Методичка ДЕРКАЧА

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донецкий национальный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

4.6.2 и соотношения

и Упражнения (

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.04.2015

Размер:

973.11 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1610 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

4.5. НЕВАНЛИННОВСКИЕ ПАРЫ

для некоторого

äëÿ

âñåõ λ C+ è ïðè ýòîì

åñëè α

σp

C(λ0)

λ0

C+ è |α| = 1, òî α σp

C(λ)

ker(C(λ0) − α) = ker(C(λ) − α);

(5.5)

eq:KerId

λ C+.

для некоторого

0 C+

)

äëÿ âñåõ

λ, λ

åñëè 0

ρ K(λ

, λ

)

, òî

Доказательство. 1) Пусть 0 σp K(λ0, λ0)	K(λ0, λ0)h0 = 0 для некоторых
λ0 C+ è h0 6= 0. Тогда из неотрицательности матрицы

(K(λ0, λ0)h0, h0) (K(λ0, λ)h0, h) , (K(λ, λ0)h, h0) (K(λ, λ)h, h)

следует, что (K(λ0, λ)h0, h) = 0 для произвольных λ C+, h H и, следовательно, T h0 = h0 для сжатия T = C(λ) C(λ0). Тогда h0 является собственным и для оператора T = C(λ0) C(λ) и, следовательно,

kh0k = kC(λ0) C(λ)h0k ≤ kC(λ)h0k.

Отсюда получаем неравенство

(0 ≤)(K(λ, λ)h0, h0) = (h0, h0) − (C(λ)h0, C(λ)h0) ≤ 0,

которое означает, что K(λ, λ)h0 = 0. Это доказывает утверждение 1).

2)В частности, пусть α σp C(λ0) (|α| = 1) è C(λ0)h0 = αh0 для вектора

h0 6= 0. Тогда h0 является собственным для сжатия T = C(λ) , соответствующим

собственному значению α−1 и для сжатия T = C(λ), соответствующим собственному

− eq:KerId

значению α = α. Это доказывает равенство (5.5).

для некоторого

3) Пусть 0

ρ K(λ0, λ0)

λ0

C+. Тогда оператор

C(λ0)

является строгим сжатием и пространство H

допускает разложение

C(I

0) .

H2 = ran

C(λ0)

u ran

(5.6) eq:decom

. Тогда существует последовательность

Допустим, что 0

σc K(λ, λ)

, такая

÷òî khnk = 1 è K(λ, λ)hn → 0 ïðè n → ∞. Пользуясь разложением (

eq:decom

5.6), представим

hn0

C(λ0) h00

C(λ)hn

= C(λ0)hn0

u ran

hn00

(5.7)

eq:decom1

ãäå hn0 , hn00 H. Из неотрицательности матрицы

(K(λ0, λ0)hn0 , hn0 ) (K(λ0, λ)hn0 , hn)

(K(λ, λ0)hn, hn0 )

(K(λ, λ)hn, hn)

92 ГЛАВА 4. ГРАНИЧНЫЕ ТРОЙКИ И СОБСТВЕННЫЕ РАСШИРЕНИЯ.

следует что

(K(λ0, λ)h0n, hn) → 0 eq:decom1

ïðè n → ∞. Пользуясь (5.7) получим

((I − C(λ0) C(λ0))h0n, h0n) → 0.

В силу условия 0 ρ K(λ0, λ0) это означает, что

hn0 → 0. Далее, из равенства

((I − C(λ) C(λ))hn, hn) = ((I − C(λ0) C(λ0))hn0 , hn0 ) − ((I − C(λ0)C(λ0) )hn00, hn00)

получим

((I − C(λ0) C(λ0))hn0 , hn0 ) → 0,

что в силу условия 0 ρ(I − C(λ0) C(λ0)) означает, что hn00 → 0. Таким образом,

hn → 0 ïðè n → ∞, что противоречит равенствам khnk = 1. 2

LR_450.5.6. Пусть {A, B} Неванлинновская пара в H è τ(λ) определено

LRP:44

Предложение

равенством

(5.1).

