NepDifPopovaSeljakova

15.Величина угла при основании равнобедренного прямоугольника равна . При каком отношение длин радиусов вписанной и описанной окружностей является наибольшим? Чему равно наибольшее значение этого отношения?

16.Число 180 разбить на три положительных слагаемых так, чтобы два из них относились, как 1:2, а произведение трёх слагаемых было наибольшим.

17.В равнобедренный треугольник с длинами сторон 15,15 и 18 см вписан параллелограмм наибольшей площади так, что угол при основании у них общий. Найти длины сторон параллелограмма.

18.Из всех прямоугольников данного периметра найти тот, у которого диагональ наименьшая.

19.Диагональ осевого сечения прямого кругового цилиндра равна 12. Найти наименьший возможный объём этого цилиндра.

20.Отрезок длиной a разделить на две части так, чтобы сумма площадей квадратов, построенных на полученных отрезках как на сторонах, была наименьшей.

Задание №8 Вычислить lim f (x), используя разложение функции по

x a

формуле Тейлора в окрестности точки x a .

Содержательный модуль 2.

Непрерывность и дифференцируемость функции одного переменного.

Содержание

I. Непрерывные функции.

1. Непрерывность в точке и на множестве.

1.1. Эквивалентные формулировки непрерывности функций в точке.

1.2. Замкнутость класса непрерывных функций относительно арифметических операций.

1.3. Непрерывность элементарных функций. 1.4. Непрерывность на множестве.

2. Основные теоремы о непрерывных функциях.

2.1.Локальные свойства непрерывной функции: локальная ограниченность и свойство устойчивости значений.

2.2.Свойства функции, непрерывной на отрезке (1-я и 2-я теоремы Вейерштрасса и Больцано-Коши)

2.3Существование и непрерывность обратной функции.

II Дифференциальное исчисление функций одного переменного. 1. Три основных понятия дифференциального исчисления.

1.1Понятие производной. Геометрический и физический смысл.

1.2Понятие дифференцируемости. Критерий дифференцируемости (сравнение понятий непрерывности и дифференцируемости)

1.3Понятие дифференциала. Геометрический и физический смысл.

1.4Односторонние и бесконечные производные. 2. Правила дифференцирования.

2.1Дифференцирование арифметических операций.

Образцы решений задач индивидуального задания.

1. Исследовать на непрерывность в области определения

f(x) x 2 2 x 6

Решение

x 2 0

D( f ) : x [2;6) (6; )

x 6 0

Так, как односторонние пределы конечные и одинаковые, то x 6 – точка разрыва I-го рода, устранимый разрыв.

В остальных точках области определения функция непрерывна как элементарная.

2. Исследовать на непрерывность f (g(x)) и g( f (x)) в точках, где существуют эти суперпозиции.

f (x) x 1 , g(x) ln(1 x)

Решение

Построим суперпозицию f (g(x)), найдём область определения f (g(x)), а

затем исследуем на непрерывность. Суперпозиция f (g(x)) существует, если