Методичка ДЕРКАЧА

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донецкий национальный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

γ1(λk)hk −→

λk C+ C−, hk H, n N. (12.12)

нарушая общности, считаем, что λk 6= λj ïðè k 6= j. Òàê êàê äëÿ

каждого симметрического оператора S подпространства Nλk линейно независимы

è γ1(λk) изоморфно отображает H íà Nλk (A(k)), то левая часть в (12.12) равна нулю

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.04.2015

Размер:

973.11 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1612 13 14 15 16 > Следующая >>>

4.10. ФОРМУЛА КРЕЙНА ДЛЯ РЕЗОЛЬВЕНТ. СВЯЗЬ С ГРАНИЧНЫМИ ТРОЙКАМИ. 111

(10.5)T

P:4.10

соотношение

4.9.11 0 ρ(Θ − M(λ)). Поэтому

Òàê êàê λ

ρ(AΘ)

ρ(A0), то по предложению

E:35.5

эквивалентно следующему:

0fλ = (Θ − M(λ))−1γ (

)g.

(10.6)

E:35.6

Применяя к

(10.6) γ(λ) получаем:

fλ = γ(λ)(Θ − M(λ))−1γ (

)g.

(10.7)

E:35.7

E:35.3

E:35.7

E:35.2

Сопоставляя

(10.3) è

(10.7), получаем формулу (

10.2).

Утверждение (iii) с очевидностью вытекает из двух предыдущих. 2

R:35.2

Замечание

4E:35.10..22. Åñëè Θ является оператором, Θ = B C(H),

òîL:4доказательство.2

формулы

(10.2)

можно упростить. Действительно, в силу леммы

4.9.4

( 1 − B 0)[(AB − λ)−1f − (A0 − λ)−1f] = 1(A0 − λ)−1f = −γ (

f H. (10.8)

)f,

E:35.1a

С другой

(9.7) è

(9.14) получим

стороны, в силу

E:4.1a

Eq:4.9

( 1 − B 0)γ(λ)(B − M(λ))−1γ (

(10.9)

E:35.8

= (M(λ) − B)(B − M(λ))−1γ (

)f = −γ (

)f.

−

λ)−1

−

λ)−1)

−

M(λ))−1γ (

))

Òàê êàê ran ((AB

(A0

Nλ, è ran (γ(λ)(Θ

Nλ è

E:35.8

E:35.3

1 − B 0

Nλ íà H, òî èç (10.8) è

(10.9) вытекает

(10.3).

изоморфно отображает

верна при λ C+ C−. Â ýòîì

R:35.3

Замечание 4.10.3.

E:35(i) Åñëè.2

A = A , то формула (10E:35.2).2

резольвент.

E:35.2

E:4.1a

Eq:4.9

случае формула

(10.2)

является вариантом формулы М.Г. Крейна для канонических

E:3.1(ii) Подчеркн¼м, что формула

(

10.2)

с уч¼том выражений

(

9.7) è

(9.14),

(4.1)

äëÿ γ(λ), M(λ) è Θ устанавливает связь формулы М.Г.Крейна с граничными

тройками. Каждая граничная тройка порождает одну (свою) формулу Крейна для

резольвент.

E:35.1

E:35.2

В приложениях

важно,

÷òî

формулы

(

10.1) è

(10.2)

äàþò

разные

параметризации всех самосопряж¼нных (и даже собственных) расширений оператора

Пусть S(H)− некоторый двусторонний идеал в алгебре B(H).

{H, 0, 1}−

T:35.4

Теорема 4.10.4 (О резольвентной сравнимости). Пусть

граничная тройка для оператора A , Θ1, Θ2

C(H), è λ ρ(AΘ1 )

ρ(AΘ2 ) ρ(A0).

ρ(Θ )

ρ(Θ ) верна эквивалентность:

Тогда для кадого симметрического нормированного идеала

S â

(H) и каждого ζ,

T 1

− (AeΘ2 − λ)−

Sp(H)

(Θ1 −

ζ)−

− (Θ2

−

ζ)−

Sp(H).

(AeΘ1 − λ)−

(10.10)

E:35.9

C:35.5

R:35.6

Ex:35.1

112

ГЛАВА 4. ГРАНИЧНЫЕ ТРОЙКИ И СОБСТВЕННЫЕ РАСШИРЕНИЯ.

L:4.10

j {1, 2}. Кроме того, E:35γ(λ).−2

Nλ íà N

, òàê êàê λ ρ(A0).