Тогда:

äëÿ âñåõ λ

C+ C−;

для некоторого

1) åñëè 0

σp NAB(λ0

, λ0)

λ0 C+ C−, òî 0 σp NAB(λ, λ)

−

для некоторого

äëÿ

2) åñëè 0 ρ NAB(λ0, λ0)

λ0 C+ C−, òî 0 ρ NAB(λ, λ)

âñåõ λ0

C+

C .

3)mul τ(λ) не зависит от λ C+ C−;

4)åñëè H0 = mul τ(λ), H1 = H H0, то существует семейство τ1(·) RH1 , такое

÷òî

τ(λ) = gr τ1(λ)

h : h H0

;

eq:Kern

Доказательство. 1) Из тождества

(5.4) следует равенство

ker N(λ, λ) = B(λ) + iA(λ) −1 ker K(λ, λ).

lem:MaxP

Таким образом, утверждение 1) является следствием утверждения 1) Леммы

4.5.5.

2) Так как оператор B(λ) + iA(λ)

lem:MaxP

eq:Kernλ C+, òî

является обратимым при всех

утверждение

2) вытекает из пункта 2) Леммы

4.5.5 è

тождества

(5.4).

LR_50

3) Èç

(5.1) следует, что

mul τ(λ) = ker(C(λ) − I).

lem:MaxP

Таким образом,

утверждение 3) вытекает из пункта 3) Леммы

4.5.5, а утверждение 4)

LRE:24

из Упражнения

4.3.7. 2

4.6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА ГРАНИЧНЫХ ТРОЕК.

4.6Определение и свойства граничных троек.

Пусть H гильбертово пространство, A замкнутый симметрический опрератор в H с плотной областью определения dom (A) и равными индексами дефекта. Обозначим через H+ линеал dom (A ), снабженный скалярным произведением

(f, g)+ := (f, g) + (A f, A g).

(6.1)

E:3.1a

Òàê êàê A замкнут, то пространство H+ гильбертово. При этом норма в H+ (норма

графика) определяется равенством kfk+2 = kfk2 + kA fk2.

Определение 4.6.1. Совокупность Π = {H, 0, 1} в которой H гильбертово

D:3.1

пространство, а

j : H+ → H

линейное отображение,

j {0, 1}

, называется

åñëè:

граничной тройкой для оператора A

(i) справедлива формула Грина

(A f, g)H − (f, A g)H = ( 1f, 0g)H − ( 0f, 1g)H

f, g dom (A ); (6.2)

E:3.2

(ii) отображение = { 0, 1} : dom (A ) → H H сюрьективно.

Лемма 4.6.2. Пусть Π = {H, 0, 1} граничная тройка оператора A . Тогда:

L:3.1n

(i)

j B(H+, H), j {0, 1}.

(ii)

ker = dom (A) =: H+0 .

(iii) Фактор отображение ˜

→ H H задает топологический

H+/H+

изоморфизм.

Доказательство. (i) Докажем замыкаемость отображения : H+ → H H. Пусть

kfnk+2 = kfnk2 + kA fnk2 → 0 è fn = { 0fn, 1fn} → {ϕ0, ϕ1}.

Так как сюръективно, то найдется g

dom (A ) такой, что

= ϕ

E:3.2

−ϕ0. Полагая в

(6.2)

и переходя к пределу при

n → ∞

, приходим к

f = fn2

g = g0

равенству 0 = kϕ0kH

+ kϕ1kH. Значит, ϕ0 = ϕ1 = 0 и отображение замыкаемо. Так

dom ( ) = H+, то отображение замкнуто и по

E:3.2

[H+, H H]

êàê

теореме Банаха

(ii) Пусть f ker òî åñòü 0f = 1f = 0. Тогда

принимает вид (A f, g) =

(6.2)

(f, A g), g dom (A ). Значит, f dom (A ) = dom (A).

Обратно, пусть

dom (A). Выберем g

dom (A ) так, чтобы 0g = 1f è

E:3.2

1g = − 0f. Тогда

(6.2) принимает вид 0 = k 1fk

+ k 0fk . Значит, 0f = 1f = 0.

EXE:3.7 Óïð. 4.6.3. Доказать равенство dim H = n±(A).

94 ГЛАВА 4. ГРАНИЧНЫЕ ТРОЙКИ И СОБСТВЕННЫЕ РАСШИРЕНИЯ.

