Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донецкий национальный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методичка ДЕРКАЧА

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.04.2015

Размер:

973.11 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1611 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

4.8. ФОРМУЛЫ ПЕРЕХОДА ОТ ОДНОЙ ГРАНИЧНОЙ ТРОЙКИ К ДРУГОЙ 101

Óïð. 4.8.2. Доказать, что X замыкаем,

åñòü hn

→ 0, V hn

→ g,

= 0.

EXE:1.1l

òî

Следовательно, X B(H0, H).

Определение 4.8.3. Пусть J = J = J−1 сигнатурный оператор в H. Оператор

D:3.01

U â H называют

(i) J изометрическим, если (JUf, Uf) = (Jf, f), f dom (U);

(ii) J полуунитарным, если он является J изометрическим и dom (U) = H;

(iii) J унитарным, если он J изометрический, dom (U) = ran (U) = H.

Óïð. 4.8.4. J-унитарный оператор ограничен.

EXE:1.2l

Введем фундаментальную симметрию в

H H

полагая

J = i

−IH

Теорема 4.8.5. Пусть Π = {H, 0, 1} è Π0 = {H0, 00 , 10 } две граничные тройки

T:1.3l

оператора A è V изометрия из

íà

0. Тогда существует ограниченный J-

, òî åñòü,

унитарный оператор X â H0 H0, такой, что X = 0

X00

X01

V 0

X10

X11

V 1

= 10

(8.4)

Доказательство. Определим

оператор

следующим образом. Пусть

h =

H H. Выберем f dom (A ), для которого f = h =

и полагая

h00

, определим оператор X соотношением

0f = h0

= h10

XV h = h0,

V = V V.

(8.5)

Определение (8.5) корректно,

от выбора

dom (A ).

E:1.6l

òî

åñòü

íå

зависит

Действительно,

åñëè g = h,

òî

(f − g)

= 0, è f − g dom (A),

и, значит,

0g = 0f = h0.

ßñíî, ÷òî X сюрьективный линейный оператор

0, dom (X) =

ran (X) = H0 H0. Формулы Грина для троек Π è Π0

äàþò

(V 1f, V 0g)H0

− (V 0f, V 1g)H0

= ( 10 f, 00 g)H0 − ( 00 f, 10 g)H0 ,

(8.6)

èëè (JV f, V g) = (J 0f, 0g). Подставляя

E:1.6l

(8.5) в это равенство, получим

(JV f, V g) = (JXV f, XV g).

(8.7)

Íî (8.7)

означает, что

eJ-

E:1.8l

EXE:1.2l

унитарный оператор

H H

Согласно

B(H0

H0), è,

упражнению

E:18.4.5lX

значит,

допускает

блочно-матричное

представление

(8.4). 2

E:1.5l

E:1.6l

E:1.7l

E:1.8l

D:3.1n

EXE:1.3l

P:1.4l

EXE:1.5l

EXE:1.6l

102 ГЛАВА 4. ГРАНИЧНЫЕ ТРОЙКИ И СОБСТВЕННЫЕ РАСШИРЕНИЯ.

T:1.3l

0. Будем называть

Определение 4.8.6. Пусть в условиях

теоремы

4.8.5

E:1.5l

(J-унитарную) матрицу X = (Xij) âèäà

(8.4) матрицей перехода от тройки Π ê

тройке Π0.

L:1.1l

T:1.3l

Óïð. 4.8.7. Вывести лемму

4.8.1 из теоремы

4.8.5.

L:1.1l

X =

Указание:

В условиях

леммы

4.8.1 матрица перехода

является треугольной:

X10

E:1.5l

X11

. Â ñèëó (8.4)

X00

(X10V 0

+ X11V 1 = 10

X00V 0

= 00

Òàê êàê ker 0 = ker 00

, òî X01 = 0. Так как оператор X J-унитарен, то:

X00

0 I X00

X10

X00

X10

X10 X11 −I 0 0 X11 = −X11 X10

0 X11

X00X11

= −X11X00

X10X11 − X11X10 =

−I 0

X00X11 = I, X11X00

= I, следовательно X00X11

= (X00X11) = I. Кроме того

X X

(X X ) . Отсюда следует, что X обратим, X−1 = X

( 0).