Доказательство. Òàê êàê λ ρ(AΘ1 )

ρ(AΘ2 ), то по Лемме

?? 0

ρ(Θj

− M(λ)),

Поэтому из формулы (10.2) вытекаетe эквивалентность:e

изоморфно отображает

(AΘ1 −λ)−1−(AΘ2 −λ)−1 S(H)

(Θ1−M(λ))−1−(Θ2−M(λ))−1 S(H). (10.11)

E:35.10

−

{

}

равенства:

ρ(Θ

M(λ)), j

1, 2

, то для каждого ζ

ρ(Θ ) справедливы

Òàê êàê

ρ(Θ )

[I + (ζ − M(λ))(Θj − ζ)−1]−1 = I + (M(λ) − ζ)(Θj − M(λ))−1,

(10.12)

E:35.11

[I + (Θj − ζ)−1(ζ − M(λ))]−1 = I + (Θj − M(λ))−1 · (M(λ) − ζ).

(10.13)

E:35.12

Таким образом, операторы

Φ2 := I + (ζ − M(λ))(Θj − ζ)−1 è Φ1 := I + (Θj − ζ)−1 · (ζ − M(λ))

обратимы в B(H). Поэтому

(Θ1 − M(λ))−1 − (Θ2 − M(λ))−1 = (Θ1 − ζ)−1Φ2−1 − Φ1−1(Θ2 − ζ)−1

= Φ1−1[(Θ2 − ζ)−1 − (Θ1 − ζ)−1]Φ2−1.

E:35.10

E:35.12

Требуемая эквивалентность вытекает теперь из (

10.11) è

(10.13). 2

T:35.4

Θj

C(H), j {1, 2},

Следствие 4.10.5. Пусть в условиях

Теоремы

4.10.4

dom (Θ1) = dom (Θ2). Тогда справедлива импликация

− λ)−1 − (AΘ2 − λ)−1 S(H).

Θ1 − Θ2 S(H) = (AΘ1

(10.14)

E:35.14

Θ1, Θ2 B(H), òî

E:35.14

Åñëè æå

импликация

(10.14) заменяется эквивалентностью

S(H) (AΘ1 − λ)−1 − (AΘ2 − λ)−1

S(H).

Θ1 − Θ2

(10.15)

E:35.14a

dom (Θ1)

)

∩

Доказательство. Ò. ê.

= dom (Θ ), то для каждого ζ

ρ(Θ

ρ(Θ )

справедливо тождество

(Θ1 − ζ)−1 − (Θ2 − ζ)−1 = (Θ1 − ζ)−1(Θ2 − Θ1)(Θ2 − ζ)−1,

из которого вытекает импликация

S(H) = (Θ1 − ζ)−1 − (Θ2 − ζ)−1 S(H).

Θ1 − Θ2

T:35.4

Осталось применить Теорему

4.10.4. 2

T:35.4

C:35.5

Замечание 4.10.6. Теорема

4.10.4 и Следствие

4.10.5 часто

применяются,

когда

S(H) = Sp(H), (p (0, +∞])− идеалы Неймана-Шаттена компактных операторов

â H.

Напомним, что T Sp(H), åñëè {sj(T )}1∞ lp, ïðè p < ∞ è {sj(T )}1∞ c0 ïðè p = ∞,

ãäå sj(T )− s-числа оператора T .

T:35.4

Óïð. 4.10.7. Аналогично доказательству Теоремы

4.10.4 вывести, доказанную ранее

P:3.8

в предложении

4.7.8, эквивалентность:

AeΘ1

è AeΘ2 трансверсальны 0 ρ((Θ1 − ζ)−1 − (Θ2 − ζ)−1).

4.11. СВЯЗЬ С КЛАССИЧЕСКИМ ПОДХОДОМ.

113

4.11 Связь с классическим подходом.

Согласно формуле Неймана

		dom (A ) = dom (A)+˙ Ni+˙ N−i.				(11.1)	E:35.141a
	Предложение 4.11.1. Пусть P±i косые проектора в				E:35.141a	è V
					E:35.141a
P:3.66a					(11.1) íà N±i
					(11.1) íà N±i
	изометрия из N−i íà Ni. Тогда совокупность Π = {H, 0, 1}, в котрой
	H = Ni,	0 := −i(Pi + V P−i),	1 = (Pi + V P−i),
	H = Ni,	0 := −i(Pi + V P−i),	1 = (Pi + V P−i),			(11.2)	E:35.142a
	образует граничную тройку. При этом соответствующее			γ ïîëå γ(·) и функция
	Вейля M(·) имеют вид

γ(λ) = Uiλγ(i) = iUiλ Ni è M(λ) = PNi (A0 − i)(A0 − λ)−1 Ni,

ãäå

Uiλγ(i) = (A0 − i)(A0 − λ)−1, A0 = A ker 0.