С каждой граничной тройкой связаны два расширения

Aj = A dom (Aj),

dom (Aj) = ker j,

j {0, 1}.

(6.3)

E:3.1p

, j

{

0, 1

}

EXE:3.8

Óïð. 4.6.4. Доказать, что

Доказать,

÷òî

трансверсальны.

Решение

Òàê êàê ker = dom (A), òî dom (A0) ∩dom (A1) = ker( 0) ∩ker( 1) =

ker( ) = dom (A), ò.å. A0 è A1 дизъюнктны.

dom (A )

Докажем

трансверсальность

расширений

A0 è

A1. Пусть f

= { 0f, 1f} =: {h0, h1} H H. Тогда в силу сюрьективности отображения

существуют f0, f1 dom (A ), такие что

f0 = {0, h1},

f1 = {h0, 0}.

(6.4)

E:3.5

Из соотношений

(6.4) вытекает, что fj dom (Aj), j {0, 1}. Кроме того,

−

0 −

) = 0, ò.å. f

= f

−

dom (A). Поэтому, полагая f0

= f

+ f

− 0

dom (A1), получаем f = f0 + f1 + fA = f0 + f10 dom (A0) + dom (A1). Значит,

dom (A ) = dom (A0) + dom (A1).

(6.5)

E:3.4

prop:3.1

Предложение 4.6.5. Пусть

симметрический

оператор

равными

è A0

åãî

некоторое

самосопряженное

дефектными числами, dom (A)

расширение. Тогда существует граничная тройка Π = {H, 0, 1} оператора A

такая, что: dom (A0) = ker 0, ò.å. A0

= A0.

Доказательство. (i) Согласно 1-ой формуле Неймана справедливо ортогональное

разложение

H+ = dom (A ) = dom (A) Ni

N−i.

(6.6)

E:3.6

Пусть P±i

ортопроекторы на N±i в разложении

(6.6). Òàê, êàê dim Ni = dim N−i,

то по 2 ой формуле Неймана найдется изометрия V , отображающая Ni

íà N−i, такая

÷òî dom (A0) = dom (A) + (I − V )Ni. Тогда совокупность Π = {H, 0, 1}, в которой

H = N−i, 1 = P−i − V Pi è 0 = −iP−i − iV Pi,

образует граничнуюE:3.6

тройку оператора A . Действительно, если f, g

dom (A ), òî

согласно

(6.6)

fA, gA dom (A).

f = fA + P−if + Pif,

g = gA + P−ig + Pig,

Легко видеть, что

(A f, g) − (f, A g) = 2i(P−if, P−ig) − 2i(Pif, Pig).

(6.7)

E:3.7

C другой стороны, из определения j,

j {0, 1},

ó÷¼òîì

изометричности

получаем

( 1f, 0g) − ( 0f, 1g) = 2i[(P−if, P−ig) − (Pif, Pig)].

(6.8)

E:3.8

EXE:3.9

L:3.1a

4.7. ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ СОБСТВЕННЫХ РАСШИРЕНИЙ.

E:3.7

E:3.8

E:3.2

Сравнивая

(6.7) ñ

(6.8), приходим к формуле Грина (

6.2).

(ii) Покажем сюрьективность отображения = { 0, 1}. Пусть h0, h1 H H.

Полагая

f = fi + f−i, 2fi = V −1(h1 − ih0), 2f−i = h1 + ih0,

приходим к равенству f = { 0f, 1f} = {h0, h1}. 2

E:3.7

E:3.8

Óïð. 4.6.6. Проверить тождества (

6.7) è

(6.8).

π : X → Y

Лемма 4.6.7. Пусть X,

Y B пространства,

непрерывное

сюрьективное линейное

отображение,

X0 =

ker π, X1

замкнутое

подпространство в X. Тогда:

(i)Для каждого замкнутого подпространства Y1 â Y , π−1(Y1) замкнутое подпространство в X.

(ii)Образ π(X1) пространства X1 замкнут в Y в точности тогда, когда X1 è X0 образуют острый угол, т.е. когда X1 + X0 замкнуто.

Доказательство. (i) Вытекает из непрерывности отображения π.