10 11

обратим.

B H

Поэтому оператор X := (X00V )−1

X11

= (X

)−1X = (X−1) (V −1) = (X

−1) V . Отсюда X11

= X V . Поэтому

X10V 0

+ X V V 1

= 10

следовательно

X ((X )−1X10V 0

+ 1)

, ãäå

(X )−1X10V =: K.

Предложение 4.8.8. Пусть A0 è A00

самосопряженные расширения оператора A.

Тогда расширения A0 è A00 трансверсальны тогда и только тогда, когда существует

граничная тройка Π = {H, 0, 1} для оператора A такая, что ker 0 = dom (A0) è ker 1 = dom (A00).

L:3.2

Доказательство. Достаточность доказана в предложении

4.7.2 пункт (vi).

Докажем необходимость. Пусть Π0 =

, 0

граничная тройка для

трансверсальны, то по

A такая, что

A00 := A

ker P00. Òàê êàê A00 (=

A0) è A00

L:3.2

предложению

4.7.2 (viii) dom (A00) = ker( 0

−

B 0

), ãäå B = B

(

). Полагая

è 1 := 10 − B 00

. B

0 := 00

, получим искомую граничную тройку Π0

Óïð. 4.8.9. a) Проверить, что Π0 граничная тройка.

b) Найти матрицу перехода X îò Π0

к Π. Проверить J-унитарность X.

Óïð. 4.8.10. Привести пример неограниченного J-изометрического оператора.

Решение. Пусть K K , T B(H) è T −1 B(H)

0 I

X = i

J = i I 0 ,

T −1K T −1

4.9. ФУНКЦИЯ ВЕЙЛЯ

103

Тогда dom (X) = dom (K). Оператор X является J-изометричным, т. к.

(JXf, Xf) = i(T −1Kf1 + T −1f2, T f1) − i(T f1, T −1Kf1, T −1f2) = (Jf, f)

Следствие 4.8.11. Пусть S0 = S0 ,

S1 = S1

ExtA. Тогда расширения S0

è S1

C:1.99

трансверсальны тогда и только тогда, когда существует граничная тройка

Π =

{H, 0, 1} такая, что

Sj = Aj (= A ker j),

j {0, 1}.

(8.8)

Доказательство. Достаточность доказана в

упражнении.

prop:3.1

Необходимость. Согласно Предложению

4.6.5 существует граничная тройка

(1) (1)

такая,

÷òî

(1)

. Òàê

как расширения

Π1 = {H, 0 , 1 }

ker

L:1.1l

= dom S0

трансверсальны, то согласно Лемме

существует оператор K = K

(

)

4.8.1

(1)

такой, что dom S1 = ker( 1 −K 0 ). Полагая 0

= 0 è

1 = 1

−K 0 , получаем

искомую граничную тройку Π = {H, 0, 1}, для которой ker 0 = dom S0,

ker 1 =

dom S1. 2

совокупность Π = {H, 0, 1} образуют граничную

Ex:1.200

Óïð. 4.8.12. Проверить, что

тройку.

4.9Функция Вейля

4.9.1Q-функция и γ-ïîëå

Всюду в этом параграфе A симметрический оператор в гильбертовом пространстве H с плотной областью определения dom (A) и равными индексами дефекта n+(A) =

n−(A).

C+ C− → B(H) называют R[H]-

D:4.6

Определение 4.9.1. Оператор-функцию F :

функцией, если

(i) она голоморфна в C+ C−;

(ii)

F (λ)

ImF (λ)

F (λ)

−

> 0,

λ C+ C−;

(9.1)

Imλ

λ − λ

(iii)

F (

) = F (λ),

λ C+ C−.

(9.2)

Напомним, что каждая R[H]-функция допускает интегральное представление

+∞

F (λ) = C0 + C1λ + Z				(9.3)
F (λ) = C0 + C1λ + Z	t − λ	− 1 + t2 dΣ(t), λ C+ C−,		(9.3)
	1		t

−∞

E:1.999

Eq:4.12

E:4.13

E:4.23a

104

ГЛАВА 4. ГРАНИЧНЫЕ ТРОЙКИ И СОБСТВЕННЫЕ РАСШИРЕНИЯ.