(11.3) E:35.143a

(11.4) E:35.143a

Доказательство. Легко видеть, что Uiλ отображает Ni изоморфно на Nλ. Поэтому

fλ = fi + (λ − i)(A0 − λ)−1fi = Uiλfi.

(11.5)

E:35.143a

Отсюда

0fλ = 0fi = −i(Pi + V P−i)fi = −ifi.

(11.6)

E:35.143a

Следовательно,

γ(λ)fi = iγ(λ) 0fλ = ifλ = iUiλfi.

(11.7)

E:35.144a

И, наконец, из

(11.7) получаем

1fλ = 1(fi + (λ − i)(A0 − λ)−1fi) = 1fi + 1(λ − i)(A0 − λ)−1fi

= fi − (λ − i)γ (

)fi = [INi − i(λ − i)PNi Uiλ

]fi.

M(λ) = 1γ(λ) = PNi [i + (λ − i)Uiλ

] Ni.

(11.8)

E:35.145a

Формула Крейна принимает вид

(AB − λ)−1

= (A0 − λ)−1

+ Uiλ[B − M(λ)]−1Uiλ

Nλ,

ãäå

M(·)

E:35.145a

определяется равенством (

11.8).

114 ГЛАВА 4. ГРАНИЧНЫЕ ТРОЙКИ И СОБСТВЕННЫЕ РАСШИРЕНИЯ.

4.12Функция Вейля и унитарная эквивалентность граничных троек

D:8.1

Определение 4.12.1. Симметрический оператор S в гильбертовом пространстве

H называется простым, если он не имеет нетривиальных приводящих

подпространств, т.е. не допускает представление

H = H1 H2,

S = S1 S2,

(12.1)

E:8.1a

в котором (0 =)S

= S

) è S

симметрический оператор в H

2 C

Лемма 4.12.2. Каждый симметрический оператор S â H допускает разложение

L:8.2a

H = H1 H2,

S = S1 S2,

S2 = S2 C(H2),

ãäå

(12.2)

E:8.2a

à S1 простой симметрический оператор в H1. Ïðè ýòîì

H1 = span{Nz(S) : z C+ C−}.

(12.3)

E:8.3a

E:8.1111a Óïð. 4.12.3. Доказать, что простой симметрический оператор не имеет вещественных собственных значений.

E:8.1112a Óïð. 4.12.4.

L:8.5a Лемма 4.12.5. Пусть A простой замкнутый симметрический оператор в H è

пусть Nλ := Nλ(A) := {{fλ, λfλ} : fλ Nλ}( grA ) λ ρ(A). Тогда

span N

: λ

C+

C−}

= H

(A).

(12.4)

E:8.88a

{bλ

Доказательство. В силу первой формулы Неймана справедливо разложение

H+ = dom +(A) Ni N−i.

(12.5)

E:8.89a

Поэтому достаточно показать, что система подпространств Nλ(A), λ C+ C−\{±i},

полна в dom +(A). Пусть g dom (A) è g Nλ, λ C+ C−b\ {±i} â H+, ò. å.

(fλ, g) + (A fλ, A g) = 0,

fλ b Nλ,

(12.6)

E:8.80a

C− \ {± }

Перепишем эти равенства в виде

0 =

(A fλ, g)+(λfλ, A g) =

(Ag, fλ)+λ(Ag, fλ) =

(Ag, fλ)(1+λ2),

λ C+ C−\{±i}.

