NepDifPopovaSeljakova

Производная функции, заданной параметрически

y y t ,

Теорема 16. Пусть функция y y x задана параметрически

x x t .

2.6. Производные и дифференциалы высших порядков

Пусть функция f x дифференцируема на интервале a,b . Производную f x называют производной первого порядка или первой производной функции f x . Если первая производная f x дифференцируема на a,b , то ее производную называют второй производной или производной второго порядка

d 2 f x . dx2

Аналогично определяется производная n -го порядка

Если S S t – закон прямолинейного движения материальной точки, то S t есть ускорение этой точки в момент времени t . В этом заключается физический смысл второй производной.

Теорема 17. Пусть функции u x и v x имеют производные n -го порядка в точке x0 , тогда функции u v и u v также имеют производные n -го порядка в точке x0 , причем

Производные высших порядков некоторых элементарных функций

ax n ax lnn a .

ln x n 1 n 1 n 1 !.

xn

Эта формула называется формулой конечных приращений Лагранжа. Ее геометрический смысл состоит в том, что в условиях теоремы на графике функции f x найдется точка , f , a b , в которой касательная к графику параллельна хорде графика, соединяющей точки a, f a и b, f b

(Рис. 2).

3.2. Теорема Ферма

Определение 13. Точка x0 называется внутренней точкой множества Х, если она входит во множество Х вместе с некоторой своей окрестностью.

Теорема 19 (Ферма). Пусть функция f x определена на множестве Х и в точке x0 внутренней для множества Х принимает свое наибольшее или наименьшее значение. Тогда, если производная f x0 существует, то она равна нулю.

Замечание. В теореме существенно, что точка x0 – внутренняя точка множества.

Замечание. Теорема Лагранжа является частным случаем теоремы Коши и может быть получена из теоремы Коши при g x x .

3.4. Теорема Лопиталя Теорема 21 (Правило Лопиталя раскрытия неопределенности вида 0 ).

приментмо.

u x v x ev x lnu x .

3.5. Формула Тейлора Теорема 23 (Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано).

Пусть f x определена в некоторой окрестности точки x0 и имеет в точке x0

функции f x в точке x0 , а функция rn x f x Pn x – остаточным членом n -го порядка формулы Тейлора. Формула (1) называется формулой Тейлора n -го порядка для функции f x в окрестности точки x0 с остаточным членом в

форме Пеано, ее называют также локальной формулой Тейлора. Если x0 0 , то формула (1) принимает вид

порядка включительно, тогда для любой точки х из этой окрестности найдется

в форме Лагранжа.

Замечание. Формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано предпочтительнее применять для выделения главной степенной части функции при вычислении пределов. Формулу Тейлора с остаточным членом в форме

Лагранжа предпочтительнее использовать для приближенных вычислений значений функции.

Основные разложения элементарных функций по формуле Тейлора

Приведем еще некоторые, часто используемые, разложения.

Приложение формулы Тейлора к приближенным вычислениям

Если функция достаточное число раз дифференцируема в окрестности точки x0 , то f x Pn x rn x , т.е. f x Pn x , при этом оценив остаточный член, мы тем самым сделаем оценку погрешности.

Пример. Вычислить число е с точностью до 10 4 .

rn x 10 4 .

Выясним, сколько членов нужно взять в разложении, чтобы rn x 10 4 ,

4.Приложения дифференциального исчисления

кисследованию свойств функции одного переменного

4.1.Критерий постоянства функции. Критерий монотонности.

На основании этих теорем получаем схему исследования функции на монотонность.

1) Если не указан промежуток, на котором нужно исследовать f x на монотонность, то находим область определения функции.

2) Находим f x , находим точки, в которых f x 0 или не существует f x .Все эти точки разбивают промежуток Х на интервалы, в которых f x сохраняет знак.

4.2. Локальные экстремумы. Необходимое условие. Достаточные условия существования экстремума функции

Определение 14. Точка x0 называется точкой локального максимума

неравенство

f x f x0 ,

то точка x0 называется точкой строгого локального максимума.

Определение 16. Точки максимума и минимума называют точками экстремума, а значения функции в этих точках – ее экстремумами.

Теорема 28 (необходимое условие экстремума). Если точка x0 является точкой экстремума f x , то либо f x 0, либо f x0 не существует.

Определение 17. Точки, в которых функция определена, а производная функции равна нулю или не существует, называются критическими точками функции.

является точкой экстремума f x . Если же f x не меняет знак при переходе через точку x0 , то экстремума в точке x0 нет.

Замечание. Непрерывность f x в точке x0 весьма существенна.

Схема нахождения экстремальных точек

1.Находим область определения f x .

2.Находим производную функции f x .

3.Находим среди точек непрерывности критические точки f x по ее

первой производной.

4. Исследуем знак f x слева и справа от найденных точек.

точке экстремума нет.

Наибольшее и наименьшее значения функции

Для функции непрерывной на отрезке a, b , по теореме Вейерштрасса существуют на a, b

Точки, в которых функция принимает наибольшее значение и наименьшее

точками глобального экстремума, f (x1 )и f (x2 ) наибольшим и наименьшим значениями f (x) на a;b .

Схема нахождения наибольшего и наименьшего значений.

1. Подозрительными на глобальный экстремум будут точки промежутка, в которых

1)f (x) 0

2)не существует f (x)

3)граничные точки промежутка.

2.Находим значение функции в подозрительных точках.

3.Выбираем среди найденных значений наибольшее и наименьшее.

4.3Выпуклость функции, условие строгой выпуклости.

Предположим, что функция f (x) дифференцируема в любой точке интервала

(a;b). Тогда существует касательная к графику y f (x) в любой точке M (x, f (x)) этого графика.

Определение 18. Будем говорить, что график функции y f (x) имеет на

(a;b)выпуклость вниз (вверх) если график этой функции в указанном интервале лежит не ниже (не выше) любой своей касательной.

Теорема 31 (Достаточное условие выпуклости)

Если y f (x) имеет на интервале (a;b) конечную вторую производную и если эта производная положительна (отрицательна) всюду на (a;b), то график y f (x) имеет на (a;b) выпуклость вниз (вверх).

4.4 Точки перегиба. Необходимое условие. Достаточные условия.

и (x0 , x0 ) график функции имеет разные направления выпуклости.

Теорема 32. (Необходимое условие точки перегиба)