в котором C

, C

(

), C =

C , C

1 ≥

0, Σ(

)

= Σ (

) неубывающая и

1 B

непрерывная слева оператор-функция в H, удовлетворяющая условию

dΣ(t)

B(H).

(9.4)

E:4.24

1 + t2

Σ(·) называют неортогональной спектральной мерой расширения A0.

симметрический оператор в H, A = A

D:4.1

Определение 4.9.2. Пусть A

ExtA è H некоторое гильбертово пространство, для которого dim H = n±(A).

Оператор функцию

γ(λ)

: ρ(Ae)

→ B(H, Nλ),

назывют γ-полем

e A,

оператора

порожденным расширением Ae, åñëè:

R:4.4

L:4.2

(i)γ(λ) изоморфно отображает H íà Nλ ïðè âñåõ λ ρ(Ae);

(ii)Справедливо тождество:

γ(λ) = Uζλγ(ζ) := [I + (λ − ζ)(A − λ)−1]γ(ζ),

λ, ζ ρ(A).

(9.5)

E:4.1

ïîëå

оператора

, соответствующее

Таким образом, чтобы получить γ-

e γ(λ)

расширению A = A , следует задать γ(λ) для некоторого ζ

ρ(A), как ограниченно

E:4.1

обратимый оператор из B(H, Nλ0 ), а затем экстраполировать ее в соответствии с (

9.5)

по правилу

γ(e) =eUζλγ(ζ)

Eq:4.8

(·)

Замечание 4.9.3. Òàê êàê γ

голоморфна

ρ(A)

, òî â

ñèëó

(9.17) Q-функция

Eq:4.8

Q( ) также голоморфно продолжается на ρ(A). При этом тождество (

9.17) îñòà¼òñÿ

верным·

äëÿ

z, ζ

ρ(A)

Лемма 4.9.4.

Пусть

e Π = {H, 0, 1} граничная тройка для оператора A , A0 :=

A ker 0. Тогда:

(i) При каждом λ ρ(A0) справедливо прямое разложение

dom (A ) = dom (A0) u Nλ,

λ ρ(A0).

(9.6)

Eq:4.2

(ii) оператор-функция

γ(λ) := ( 0 Nλ)−1 ,

λ ρ(A0)

(9.7)

E:4.1a

определена корректно и голоморфна в ρ(A0) со значениями в B(H, Nλ);

(iii)γ(λ) является γ-полем оператора A, соответствующим расширению A0.

(iv)Справедливо тождество

γ (

) = 1(A0 − λ)−1, λ ρ(A0).

(9.8)

E:4.16

4.9. ФУНКЦИЯ ВЕЙЛЯ

105

Доказательство. (i) Действительно, пусть f dom (A ). Òàê êàê λ ρ(A0), òî

найд¼тся единственный вектор g

dom (A0), для которого (A0

−

λ)g = (A

−

λ)f. Íî

тогда

f − g Nλ

Eq:4.2

Eq:4.è2разложение (9.6) доказано.

(ii) Èç

вытекает, что ker ( 0 Nλ) = {0} è 0Nλ = 0(dom (A )) = H. Ïî

(9.6)

теореме Банаха 0

топологически изоморфно отображает N1

λ íà H (напомним, что

0 B(H+, H)). Следовательно, оператор γ(λ) = ( 0 Nλ)− ( B(H, Nλ)) определ¼н

корректно, ограничен и топологически изоморфно отображает H íà Nλ.

D:4.1

(iii) Покажем, что γ(λ) являетсяE:4.1 γ-полем. Свойство (i) определения

4.9.2

óæå

доказано. Докажем тождество (

Пусть fζ Nζ, тогда

9.5).

fλ := Uζλfζ = fζ + (λ − ζ)(A0 − λ)−1fζ Nλ.

(9.9)

Eq:4.3

Èç

(9.9) вытекает, что 0fλ = 0fζ

=: h. Из этого равенства и (

9.9) получаем fλ =

γ(λ)h, fζ = ζ(ζ)h,

γ(λ)h = γ(ζ)h + (λ − ζ)(A0 − λ)−1γ(ζ)h.