(ii) Пусть Y1 = π(X1) замкнуто в Y1. Тогда π−1(Y1) = X1 + X0 замкнуто, т.е. óãîë ϕ(X1, X0) острый. Обратно, пусть угол ϕ(X1, X0) острый, т.е. X1 + X0 замкнуто. Тогда π(X1) замкнуто в Y .

4.7Параметризация собственных расширений.

D:3.2	Определение 4.7.1. Расширение		A симметрического оператора A называют
	собственным, если A A A . Совокупность всех собственных расширений
	оператора A обозначают Ext	.	e
	e A

Ясно, что каждое симметрическое, в частности, самосопряженное, расширение

A оператора A является собственным.

Отображение = { 0, 1} : H+ → H H задает биективное

L:3.2

Предложение 4.7.2.

соответствие между совокупностью ExtA собственных расширений A оператора

A и совокупностью C(H) замкнутых линейных отношений в H

ExtA

eΘ := (dom (A)) =

{{

0f, 1f

}

: f

dom (A)

(

(7.1)

E:3.8x

e →

} Ce H

(будем писать AeΘ := Ae). При этом справедливы соотношения

(i)(AeΘ) = AΘ ;

(ii)AeΘ1 AeΘ2 Θ1 Θ2;

96ГЛАВА 4. ГРАНИЧНЫЕ ТРОЙКИ И СОБСТВЕННЫЕ РАСШИРЕНИЯ.

(iii)AeΘ1 è AeΘ2 дизъюнктны Θ1 ∩ Θ2 = {0};

(iv)AeΘ1 è AeΘ2 трансверсальны Θ1+Θ˙ 2 = H H;

(v) AΘ1	è	A0	дизъюнктны Θ = gr B,				B C(H);
eΘ1		e0	трансверсальны	Θ = gr		B, B		B(H)
(vi) A	è	A	трансверсальны			B, B		.
e		e			L:3.1n			: f dom A dom A 7→

Доказательство. В силу Леммы 4.6.2 отображение

{ 0f, 1f}

устанавливает также взаимно-

dom A

è H

задает топологический

изоморфизм

между dom A

L:3.1n

. Поэтому

однозначное

соответствие

между

C(H). В силу той же Леммы

справедливо утверждение

множествами ExtA

4.6.2

(i) Пусть

получим из (6.2)

(ii).

dom A

. Тогда для всех f

dom A

E:3.2

(AΘf, g)e

(f, AΘg) = ( 1f, 0g)

−

( 0f, 1g)

= 0.

−

Отсюда следует, что

0g, 1g e

Θ . Обратно, если

h, h0

Θ , è g

вектор из

{

}

{

}

E:3.2

dom A , такой что 0g = h, 1g = h0, òî äëÿ âñåõ f dom AΘ получим из

(6.2)

= 0.

(AΘf, g) − (f, AeΘg) = ( 1f, h)H

− ( 0f, h )H

Следовательно, g dom AeΘ.

(iii)&(iv) Утверждения (iii) и (iv) следуют из Леммы

(v)&(vi) Утверждения (v) и (vi) следуют из (iii), (iv)

Замечание 4.7.3. В том случае, когда Θ является графиком линейного оператора B

мы будем использовать обозначение AeB для расширения AeΘ, область определения которого теперь может быть записана в виде

			dom AB = {f dom A : 1f = B 0f}			(7.2)			E:3.8B
	и называть оператор B		e
	и называть оператор B		e
			граничным оператором.
			2	[0; ∞]	d2		A
			2
ex:3.1	Пример	4.7.4. В пространстве H = L						,
ex:3.1	Пример				рассмотрим минимальный оператор			,

порожденный дифференциальным оператором −dx2 , с областью определения

dom (A) = W02,2(R+) = {f W 2,2(R+) : f(0) = f0(0) = 0}.

Тогда максимальный оператор совпадает с A : f → −d2f

dx2 и имеет область определения dom (A ) = W 2,2(R+). Запишем формулу Грина для оператора A

∞∞

(A f, g)

(f, A g) =

dx = f0(0)g(0)

f(0)g0

(0) =

−

f00gdx + fg00

−

=( 1f, 0g) − ( 0f, 1g).

4.7. ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ СОБСТВЕННЫХ РАСШИРЕНИЙ.

В качестве граничной тройки можем взять

0f = f(0), 1f = f0(0), H = C.