E:8.1112a

(12.7)

E:8.8b

A простой,

E:8.8b

Так как оператор

то в силу упражнения

4.12.4 равенство (

12.7) äàåò

E:8.1111a

Ag = 0. В силу упражнения

4.12.3 g = 0. 2

4.12. ФУНКЦИЯ ВЕЙЛЯ И УНИТАРНАЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ГРАНИЧНЫХ ТРОЕК 115

D:8.3a		Определение 4.12.6. Операторы Tj C(Hj),					j {1, 2}, называют U унитарно
		эквивалентными, если существует изометрия U из пространства H1							íà H2, U
		B(H1, H2) полагая, что
			Udom (T1) = dom (T2)				UT1 = T2U.
			Udom (T1) = dom (T2)			è	UT1 = T2U.		(12.8)	E:8.4a
		Определение 4.12.7. Пусть A(1) è A(2)				симметрические операторы в H1 è
D:8.4a		Определение 4.12.7. Пусть A(1) è A(2)				симметрические операторы в H1 è
		H2, соответсвенно, Πj = {Hj, 0(j), 1(j)} граничная тройка для A(j) , j {1, 2}.

		Граничные тройки Π1 è Π2 называют унитарно эквивалентными, если существует
		изометрическое отображение U пространства H1 íà H2, такое что
		k(2) = k(1)U,	k {0, 1}	è	UA(1) = A(2)U,			Udom (A(1)) = dom (A(2)).
									(12.9)	E:8.5a
									(12.9)
		Теорема 4.12.8. Пусть A(1) è A(2) простые симметрические операторы в H1 è
	T:8.1
		H2, соответственно. Πj = {H, 0(j), 1(j)} граничная тройка для A(j) è Mj(·)

		соответсвующая функция Вейля, j {1, 2}. Åñëè
				M1(λ) = M2(λ),			λ C+,
				M1(λ) = M2(λ),			λ C+,		(12.10)	E:8.6a

то граничные тройки Π1 è Π2 унитарно эквивалентны.

Доказательство. Так как операторы A(j) простые, то

span{Nλ(A(j)) : λ C+ C−} = Hj, j {1, 2}.

(12.11)

E:8.2

Пусть γj(·) гамма поле соответствующее тройке Πj, j {1, 2}. Определим оператор U, полагая

в точности тогда, когда hk = 0, k {1, . . . , n}. Значит,Eq:4.8операторE:8.6a U определен корректно. Покажем его изометричность. Из равенств ( 9.17) и (12.10)

γ2(λk)hk

k=1

n	n
X	X

=(γ2 (λk)γ2(λj)hj, hk)H =

k,j=1								k,j=1
n		1	( λj j	−	λk1	k		hj, hk
= k,j=1		1	( λj j	−	λk1	k		hj, hk
X	M		λ )		M	(λ	)
				−				H
				−				H

M2(λj) − M2 (λk)hj, hk λj − λk

=	n	γ1(λk)hk	2 .
	X

k=1

116 ГЛАВА 4. ГРАНИЧНЫЕ ТРОЙКИ И СОБСТВЕННЫЕ РАСШИРЕНИЯ.

Таким образом, оператор U изометричен. В силу

E:8.2

(12.11) он продолжается по

непрерывности до отображения из H1 íà H2. Далее в силу определения оператора

U получаем

(A(2)) U Xγ1(λk)hk = (A(2)) X γ2(λk)hk

X k

D:8.4a

γ (λ

)hk

= U

λkγ1(λk)hk = U(A(1))

γ1(λk)hk.

(12.13)

E:8.4

перепишем (12.13) в

{1, 2}

пользуясь

определением

Полагая

ϕnj

γ1(λk)hk, j

4.12.7

E:8.4

k=1

âèäå

A(2) Uϕn2 = UA(1) ϕn1 .

(12.14)

E:8.5a

E:8.4

Отсюда с учетом

(12.13), получим:

kϕn2 kH2

+2 = kϕn2 kH2

2 +kA(2) ϕn2 kH2

2 = kϕn1 kH2

1 +kUA(1) ϕn1 kH2

= kϕn1 kH2

1 +kA(1) ϕn1 kH2 1 .

E:8.6a

L:8.5a

(12.15)

E:8.66a

Èç

(12.10) и леммы

4.12.5 вытекает равенство

UH+1 = H+2,

ò. å. U(dom (A(1) )) = dom (A(2) ).

(12.16)

E:8.76a

E:8.4

Отсюда с учетом

(12.13) вытекает U унитарная эквивалентность операторов A(1) è

A(2) ,

UA(2) = A(2) U. Отсюда получаемE:8.3 UA(1) = A(2)U.

отображения 0(2)

Далее, применяя к равенству (

12.12)

, получаем

0(2)Uγ1(λ)h = 0(2)γ2(λ)h = h = 0(1)γ1(λ)h,

(12.17)

E:8.76a

(k)

E:8.76a

L:8.5a

ò.ê.