(9.10)

E:4.5

E:4.1

E:4.5

Íî

(9.10) совпадат с (

9E:3.5)..2Голоморфность γ(λ) íà ρ(A0) также вытекает из

(9.10).

(iv) Положим в

(6.2) f = (A0 − λ)−1h, h H è g = γ(

)u N

. Тогда

(A f, g) − (f, A g) = (h, γ(

)u),

( 1f, 0g)H − ( 0f, 1g)H = ( 1(A0 − λ)−1h, u)H u H.

E:4.16

Сопоставляя эти равенства, приходим к (

9.8). 2

4.9.2Функция Вейля

D:4.0	Определение 4.9.5. Пусть Π =	{H, 0, 1}	граничная	тройка для A .
	Оператор-функция M(·), определ¼нная равенством
	M(λ) 0fλ = 1fλ,	fλ Nλ,	λ ρ(A0),
	M(λ) 0fλ = 1fλ,	fλ Nλ,	λ ρ(A0),	(9.11)	E:4.0
	называется функцией Вейля оператора A, соответствующей граничной тройке Π.
	Теорема 4.9.6. Пусть Π = {H, 0, 1} граничная тройка оператора A , M(·)
P:4.5
	соответствующая функция Вейля. Тогда:

(i)M(·) корректно определена и голоморфна в ρ(A0) как оператор-функция со значениями в B(H);

(ii)Äëÿ âñåõ λ, ζ ρ(A0) справедливо тождество

M(λ) − M(ζ) = (λ −

)γ(ζ) γ(λ); (λ, ζ ρ(A0));

(9.12)

Eq:4.8M

(iii) M(·) является R[H]-функцией и удовлетворяет условию

0 ρ(ImM(λ)),

λ C+ C−.

(9.13)

E:4.14

D:4.3

C:4.14

106 ГЛАВА 4. ГРАНИЧНЫЕ ТРОЙКИ И СОБСТВЕННЫЕ РАСШИРЕНИЯ.

		E:4.1a		E:4.0
		E:4.1a		E:4.0
Доказательство.	(i) С уч¼том равенства (	9.7) определение		(9.11) функции Вейля
Доказательство.	(i) С уч¼том равенства (	9.7) определение		(9.11) функции Вейля
перепишется в виде
M(λ) = 1 ( 0 Nλ)−1 = 1γ(λ),			λ ρ(A0).		(9.14)

Eq:4.9

Из (9.14) вытекает корректность определения функции Вейля и е¼ голоморфность в

ρ(A0).

(ii) Применяя формулу Грина к векторам f = γ(λ)u Nλ è g = γ(ζ)v Nζ (u, v H), получаем

(λ − ζ)(γ(λ)u, γ(ζ)v) = ( 1γ(λ)u, 0γ(ζ)v)H − ( 0γ(λ)u, 1γ(ζ)v)H

(9.15)

= (M(λ)u, v)H − (u, M(ζ)v)H

= ((M(λ) − M(ζ) )u, v)H.

Eq:4.8

Это доказывает тождество (

9.17)

Eq:4.8M

Eq:4(iii).8M Полагая в тождестве (

9.12) ζ = λ, получим M(λ) = M (λ). Далее, полагая

= λ, придем к неравенству

(9.12) ζ

M(λ) − M(λ)

= γ(λ) γ(λ) ≥ 0,

λ C+ C−,

(9.16)

λ − λ

откуда следует, что M является R[H]-функцией. Так как γ(λ) изоморфно отображает

íà N

, òî γ(λ) γ(λ) топологический

автоморфизм в

, и, значит 0

ρ(γ(λ) γ(λ))

E:4.14

äëÿ âñåõ λ C+ C−. Это доказывает

(9.13). 2

Замечание 4.9.7. Оператор-функция Q : C+ C− → B(H) называется Q-функцией

эрмитова оператора A, принадлежащей его самосопряж¼нному расширению Ae = Ae , если справедливо тождество

Q(λ) − Q (ζ) = (λ −

)γ (ζ)γ(z), λ, ζ C+ C−,

(9.17)

в котором Eq:4γ(·).8M γ-поле оператора A, порожд¼нное расширением Ae.