Сюръективность отображения : W 2,2(R+) → C C очевидна. Все собственные расширения оператора A имеют вид

Ae : f → −d2f , f dom (Ae) = {f W 2,2(R+) : f0(0) = hf(0)}, dx2

ãäå h C ∩ {∞}. Таким образом имеем соответствие Ah ↔ h, A∞ ↔ ∞.

{

W 2,2

(R+) :

(0) = 0

}

h e

−

dom (A

∞

) = ker

, dom (A ) = ker(

Лемма 4.7.5. Пусть t[u, v] неотрицательная билинейная форма в H, dom (t) H

L:3.01

è t[u] := t[u, u] > 0. Тогда

|t[u, v]| 6 (t[u])1/2(t[v])1/2,

u, v dom (t).

(7.3)

E:3.01

Замечание 4.7.6. Åñëè t[u, v] = (Bu, v), B B(H) è B > 0, òî

E:3.01

R:3.01

(7.3) принимает вид

|(Bu, v)| 6 (Bu, u)1/2(Bv, v)1/2.

(7.4)

E:3.02

Лемма 4.7.7. Каждое диссипативное расширение Ae симметрического оператора

L:3.02

A является собственным, Ae ExtA.

Доказательство. Введем билинейную форму t, полагая

t f, g

−1

Af, g

f, Ag

(7.5)

E:3.03

Так как оператор[ ] (2

)

( e

)

− (

)

dom (

) = dom ( e)

L:3.01

dom (t). Кроме

диссипативен, то t[f] = Im(Af, f) > 0, f

A A

et[f] = 0, f dom (A). Ïî

òîãî, òàê êàê

, òî

лемме

4.7.5:

2|t[f, g]| =

f dom (A),

g dom (A).

(Af, g) − (f, Ag) 6 t[f]1/2t[g]1/2 = 0,

Таким образом

(Af, g) = (f, Ag),

f dom (A),

g dom (A).

(7.6)

E:3.04

Òàê êàê

E:3.04

äëÿ âñåõ g

e dom (A) è dom (A) = H, òî f

равенство

(7.6) верно

dom (A ) è Af = A f, ò. å. A A è A ExtA. 2

Π = {H, 0

, 1}

P:3.8

Предложение 4.7.8. Пусть

симметрический оператор,

граничная тройка оператора A

è A0 = A ker 0. Тогда:

В частности,

98ГЛАВА 4. ГРАНИЧНЫЕ ТРОЙКИ И СОБСТВЕННЫЕ РАСШИРЕНИЯ.

(i)Åñëè Θj Ce(H), j {1, 2}, è ρ(Θ1)∩ρ(Θ2) 6= , то дизъюнктность расширений

AeΘ1 è AeΘ2 эквивалентна условию

0 / σp[(Θ1 − z)−1 − (Θ2 − z)−1],

z ρ(Θ1) (Θ2).

(7.7)

E:3.5p

(ii)Åñëè Θj Ce(H), j {1, 2}, è ρ(Θ1) ∩ ρ(Θ2) 6= , то трансверсальность расширений AeΘ1 è AeΘ2 эквивалентна условию

	0	ρ[(Θ1 − z)−1 − (Θ2 − z)−1],			z ρ(Θ1) (Θ2).				(7.8)	E:3.5pt
(iii) Åñëè Θ1	(	), à Θ2 = B (H), то верны эквивалентности
	Ce H	ker(Θ1 BB) =	0	Θ1	∩	grB =	0	}
		−	{ }		∩		{	}	(7.9)	E:23'
		0 ρ(Θ1 − B) Θ1 u grB = H H							(7.9)
		0 ρ(Θ1 − B) Θ1 u grB = H H
(ò.å. Θ1	è grB трансверсальны)

(iv)расширение Ae = AeΘ диссипативно (аккумулятивно), если и только если Θ диссипативно (аккумулятивно). При этом


n−(AeΘ) = n−(Θ)	n+(AeΘ) = n+(Θ) .

AeΘ максимально диссипативно (аккумулятивно) точно тогда, когда Θ диссипативно (аккумулятивно);

(iv)расширение AeΘ эрмитово в точности тогда, когда отношение Θ эрмитово. При этом n±(AeΘ) = n±(Θ).

