NepDifPopovaSeljakova

3). Проверить чётность, если функция чётная или нечётная, то воспользоваться симметрией графика функции.

4). Исследовать на непрерывность. Если существуют точки разрыва, найти в них односторонние пределы, выяснить, имеются ли вертикальные асимптоты.

5). Исследовать на монотонность, найти точки экстремума, нанести их на график.

6) Найти участки выпуклости и точки перегиба.

7). Найти при x невертикальные асимптоты.

8). Если всех имеющихся данных недостаточно для построения графика функции, находим дополнительные характеристики графика (точки пересечения с осью ординат, значение в некоторых конкретных точках)

Вопросы для самоконтроля.

1.Что называется производной функции в точке?

2.Какая функция называется дифференцируемой в точке?

3.Какова связь между дифференцируемостью функции в точке и существованием производной в этой точке, между дифференцируемостью и непрерывностью функции в точке.

4.Показать, что функция f (x) x a (x), где (x)– непрерывная

функция и (a) 0 не имеет производной в точке x a . Чему равны

5. Можно ли утверждать, что F(x) f (x) g(x) не имеет производной в точке x x0 , если:

а) f (x)имеет производную в точке x0 , а g(x) не имеет производной в этой точке.

б) обе функции f (x) и g(x) не имеют производной в точке x0 .

Рассмотреть примеры 1) f (x) x , g(x) x 2) f (x) x , g(x) x .

Можно ли утверждать, что сумма F(x) f (x) g(x) не имеет производной в точке x x0 если:

в) f (x) имеет производную в точке x0 , а g(x) не имеет производной в этой точке.

г) обе функции f (x)и g(x) не имеют производной в точке x0 ?

6. Доказать, что производная чётной дифференцируемой функции есть нечётная функция, а производная нечётной дифференцируемой функции есть чётная функция. Дать геометрическое объяснение.

7. Доказать, что производная периодической функции с периодом T есть периодическая функция с периодом T .

8. Пусть имеем сложную функцию f (g(x)). Среди каких точек нужно искать точки, в которых сложная функция может не иметь производной? Обязательно

x(x 1)(x 2)(x 3)(x 4) действительны, простые, и лежат в интервалах

(0;1),(1;2),(2;3),(3;4).

10. Доказать, что если f (x) удовлетворяет условиям теоремы Ролля на отрезке

a;b и не является постоянной, то на этом отрезке существуют такие точки x1 и x2 , что f (x1 ) 0; f (x2 ) 0;.

11. Пусть x0 – абсцисса точки перегиба. Будет ли точка x0 точкой экстремума для y f (x) ?

Образец тестового задания

Какие утверждения справедливы?

1. Если lim f (x) k , то lim f (x) k .

2.Если f (x) задана на a;b и дифференцируема в (a;b), то

1)f (x)Ограничена на a;b

2)f (x) удовлетворяет теореме Лагранжа на a;b

3)f (x) непрерывна в (a;b).

4)df (x0 ) x0 (a;b);

3.Если f (x) x2 в D( f ), то

а) f (x) имеет экстремумы.

b)f (x)ограничена.

c)f (x)имеет точки перегиба.

d)график f (x) в каждой точке имеет касательную.

Задание №3

Задание №4 Исследовать на экстремум.

1.y (x 2)3 3 x2

2.y ln2 x

x

3. y x2 ln x2

4. y

3x 7

(x2 1)2

5.y arctgx ln x

6.y sin 2x x

7.y x xarctgx

2

8.(x 3)2 ex

9.1 x2

x

10. y (x2 4)e x

Задание №5 найти множество значений функции.

2x, x (0,1]