Из (9.12) следует, что функция Вейля M(λ) симметрического оператора A является его Q-функцией, соответствующей расширению A0 (= A ker 0).

Следствие 4.9.8. Если функция Вейля M(λ) симметрического оператора A допускает голоморфное продолжение через интервал (α, β), òî M(λ) строго возрастает при λ (α, β), òî åñòü

M(λ1) ≤ M(λ2) è 0 ρ(M(λ2) − M(λ1)) ïðè α < λ1 < λ2 < β.								(9.18)
Доказательство. Из формулы	обращения Стилтьеса вытекает, что						Σ(t) ≡ const
	E:4.23a
	E:4.23a
ïðè t (α, β). Поэтому формула		принимает вид
ïðè t (α, β). Поэтому формула	(9.3)	принимает вид
M(λ) = C0 + C1λ +			1	−	t	dΣ(t).
			1
			t λ		1 + t2
	Z		−

R\(α,ρ)

Eq:4.9

Eq:4.10

E:4.15

Eq:4.8

eq:Mincr

4.222

4.9. ФУНКЦИЯ ВЕЙЛЯ

107

Легко видеть, что при λ1, λ2 (α, β) è λ1 < λ2

1 + t2

ε :=

min

> 0.

t R\(α,β) (t − λ1)(t

− λ2)

Поэтому при λ1, λ2 (α, β) è λ1 > λ2 получаем

t 1λ2

− t 1λ1 dΣ(t)

M(λ2) − M(λ1) = C1(λ2

− λ1) +

−

R\(α,β)

= C (λ

−

) +

(λ2 − λ1)(1 + t2) dΣ(t)

(t − λ1)(t − λ2) 1 + t2

R\(α,β)

≥ (λ2 − λ1) min{ε, 1}ImM(i).

E:4.14

Отсюда следует неравенство M(λ1) ≤ M(λ2), à â ñèëó

и соотношение 0

(9.13)

ρ(M(λ2) − M(λ1)). 2

C:4.14

Eq:4.8

Óïð. 4.9.9. Вывести следствие

4.9.8 из формулы

(9.17).

Теорема 4.9.10.

[?] Пусть M(λ) функция Вейля симметрического оператора A,

соответствующая граничной тройке {L, 0, 1}. Тогда для всех u H справедливы

соотношения

y→∞

H = 0

lim

ImM(iy)

u, u

(9.19)

eq:8.3b

ylim y(ImM(iy)u, u)H = ∞

(u L, u 6= 0).

(9.20)

eq:8.3c

→∞

eq:4.8M

Доказательство. Из равенства (

??) следует, что

ImM(λ)

= γ(λ) γ(λ).

E:4.1

Imλ

Отсюда и из

(9.5) получим для u H

1 + t2

ImM(iy)

u, u H = ZR

dσ(t) ≥ 0,

t2 + y2

ãäå

σ(t) = (Etγ(i)u, γ(i)u),

(9.21)

eq:8.5

à Et (t R) разложение единицыeq:8.3b

A0. Из теоремы

самосопряженного оператора

Беппо Леви получаем соотношение (

9.19).

Далее, из равенства

y(Im M(iy)u, u) = ZR

(1 + t2)dσ(t)

t2 + y2

и теоремы Беппо Леви следует, что

y→∞

eq:8.5

lim y(Im M(iy)u, u) =

(1 + t2)dσ(t).

некоторого

u L

этот предел конечен, получим в силу (

Предполагая, что для

9.21)

eq:4.2

γ(i)u dom A0, ÷òî â ñèëó (

??) возможно только при u = 0. 2

108 ГЛАВА 4. ГРАНИЧНЫЕ ТРОЙКИ И СОБСТВЕННЫЕ РАСШИРЕНИЯ.

4.9.3Функция Вейля и спектры собственных расширений.

С помощью функции Вейля можно описывать спектры всех собственных расширений.

P:4.10

Предложение 4.9.11. Пусть Π = {H, 0, 1} граничная тройка оператора A ,

эквивалентности:·

Ce H

) è λ

(9.22)

3.11.21

M( ) соответствующая функция Вейля, Θ

(

ρ(A

). Тогда справедливы

ρ(AΘ) 0 ρ(Θ − M(λ));

σi(AΘ)

σi(Θ

−

M(λ)),

{

p, c, r

}

;

(9.23)

3.11.22

При этом, имеют

место равенства

ker(AΘ − λ) = γ(λ) ker(Θ − M(λ)).