Доказательство. (i) Åñëè z0 ρ(Θ1) ∩ ρ(Θ2), то отношения Θi представляются â âèäå Θi − z0 = {{(Θi − z0)−1f, f}, f H}, i {1, 2}.E:3Отсюда.5p E:3.5ptÿñíî, ÷òî èõ

дизъюнктность (трансверсальность) эквивалентна условию ( 7.7) ((7.8)).

E:23'

(ii) Эквивалентность (7.9) очевидна. Пусть, далее, Θ1 u grB = H H. Тогда

äëÿ âñåõ {h1, h2} H H найдутся векторы {f, f0 } Θ1 è {g, Bg} grB такие, что

h , f0

. Отсюда при h

0 получаем f0

−

Bf = h (h

), ò.å.

E:23'

ran (Θ1 − B) = H и, следовательно, в силу (

7.9) 0

ρ(Θ1 − B).

Обратно, пусть 0 ρ(Θ1 −B) è {h1, h2} H H. Тогда существует {f, f0 } Θ1

такой, что f0

−

. Полагая g

= h

−

f, получаем равенство

{

f, f0

}

E:23'1

{g, Bg} = {h1, h2}, доказывающее с уч¼том (

7.9)

L:3.02 Θ1 u grB = H H

разложение

(iii) Пусть A A è ImA ≥ 0. Согласно лемме

4.7.7 A ExtA, A = AΘ, ãäå

Θ = A = {{h0

, e1

} = {

, f

dom (

)}

. В силу формулы Грина для всех

f, g

)

dom (A

Im(AΘf, f)e= (2i)−1((AΘf, f)

−

(f, AΘf)) = (2i)−1(( 1f, 0f)

−

( 0f, 1f)

) =

E:3.22a

E:3.33a

L:1.1l

4.8. ФОРМУЛЫ ПЕРЕХОДА ОТ ОДНОЙ ГРАНИЧНОЙ ТРОЙКИ К ДРУГОЙ 99

= (2i)−1((h1, h0)H − (h0, h1)H) = Im(h1, h0)H,

откуда

вытекает, что

AΘ

диссипативны лишьL:3.2одновременно.

Òàê

êàê

E:3.8x

диссипативное

отношение

соответствие

(7.1)

сохраняет включение (Предложение

4.7.2),

òî AΘ максимальное

n (A ) > 0(

ρ(A ) = dim (A0

/A), что вытекает из

A0 :=

− Θ

точно

тогда,

когда таковым будет

. Åñëè

æå

диссипативных расширений, каждый "этаж"

существования "башни"

(Θ) = dim (Θ /Θ). Справедливость

AΘ A(1) A(2) ... A(n) := A0

вытекаетe e

теперьe из изоморфизмаe

−e

утверждения

которой одномерен. Аналогично

Θ0/Θ =

(A0

/A)/(A/A),

(ρ(Θ0 ) =

, ρ(A0) =

(7.10)

e 6

(iv)Так как отношение AeΘ эрмитово, если оно одновременно диссипативно

èаккумулятивно, то утверждение вытекает из предыдущего. Заметим еще, что

максимальное эрмитово отношение A будет максимально диссипативным лишь в случае n−(A) = 0. В противном случае (n−(A) > 0) оно допускает максимальное

диссипативное расширение A,

например

, ãäå f

, f

−i

A dom (

−i

= e A +

)

Óïð. 4.7.9. Пусть T изометрический оператор в H, H1 = dom (T ), H2

= ran (T )

è dim H1 = dim H2 . Доказать, что каждое сжимающее расширение

T оператора T ,

dom (T ) = H, имеет вид:

T = T T1, ãäå

T1 B(H1 , H2 ),

kT1k 6 1.

L:3.02

E:3.22a

Óïð.

. Доказать лемму

4.7.7, применив упражение

4.7.9 к преобразованию Кэли

4.7.10

T = (A − i)(A + i)−1 B(M−i, Mi) оператора A.

4.8Формулы перехода от одной граничной тройки к другой

Пусть A симметрический оператор, n+(A) = n−(A). Граничная тройка для A íå единственна. Найдем связь между двумя граничными тройками оператора A .