), k

, òî èç

(12.17) и леммы

4.12.5 вытекает равенство

(2)

B(1)

{1 2}

равенство, определение

функции

Вейля

= E:8..6aДалее,

учитывая это

равенство

(12.10),

получаем

1(1)fλ(1) = M1(λ) 0(1)fλ(1) = M2(λ) 0(2)Ufλ(1) = M2(λ) 0(2)fλ(2) = 1(2)Ufλ(1).

(12.18)

E:8.78a

Отсюда уже вытекает равенство 1(2)U = 1(1)

. Теорема доказана. 2

Пусть граничные тройки Π1

(1)

è Π2

C:8.100

(2)

{H, 0 , 1 }

Следствие 4.12.9.

{H, 0

, 1 }

являются U унитарно(j)

эквивалентными. Тогда для каждого Θ

(

) собственные расширения AΘ , ãäå

Ce H

dom (A(j)) =

{

dom (A(j) ) :

{

(j)f, (j)f

}

{

1, 2

}

(12.19)

E:8.80a

U унитарно эквивалентны. В частности, расширения AB(j) = ExtA(j) , dom (AB(j)

(j)

−

B (j)), j

{

1, 2

унитарно эквивалентны. В частности, UA(1)

= A(2)U è

ker((1)1

(2)

}

UAj

= Aj

U, j {0, 1}.

4.12. ФУНКЦИЯ ВЕЙЛЯ И УНИТАРНАЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ГРАНИЧНЫХ ТРОЕК 117

Доказательство. Òàê êàê 0(2)U = 0(1)

, òî

U(dom (A0(1))) = dom (A0(2))

UA(1) = A(2) U.

(12.20)

E:8.81a

(1)

(2)

E:8.81a

Равенство UA0

= A0

U вытекает из

(12.20). 2

Теорема 4.12.10. Пусть Π = {H, 0, 1} граничная тройка для оператора A ,

T:8.101

M(·) соответствующая функция Вейля. Тогда справедливы соотношения:

Im(M(iy)h, h) =

∞

H \ { }

lim y

0 ,

(12.21)

E:8.82a

↑∞

lim

M(iy)

= 0.

(12.22)

E:8.83a

− y↑∞

Eq:4.8

Доказательство. (i) Из формулы

(9.17) получаем:

ImM(iy) =

M(iy) − M (iy)

= yγ (iy)γ(iy).

Отсюда

y(ImM(iy)h, h) = y2kγ(iy)hk2.

(12.23)

E:8.84a

Íî γ(iy)h = (A0 − i)(A0 − iy)−1γ(i)h (ñì.

Eq:4.8

(9.17)). Отсюда

∞

∞ t2 +

kγ(iy)hk2 = Z

−

d(Etγ(i)h, γ(i)h) = Z

d(Etγ(i)h, γ(i)h).

(12.24)

E:8.85a

t2 + y2

−∞

−

−∞

Заметим, что

ïðè

, ò. ê.

∩

γ(i)h

dom (A0)

h =

{0}. Поэтому объединяя формулы (

E:8.84a

E:8.85a

12.23) è

(12.24) и применяя теорему Лебега о

монотонной сходимости, получаем

lim y(M(iy)h, h) = lim

∞

y2(t2 + 1)

E γ i

h, γ i h

∞

(1+

)

γ i h, γ i

) =

∞

y↑∞

t2 + y2

(

( )

) = Z

(

( )

−∞

Eq:4.8

(ii) Из тождества (

9.17) вытекает

M(iy)

M (i)

h+ 1 +

γ (i)γ(iy)h =

M (i)

h+ 1 +

γ (i)[(A0−i)(A0−iy)−1]γ(i)h.

h =

(12.25)

E:8.86a

В силу спектральной теоремы и теоремы Лебега о монотонной сходимости

справедливо отношение

lim

−1γ(i)h

2 = lim

∞

2 d

γ i

h, γ i

lim

∞

t2 + 1

d E

h, γ i

−

−iy

t2 + y2

) =

y↑∞ k(

− )( 0

)

y↑∞

(

( )

) = y↑∞

(

( )

−∞

−

−∞

C(H);

118 ГЛАВА 4. ГРАНИЧНЫЕ ТРОЙКИ И СОБСТВЕННЫЕ РАСШИРЕНИЯ.