(9.24)

E:4.20

Доказательство. (i) Èç

Aλ â (4.4) è

AB â

E:3.8B

определения функции Вейля и расширений

E:8.93

(7.2) вытекает соотношение

Aλ = AM(λ) := A ker( 1 − M(λ) 0),

λ ρ(A0).

Из леммы 2.4.18 и

L:8.11

P:3.8

предложения

4.7.8 получаем следующую цепь эквивалентностей:

λ ρ(AΘ) AΘ è AM(λ) трансверсальны

−

(

))

e u

H H

ρ(Θ

gr (M(λ)) =

3.11.21

доказывающую эквивалентность (

9.22).

L:8.11

(ii) Следующая цепь эквивалентностей также вытекает из Леммы

2.4.18

P:3.8

Предложения

4.7.8:

γ(λ)h ker(AΘ − λ) γ(λ)h dom (AΘ)

−

{

(

)

} e

ker(Θ

M(λ)),

h, M

E:4.20

что и доказывает

(9.24). Кроме того, отсюда следует и соотношение

λ σp(AeΘ) 0 σp(Θ − M(λ)).

3.11.22

(iii) Теперь утверждение (9.23) с i = r является следствием очевидных соотношений AeΘ = AeΘ , M(λ) = M (λ) и эквивалентностей

λ σr(AeΘ) λ σp(AeΘ) 0 σp(Θ − M(λ)) 0 σr(Θ − M(λ)).

Òàê êàê σc(T3).11=.22σ(T )\(σp(T ) σr(T )) для каждого оператора T C(H), то эквивалентность (9.23) при i = c доказана. 2

4.9. ФУНКЦИЯ ВЕЙЛЯ

109

Пример 4.9.12. Пусть H = L2(

R+

), A

−

D2, dom (A

) = W 2,2

(

R+

), dom (A

) =

4.1a

min

W 2,2(R+). Одна из граничных троек оператора Amin

имеет вид

Π = {C, 0, 1},

0f = f(0),

1f = f0(0).

(i) Найдем дефектное подпространство Nλ оператора Amin. Пусть √

ветвь

корня в

\ R+, выделяемая условием

√

. Тогда всякое решение уравнения

1 = 1

−fλ00(t) = λfλ(t),

fλ dom (A )

имеет вид

√

fλ = C1ei λt + C2e−i λt, λ C+ C−.

Òàê êàê e−i λt

L2, то дефектное подпространство N

состоит из функций вида

√

fλ = C1ei λt L2(R+). Теперь 0fλ = C1 è 1fλ = C1i λ, и следовательно, функцию Вейля и γ-поле оператора Amin принимают вид

√√

M(λ) = i λ, γ(λ) = ei λt.

Eq:4.8M

Далее, тождество (9.12) запишется в виде

√p

i λ − i ζ = (λ − ζ)γ (ζ)γ(λ).

(ii)Найдем функцию Вейля расширения Aeh,

dom (Aeh) = {f W 2,2(R+) : f0(0) = hf(0)}, h C.

z0 σp(Aeh)R+ = ker(h − M(z0)) 6= {0}.

(iii) Найдем спектры расширений.

h − i√

= 0

(9.25)

E:4.22a

√

−

E:4.22a

ih.

Åñëè h =

, то уравнение

(9.25) имеет решение только при h < 0, z0 = −h2

P:4.10

Предложение

4.9.11 позволяет дать другое доказательство теоремы ?? и

одновремено дополнить ее.

A симметрический оператор в

H è n+(A) =

P:4.13

Предложение 4.9.13. Пусть

n−(A). Тогда:

(i) справедливы прямые разложения

dom (A ) = dom (A) u Nλ1 u Nλ2 ,	Imλ1 · Imλ2 < 0;	(9.26)	E:4.22
(ii) если оператор A имеет лакуну (α, β), то справедливы прямые разложения
dom (A ) = dom (A) u Nλ1 u Nλ2 ,	α < λ1 < λ2 < β.
dom (A ) = dom (A) u Nλ1 u Nλ2 ,	α < λ1 < λ2 < β.	(9.27)	E:4.23

110 ГЛАВА 4. ГРАНИЧНЫЕ ТРОЙКИ И СОБСТВЕННЫЕ РАСШИРЕНИЯ.