Лемма 4.8.1. Пусть Π = {H, 0, 1} è Π0 = {H0, 00, 01} граничные тройки для

оператора A , для которых ker 0 = ker 00

. Тогда существуют операторы K = K

B(H) è X B(H0, H), такие, что X−1 B(H, H0) è

= X−1 0,

0 = X ( 1 + K 0).

(8.1)

E:10.18

Обратно, пусть Π =

граничная тройка для A ,

гильбертово

E:10.18

пространство, dim

= dim

0 è 0 ,

определены равенствами

(8.1). Тогда

такую, что

совокупность Π0 = {H0, 00 , 10 } образует граничную тройку для

ker 0 = ker 00.

100 ГЛАВА 4. ГРАНИЧНЫЕ ТРОЙКИ И СОБСТВЕННЫЕ РАСШИРЕНИЯ.

Доказательство. (i) Проверим формулу Грина. Пусть f, g dom A . Тогда

( 01f, 00g)H0 − ( 00f, 01g)H0 = (X ( 1 + K 0)f, X−1 0g)H0

−(X−1 0f, X ( 1 + K 0)g)H0

=(( 1 + K 0)f, 0g)H − ( 0f, ( 1 + K 0)g)H

=( 1f, 0g)H − ( 0f, 1g)H = (A f, g) − (f, A g).

Докажем сюрьективность отображения 0. Пусть {h0, h1} H H è

h0 := Xh0, h1 := (X )−1 h1 − KX0h0.

В силу сюрьективностиe

{

, 1

}

dom (A )

отображения

, найдется вектор

такой что f

= { 0f, 1f} = {h0

, h1}. В силу соотношения

(8.1) эти равенства

{H, 10 , 00

}

E:10.18

эквивалентны

следующим: 0f =

{

0 f, 0

}

{

, h

. Таким образом, Π0 =

граничная тройка для A

(ii) Пусть ker 0 = ker 00 . Докажем равенство (

8.1). Òàê êàê ker 0 = ker 00

, òî

корректно опеределен линейный оператор:

X : 00 f → 0f,

f dom (A ).

ßñíî, ÷òî dom (X) = ran ( 0 ) =

0 è ker X =

0 . Так как отображения

{ }

0 := 0|H+ dom A0 ,

:= 00 |H+ dom A0

являются

H+ dom A0

â H è H0

, соответственно,

непрерывными гомеоморфизмами из

то оператор X

( 0 )−1 ограничен, X

(

). Из формулы

Грина для

B H

1 H

граничных троек

Π e Πe0

с учетом равенства

= X−

0 получаем:

( 1f, 0g)H − ( 0f, 1g)H = ( 01f, 00g)H0 − ( 00f, 01g)H0 = = X−1 01f, 0g H − 0f, X−1 01g H .

Отсюда

−1

1 − X

f, 0g H =

0f,

1 − X

g H , f, g dom (A ).

	E:10.19		ker 0

Â ñèëó	(8.2) и сюрьективности отображения 0	, включение g

1g = (X−1) 0 g. Поэтому оператор
1

(8.2) E:10.19

äàåò

−1

(8.3) E:10.20

K : 0f → X

1f − 1f,

f dom (A )

E:10.20

E:10.19

определен корректно. С учетом (

8.3) равенство

(8.2) принимает вид:

(K 0f, 0g)H = ( 0f, K 0g)H.

Таким образом, K эрмитов. Так как, dom K = H, òî K = K B(H). 2

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1610 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.04.20151.78 Mб24методичка вышка.pdf
#
16.03.20168.21 Mб956Методичка грам последн 2013.doc
#
01.05.2025108.08 Кб0Методичка ГЭК маг II.docx
#
01.05.2025261.63 Кб0Методичка ГЭК магістри I.doc
#
01.04.2025920.58 Кб0методичка Деньги и кредит.doc
#
13.04.2015973.11 Кб36Методичка ДЕРКАЧА.pdf
#
16.03.201678.87 Кб24методичка до курсових робіт.docx
#
14.11.2019183 Кб2Методичка Екологічне 2011-3.docx
#
13.04.2015533.5 Кб31Методичка Екологічне право 2013.doc
#
29.04.2019863.23 Кб6Методичка з Цивільного права (Особлива частина)....doc
#
01.05.2025566.78 Кб0Методичка земельное.doc