NepDifPopovaSeljakova

ВВЕДЕНИЕ

Математический анализ – одна из важнейших математических дисциплин. Хорошее знание математического анализа, глубокое понимание основных его идей и методов, умение решать задачи необходимы каждому математику.

Нужно также иметь в виду, что не зная анализа, нельзя овладеть большинством других математических курсов, изучаемых на математическом факультете. Понятия непрерывности и производной составляют наряду с понятием функции фундамент всего математического анализа.

Данные методические указания написаны для студентов первого курса специальности «Прикладная математика». Пособие содержит подробную программу по данной теме, теоретическую часть, проиллюстрированную примерами, вопросы для самоконтроля по сложности разного уровня. В пособии приведены образцы решения задач, индивидуальное задание и образец контрольной работы. Так как целесообразно исходить из одного лишь учебника и одного сборника задач, наши методические указания написаны применительно к книгам Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа Т. 1 и Кудрявцев Л. Д., Кутасов А. Д. Сборник задач по математическому анализу Т. 1. После изучения данной темы студенты должны уметь: исследовать функции на непрерывность, владеть техникой дифференцирования, применять производную для исследования функции на монотонность, нахождения локальных и глобальных экстремумов, интервалов выпуклости, асимптот, строить эскизы графиков функций, разлагать функции по формуле Тейлора и применять эту формулу при вычислении пределов и приближенных значений функций.

f x0 0 f x0 0 называют скачком функции в точке x0 .

lim f x , то называют точкой разрыва 2-го рода.

x x0 0

Примеры.

Элементарной функцией называют функцию, которая может быть задана с помощью конечного числа арифметических операций и суперпозиций из основных элементарных функций.

Теорема 3. все элементарные функции непрерывны в своей области определения.

Теорема 4 (Вейерштрасса 1. Об ограниченности). Если f x непрерывна на отрезке a,b , то она ограничена на a,b .

Теорема 5 (Вейерштрасса 2. О достижении функцией точной верхней и точной нижней грани). Если f x непрерывна на a,b , то она достигает на этом отрезке своей точной верхней и своей точной нижней грани, т.е. x a,b и x a,b такие, что f x sup f и f x inf f .

что f 0 .

Данная теорема используется для нахождения приближенного значения корня функциональногоуравнения f x 0 , а также позволяет обосновать метод интервалов при решении неравенств.

Теорема 7 (Больцано-Коши 2. О промежуточном значении непрерывной

2.3. Существование и непрерывность обратной функции Определение 7. Пусть f взаимно однозначно отображает Х на Y , т.е.для

Теорема 8 (О существовании и непрерывности обратной функции). Пусть f x определена, строго возрастает (убывает) и непрерывна на a,b . Тогда она имеет обратную функцию, которая определена, строго возрастает (убывает) и непрерывна на f a , f b (соответственно f b , f a ).

обратную функцию, которая определена, строго возрастает (убывает) и непрерывна на c, d (соответственно d,c ).

Вопросы для самоконтроля

1. Сформулировать на языке « » определение непрерывной 1) слева,

2) справа в точке x0 функции и записать его, используя символы , .

2.Сформулировать определение непрерывной в точке функции на языке последовательностей.

3. f x непрерывна в точке x0 , и в любой окрестности этой точки имеются как значения х, в которых функция положительна, так и значения х, в которых функция отрицательна. Найти f x0 .

4. Пусть f x определена в окрестности точки x0 . Сформулировать, используя символы , , утверждение, что функция не является непрерывной в

точке x0 .

5. Обязательно ли будет разрывна в точке x0 сумма двух функций f x g x , если:

а) f x непрерывна в точке x0 , а g x разрывна; б) обе функции f x и g x разрывны в точке x0 ? Привести соответствующие примеры.

6.Можно ли утверждать, что квадрат разрывной функции есть также разрывная функция?

7.Привести пример функции, непрерівной на каждом из промежутков X1 и X2 ,

но не являющейся непрерівной на множестве X1 X 2 .

8.Привести пример непрерівной на интервале функции: 1) неограниченной на єтом интервале; 2) ограниченной на єтом интервале, но не достигающей ни своей верхней, ни нижней грани.

9.Доказать, что если функция определена и непрерівна на отрезке, то множество ее значений – отрезок.

10.Привести пример разрівной функции, определенной на отрезке и имеющей

вкачестве множества значений отрезок.

Образец тестового задания по теме «Непрерывность функции»

Какие утверждения справедливы:

1)f x непрерывна в промежутке a,b f x ограничена в a,b ;

2)f x не имеет нулей в a,b f x сохраняет знак в a,b ;

3)f x непрерывна и не имеет нулей в промежутке a,b f x

знакопостоянна в a,b ;

6)f x органичена на a,b f x непрерывна на a,b ?

II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ

1.Три основных понятия дифференциального исчисления

1.1. Понятие производной. Геометрический и физический смысл

приращения функции в точке к приращению аргумента при x 0 называется производной функции в точке.

Другие обозначения производной df x0 ; dy . dx dx

точке x0 есть скорость изменения функции.

1.2. Понятие дифференцируемости. Критерий дифференцируемости

представим в виде f x0 A x o x A x x x , где А – постоянная,

x 0

lim x 0 .

x 0

Связь между дифференцируемостью функции в точке и существованием производной в этой же точке устанавливает следующая теорема.

Теорема 10. Для того чтобы функция f x была дифферецируемой в точке x0 , необходимо и достаточно. Чтобы она имела в этой точке производную, при этом f x0 A из определения 9.

Таким образом, дифференцируемость функции в точке равносильна существованию в этой точке конечной производной.

Выясним связь между дифференцируемостью и непрерывностью в точке.

Теорема 11. Если функция f x дифференцируема в точке, то она и непрерывна в этой точке.

Замечание. Обратная теорема неверна, из непрерывности f x в точке не следует ее дифференцируемость или, что равносильно, существование производной в этой точке.

1.3. Понятие дифференциала. Геометрический и физический смысл

df x0 f x0 dx , dx x .

Геометрический смысл дифференциала. Поскольку уравнение касательной y f x0 f x0 x x0 и дифференциала dy f x0 x имеют одинаковую правую часть, то геометрический смысл дифференциала – приращение ординаты касательной y y f x0 .

чтобы существовали односторонние производные в точке x0 и они были равны f x0 f x0 .

бесконечную производную.

Пример. f x 3 x, x0 0.

2.Правила дифференцирования

2.1.Дифференцирование арифметических операций

Данная теорема распространяется на любое конечное число суперпозиций.

2.3. Дифференцирование обратной функции

Теорема 15. Пусть функция y f x непрерывна и строго монотонна в некоторой окрестности точки x0 , и пусть в этой точке существует производная