Доказательство. (i) Пусть Π = {H, 0, 1} некоторая граничная тройка и M(·)

соответствующаяL:8.11 функция Вейля. Тогда Aλ = AM(λ)(:= A ker( 1 − M(λ) 0)). Â

Последнее включение выполнено в силу следствияe?? и неравенства Imλ1

Imλ2 < 0.

силу леммы 2.4.18 Aλ1 è Aλ2 трансверсальны точно тогда, когда

0 ρ(M(λ1)−M(λ2))

C:4.7

(ii)

Ïî

теореме

Крейна

суцествует

самосопряженное расширение·

C:4..Тогда14

регулярна в лакуне

оператора

eè

сохраняющее лакуну (α, β). Выберем граничную тройку Π =

{H, 0

, 1} так, чтобы

A = A0(:= A

ker 0)

M(λ)

Aλ1

λ2

(α, β)

A0 = A

e ( 2))

1 2 (α, β)

L:8.11

(α, β)

4.9.8 строго

0 ρ(M(λ1) −

согласно следствию

монотонна в лакуне

, òî åñòü

M λ ïðè λ , λ

. По лемме

2.4.18

è A

трансверсальны. 2

4.10Формула Крейна для резольвент. Связь с граничными тройками.

T:35.1 Теорема 4.10.1. Пусть Π = {H, 0, 1}−граничная тройка для A , M(·)−

соответствующая функция Вейля, AeΘ−собственное расширение оператора A, è

λ ρ(AeΘ) ρ(A0). Тогда:

(i)

A = AΘ,

ãäå Θ := { 0, 1}dom (A);

(10.1)

E:35.1

(ii) справедливо

равенство

(AΘ − λ)−1 = (A0 − λ)−1 + γ(λ) · (Θ − M(λ))−1 · γ (

);

(10.2)

E:35.2

E:35.1

(iii) равенство

(10.1)

устанавливает биективное

соответствие

между

совокупностью резольвент

собственных расширений AΘ оператора

A, äëÿ

Θ â ( ), для которых 0

ρ(Θ M(λ)).

которых λ

ρ(AΘ)(6=

) и совокупностью замкнутых линейных отношений

C H

−

Доказательство. Утверждение (i) доказано ранее. (ii) Легко видеть, что для каждого g H

(AΘ − λ)−1g − (A0 − λ)−1g =: fλ Nλ.

(10.3)

E:35.3

ПолагаяL:4.2

f := (AΘ

λ)−e1g, и учитывая определение 4.9.5 функции Вейля и лемму

4.9.4,

получим

−

D:4.0

{ 0f, 1f} = { 0fλ, 1(A0 − λ)−1g + 1fλ} = { 0fλ, γ (

)g + M(λ) 0fλ}.

(10.4)

E:35.4

E:35.1

Èç

(10.4) ñ ó÷¼òîì

(10.1) получаем

{ 0fλ, γ (

)g} Θ − M(λ).

(10.5)

E:35.5

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1611 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.04.20151.78 Mб24методичка вышка.pdf
#
16.03.20168.21 Mб956Методичка грам последн 2013.doc
#
01.05.2025108.08 Кб0Методичка ГЭК маг II.docx
#
01.05.2025261.63 Кб0Методичка ГЭК магістри I.doc
#
01.04.2025920.58 Кб0методичка Деньги и кредит.doc
#
13.04.2015973.11 Кб36Методичка ДЕРКАЧА.pdf
#
16.03.201678.87 Кб24методичка до курсових робіт.docx
#
14.11.2019183 Кб2Методичка Екологічне 2011-3.docx
#
13.04.2015533.5 Кб31Методичка Екологічне право 2013.doc
#
29.04.2019863.23 Кб6Методичка з Цивільного права (Особлива частина)....doc
#
01.05.2025566.78 Кб0Методичка земельное.doc