0 è Re t0

замыкаемы, и замыкание Re t формы Re t0

имеет вид

(Re t)[u, v] = (T u, T v) + a(u, v),

T = ((S − a)R1/2) ,

dom (Re t) = dom (T ).

(2.4)

E:13.101

Доказательство. (i) Òàê êàê a < β è S m−секториален, то a ρ(S) и оператор

R определ¼н корректно. Легко видеть, что

Re t0[u] = Re (Su, u) = 2−1((S − a)u, u) + (u, (S − a)u) + akuk2

= 2−1([(S − a)−1 + (S − a)−1](S − a)u, (S − a)u) + akuk2 = kR1/2(S − a)uk2 + akuk2.

(ii) Òàê êàê R =

ограничен,

òî

(R1/2(S

−

a))

= (S

−

a) R1/2

плотно

E:13.100

1/2

определен. Значит

Ex:21оператор.8

− a) замыкаем. Поэтому из представления (

2.3)

и упражнения

вытекает замыкаемость формы

Re t0. Òàê

как форма t0

5.1.14

секториальна, то она замыкаема одновременно с формой

Re t0. Так как замыкание

R1/2(S

−

a) = (R1/2(S

−

a)) = ((S

−

a) R1/2) , то замыкание Re t0 задается равенством

E:13.101

(2.4). 2

L:13.100

Лемма 5.2.8. Пусть A замкнутый секториальный оператор с вершиной β = β è

полуглом ϕ. Тогда для каждого a < β справедливо соотношение dom (A) ∩ Na = {0}

и оператор

Aa = A + A Na,

dom (Aa) = dom (A) u N,

является m−секториальным c вершиной a и полууглом ϕ.

128				ГЛАВА 5. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ.
		Доказательство. (i)Покажем, что оператор Aa замкнут.
			(ii)Покажем, что Aa секториален с вершиной a и полуугломϕ. Пусть f = fA +fa,
		ãäå fA dom (A), fa Na. Тогда (Aaf, f) = (AfA, fA)+2aRe (fA, fa)+akfak2. Отсюда
		Im (Aaf, f) = Im (AfA, fA) è
			Re (Aaf, f) ≥ βkfAk2 + 2aRe (fA, fa) + akfak2 + ctg ϕ · \|Im (AfA, fA)\|
			≥ akfA + fak2 + ctg ϕ · \|Im (Aa, f)\| = akfk2 + ctg ϕ · \|Im (Aa, f)\|.
		Отсюда следует, что Aa секториален.
			(iii)Покажем, что Aa m−секториален. Для этого достаточно показать, что
		ran (Aa − λ) = H ïðè λ = a − ε, ε > 0.
			Пусть g ran (Aa −λ), тогда g ran (A−λ) è g Na. Другими словами g Na−ε ∩
		ran (A − a), g = (A − a)fA è (A − a + ε)g = 0. Отсюда
			0 = ((A − a + ε)(A − a)fA, fA) = k(A − a)fAk2 + (ε(A − a)fA, fA)
					(2.5)	E:13.102
		Òàê êàê Re ((A − a)fA, fA) ≥ (β − a)kfAk2, то из равенства (2E:13.5) .получаем102			g = (A −
		a)fA = 0. Значит ran (Aa −λ) плотен в H. Òàê êàê Aa замкнут, то образ ran (Aa −λ)
		замкнут, и следовательно ran (Aa − λ) = H. Значит, Aa m-секториален. 2
			Теперь мы можем доказать теорему Като-Лионса-Шехтера.
		Óïð. 5.2.9. Доказать, что сужение замыкаемой секториальной формы замыкаемо.
EXE:13.100

	T:13.4	Теорема 5.2.10. Пусть A секториальный оператор в H с вершиной β и полууглом
		ϕ	(0, π ), dom (A) = H. Тогда квадратичная форма t0 :
		ϕ	(0, π ), dom (A) = H. Тогда квадратичная форма t0 :
			2	A
			tA0 [u, v] = (Au, v),	u, v dom (t0) = dom(A),
			tA0 [u, v] = (Au, v),	u, v dom (t0) = dom(A),	(2.6)	E:13.3

замыкаема.

D:13.4a

D:13.5

L:13.100

Доказательство. Пусть a < β. По лемме

5.2.8 оператор A

m-секториален с

вершиной a и тем же полууглом ϕ. Согласно предложению

P:13.100

a =

5.2.7

форма tA0

tA0

a [u], dom (tA0

a ) = dom (Aa), замыкаема. Значит, форма tA0

допускает замыкаемое

продолжение tA0

a (tA0 tA0

a ) и потому замыкаема. 2

Замечание 5.2.11. Условие

ϕ −

T:13.4

в теореме

5.2.10

существенно. Действительно,

полагая H = L2(

E:13), T.5y

= i

, dom (T ) =

W 2(

R+

) : y0(0)

hy(0) = 0 .

+ h

−

}

Тогда аналогично

2.8 Re T

Reh

, f

f, f

· k

(0)k

Reh

· |

dom (

. Íî ýòà

2 (

) =

(

форма незамыкаема в L (R+).

Следствие 5.2.12. [Аналог

теоремы

Фридрихса]

Каждый

секториальный

оператор A ñ

вершиной

полууглом ϕ

[0, π2 )

имеет

m−секториальное

расширение Ae SH(β; ϕ).

5.2. СЕКТОРИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

129

T:13.4

Доказательство.