4.13

Пусть A неотрицательный симметрический оператор в H. Мы охарактеризуем в терминах абстрактных граничных условий расширения К. Фридрихса AF è Ì. Крейна AK .

T.1 Теорема 4.13.1. Пусть A неотрицательный симметрический оператор в H, Π =

{H, 0, 1} граничная тройка A такая, что A0 ≥ 0 è M(·) соответствующая функция Вейля. Тогда:

(i) существуют сильные резольвентные пределы

M(0) := s	−	R	lim M(x)	(	), M	(∞) :=	s	−	R	lim M(x); (13.1) E.1
	−		− x↑0	Ce H		(∞) :=		−		− x↓−∞

(ii)линейное отношение M(0) (M(−∞)), является самосопряженным и полуограниченным снизу (сверху) в H и ассоциирован с полуограниченной снизу (сверху) замкнутой квадратичной формой

] =

x 0

) =

{

x 0

∞}

lim(M(x)h, h),

dom (t

h : lim(M(x)h, h) <

↑

t−∞[h] = xlim (M(x)h, h),

dom (t−∞) = {h : xlim (M(x)h, h) < ∞}; (13.2)

E.2

↓−∞

(iii) A0 è AK (A0

è AF ) дизъюнктны M(0)(M(−∞)) C(H), т. е. является

полуограниченным снизу(сверху)и самосопряженным оператором в

(iv)A0 è AK (A0 è AF ) трансверсальны M(0) B(H) (M(−∞) B(H));

(v)справедливы соотношения

AK = AM(0)			è		AF = AM(−∞),		(13.3)	E.3
	A0e AK		A0		AF )	e
	A0e AK		A0		AF )	e
в случае дизъюнктности	è	(		è		принимают привычный вид:
						принимают привычный вид:
AK = A ker( 1 − M(0) 0)			(AF = A ker( 1 − M(−∞) 0)).
AK = A ker( 1 − M(0) 0)			(AF = A ker( 1 − M(−∞) 0)).				(13.4)	E.4

P.1 Предложение 4.13.2. Пусть A-неотрицательный симметрический оператор в H,

Π = {H, 0, 1} граничная тройка для A такая, что A0 = AF . Тогда cправедливы эквивалентности:

(i)AeΘ ≥ β, β < 0 Θ − M(β) ≥ 0;

(ii)AeΘ ≥ 0 dom (tΘ) dom (tM(0)) è tΘ − tM(0) ≥ 0.

C.1

P.2

4.13.

119

Доказательство. (i)В силу формулы Крейна

(AΘ − β)−1 − (AF − β)−1 = γ(β)(Θ − M(β))−1γ (β).

(13.5)

E.5

Осталось

T.1

воспользоваться экстремальным свойством Фридрихсова расширения

(ii)Второе утверждение с очевидностью вытекает из первого, теоремы

4.13.1

и очевидной эквивалентности dom (tΘ) dom (tM(0)), tΘ − tM(Θ) ≥ 0 Θ − M(β) ≥

0 для всякогоβ > 0. Поясним, что включение

Θ)

dom (t

) вытекает из

dom (

E.2M(0)

неравенства tΘ[h] > (M(β)h, h), h dom (tΘ) ïðè β ↓ 0 â ñèëó

(13.2). 2

P.1

Следствие 4.13.3. Пусть в условиях предложения

4.13.2 dom (M(0)) dom Θ.

Тогда верна эквивалентность

AΘ ≥ 0 tΘ − tM(0) ≥ 0.

(13.6)

E.6

Åñëè dom (Θ) dom (M(0)), в частности, если M(0) B(H), òî

E.6

(13.6) примает

âèä

Θ − M(0) ≥ 0

Классический подход

Пусть a ρ(A0). Тогда справедливо прямое разложение

dom (A ) = dom (A0) u Na.				(13.7)	E.7
			E.7
			E.7
Обозначим π0 è π(a) косые проекторы в разложении (			13.7) èç dom (A ) íà
Обозначим π0 è π(a) косые проекторы в разложении (			13.7) èç dom (A ) íà
dom (A0) è Na, соответственно. Пусть также P (a) ортопроектор в H íà Na.
Предложение 4.13.4. Пусть A положительно определенный оператор				â H,
m(A) > 0. Тогда для каждого a < m(A) совокупность Π = {Ha, 0a, 1a}, в которой
Ha = Na,	0a = π(a),	1a = P (a)(A0 − a)π0,
Ha = Na,	0a = π(a),	1a = P (a)(A0 − a)π0,		(13.8)	E.8
образует граничную тройку	äëÿ A . Ïðè	этом соответствующие γ( )-ïîëå è
		·

функция Вейля M(·) имеют вид

γ(λ) = Uaλγ(a),

γ(a) = INa ,

Доказательство. (i)Согласно

представление f = fA0 + fa, g = gA0 Легко видеть, что

Ma(λ) = (λ − a)P (a)[I − (λ − a)(A0 − λ)−1] Na.
		(13.9)	E.9
	E.7
		dom (A ) допускают

	(13.7) векторы f, g
+ ga, в которых fA0 , gA0		dom (A0) è fa, ga Na.

(A f, g) − (f, A g) = (A0fA0 , ga) − (fa, A0gA0 ) + a[(fa, gA0 ) − (fA0 , ga)] = ( a1f, a0g)H − ( a0f, a1g)H.

120 ГЛАВА 4. ГРАНИЧНЫЕ ТРОЙКИ И СОБСТВЕННЫЕ РАСШИРЕНИЯ.

Проверим сюрьективность

отображения

. Пусть {h0, h1} Na

Na. Òàê êàê

, то полагая f

0 −

)−

dom (

)

, получим

f =

f, f

}

(

= (

1 + 0

{h0, h1}.

(ii)Пусть fλ Nλ, тогда fλ = Uaλfa = (A0 − a)(A0 − λ)−1fa = fa + (λ − a)(A0 −

λ)−1fa.

E.8

Отсюда с учетом

(13.8) получаем

0afλ = π(a)fλ = fa,

1afλ = (λ − a)[P (a)(A0 − a)(A0 − λ)−1]fa.

Применяя оператор γ(λ) к первому из равенств получим

γ(λ)fa = fλ = Uaλfa = Uaλγ(a)fa.

E.9

Отсюда и из определения функции Вейля вытекают соотношения

(

13.9) 2

H, Π =

C.2

Следствие 4.13.5. Пусть A положительно

определенный оператор в

{H, 0, 1} граничная тройка для A âèäà

(13E.8.8) ñ a = 0, и такая, что A0 = AF .

Пусть также A = A = AΘ

ExtA, ãäå Θ = dom (A)

(

< m A

в точности тогда, когда

Тогда

A ≥eα (αf

(e ))

α)−1h, h),

e e

(Θ h, h)

α h 2

+ α2((A

dom (Θ)

e op

≥

k k

−

P.1

AΘ

M(α). Осталось

Доказательство. В силу Предложения

4.13.2

P.2

применить Предложение

4.13.4 ñ a = 0 è A0 = AF .e2

≥

AeΘ

≥ c > −m(A)

C.3

Следствие 4.13.6. Пусть в условиях Следствия 1.5

. Тогда

полуограничен снизу и

m(AeΘ) ≥ α :=

m(A)c

m(A) + c

1. Поэтому

Доказательство. ßñíî, ÷òî α < m(A) è c = α · m(A) · (m(A) − α)−

условие Θ ≥ c · I эквивалентно условию

(Θoph, h) − αkhk2 ≥ α2(m(A) − α)−1khk2.

Òàê êàê AF − α ≥ m(A) − α > 0, òî k(AF − α)−1k ≤ (m(A) − α)−1, ò.å.

α2(m(A) − α)−1khk2 ≥ α2((AF − α)−1h, h),

h H = N0.

Осталось применить Следствие 1.5. 2

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1612 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.04.20151.78 Mб24методичка вышка.pdf
#
16.03.20168.21 Mб956Методичка грам последн 2013.doc
#
01.05.2025108.08 Кб0Методичка ГЭК маг II.docx
#
01.05.2025261.63 Кб0Методичка ГЭК магістри I.doc
#
01.04.2025920.58 Кб0методичка Деньги и кредит.doc
#
13.04.2015973.11 Кб36Методичка ДЕРКАЧА.pdf
#
16.03.201678.87 Кб24методичка до курсових робіт.docx
#
14.11.2019183 Кб2Методичка Екологічне 2011-3.docx
#
13.04.2015533.5 Кб31Методичка Екологічне право 2013.doc
#
29.04.2019863.23 Кб6Методичка з Цивільного права (Особлива частина)....doc
#
01.05.2025566.78 Кб0Методичка земельное.doc