По теореме

5.2.10 квадратичная форма

замыкаема. Пусть

T:13.3

существует (и единственен) оператор A SH(β, ϕ)

- ее замыкание. По теореме

5.2.6

ассоциированный с формой t. Он и будет искомым расширением оператора A. 2 e

Расширение

SH(β, ϕ)

ассоциированное с замыканием t

D:13.6

Определение 5.2.13.

формы tA называют расширением по Фридрихсу оператора A. Åñëè T замкнутая

секториальная форма, то форма t

:= Ret :=

(t+t )

Re e

также замкнута.

SH(β, ϕ)

[0, π2 )

ReT (>

D:13.7

Определение 5.2.14. Пусть

ïðè

β)самосопряженный оператор ассоциированный

замыканием

формы

RetT .

Оператор ReT (> β) называют реальной частью оператора T .

C è

EXE:13.8

Пример 5.2.15.

Пусть

−

W22(R+)

f0(0) − hf(0)

0},

, dom (Th)

dx2

T +

dom (T +)

{

W 2(

R+

)

f0(0)

−

hf¯ (0)

}

−dx

(Th+T

) h

dom (T )

W 2

R+

оператор

, dom (C

)

dom (T )

∩

(

) совпадает

с минимальным оператором Tmin. Пусть th-замыкание квадратичной формы,

порожденной оператором Th. Тогда

∞

th[u] = Z0

|u0(x)|2dx + h|u(0)|2,

dom (th) = W21(R+)

(2.7)

E:13.4

∞

Reth[u] = Z0

|u0(x)|2dx +

h + h

|u(0)|2,

dom (Reth) = W21(R+)

(2.8)

E:13.5

оператор ассоциированный с формой Reth âèäà

(2.8)åñòü TReh.

Теорема 5.2.16. Пусть A-неотрицательный оператор.Π = {H, 0, 1}-граничная

T:13.9

тройка для A è A0 = AF . Тогда верны эквивалентности:

(i)

AeΘ Sh(β, ϕ) Θ − M(β) SH(ϕ), β < 0;

(2.9)

E:13.6

(ii)

AΘ

Sh(ϕ)

dom (tΘ) dom (tM(0)),

tReΘ

ctg ϕ

tImΘ > tM(0).

(2.10)

E:13.7

Åñëè

(â

частности

åñëè

),òî

условие

(ii)

dom (Θ)

dom[M(0)]

M(0)

B(H)

эквивалентно условию Θ − M(0) SH(ϕ).

Доказательство. (i)Пусть

ε > 0

. Положим

Aθ Sh(β, ϕ)

C+

= Re(Aθ

eβ + ε)−1,

= Im(Aθ

β + ε)−1.

(2.11)

E:13.8

−

e −

EXE:13.1000

EXE:13.1001

130

ГЛАВА 5. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ.

Тогда C+ ± ctg(ϕ) · C− > 0 è Ker(C+ ± ctg(ϕ) · C−) = {0}. Кроме того

C+(A − β + ε)f = f,

C−(A − β + ε)f = 0, f dom (A).

(2.12)

E:13.9

(C+ ± ctg(ϕ) · C−)−1

являются

Â ñèëó

(2.12) неотрицательные

операторы

самосопряженными расширениями оператора A − β + ε. Cледовательно, существуют

линейные отношения Θ± = Θ± C(H) такие, что

−1

+ β − ε > A.

(2.13)

AΘ± = AΘ±

= (e+ ± ctg(

) · C−)

экстремального свойства фридрихсова расширения

Íî â ñèëó

E:5.2

(AΘ± − β + ε)−1 > (AF − β + ε)−1, ε < 0

(2.14)

резольвент получим

Из формулы (

??) äëÿ

Re(Θ − M(β − ε))−1 ± ctg(ϕ) · Im(Θ − M(β − ε)) > 0.

(2.15)

Таким образом (Θ − M(β − ε))−1 SH(ϕ), ε > 0. Но тогда Θ − M(β − ε) SH(ϕ), ε >

0 и значит, Θ − M(β)

SH(ϕ). Обратная импликация доказывается

обращением

рассуждения.

(ii)Это утверждение доказывается аналогично утверждению предложения (6.2). 2

Óïð. 5.2.17. Пусть A секториальный оператор с вершиной β и полууглом ϕ è

Gβ(ϕ) := {z : |arg(z − β)| ≤ ϕ}.

Тогда C\Gβ(ϕ) поле регулярности оператора A, C\Gβ(ϕ) ρˆ(A).

Óïð. 5.2.18. Пусть A секториальный оператор с вершиной β и полууглом ϕ , z

C\Gβ(ϕ), Az его расширение Azf = AfA+zfz, ãäå f = fA+fz, fA dom (A), fz

Nz(A). Тогда Az m-секториален.

E:13.9

E:13.10

E:13.11

E:100.12

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1613 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.04.20151.78 Mб24методичка вышка.pdf
#
16.03.20168.21 Mб956Методичка грам последн 2013.doc
#
01.05.2025108.08 Кб0Методичка ГЭК маг II.docx
#
01.05.2025261.63 Кб0Методичка ГЭК магістри I.doc
#
01.04.2025920.58 Кб0методичка Деньги и кредит.doc
#
13.04.2015973.11 Кб36Методичка ДЕРКАЧА.pdf
#
16.03.201678.87 Кб24методичка до курсових робіт.docx
#
14.11.2019183 Кб2Методичка Екологічне 2011-3.docx
#
13.04.2015533.5 Кб31Методичка Екологічне право 2013.doc
#
29.04.2019863.23 Кб6Методичка з Цивільного права (Особлива частина)....doc
#
01.05.2025566.78 Кб0Методичка земельное.doc