Metodichka_lab_Ekonometria

Ey / L = Ly ∂∂Ly = a0 LaL1 Ka2 (a0 a1 L(a1 −1) Ka2 )= a1 =0,301.

Данный показатель свидетельствует о том, что при увеличении затрат труда L на 1 % выпуск продукции у предельно увеличивается на

0,301 %.

6. Эластичность выпуска продукции по производственным фондам

Ey / K = Ky ∂∂Ky = a0 LaK1 Ka2 (a0 a2 La1 K(a2 −1) )=a2 =0,710 .

Этот показатель указывает на то, что при увеличении производственных фондов K на 1 % выпуск продукции предельно увеличивается на 0,710 %.

Производственная функция позволяет рассчитать потребность в одном из ресурсов при заданном объеме выпуска продукции y и величине

другого ресурса.

7. Потребность в ресурсах труда L составляет

8. Потребность в производственных фондах K для объема производства y составляет

9. Производственная функция позволяет исследовать вопросы соотношения, замещения, взаимодействия ресурсов. В частности, на основе соотношения K/L определяется важный экономический показатель

– фондовооруженность труда

99

10. Взаимодействующие в рамках производственной функции ресурсы L и K могут замещать друг друга. Предельная норма замещения затрат труда L производственными фондами K равна

Предельная норма замещения h зависит не только от параметров a1 и a2 производственной функции Кобба–Дугласа, но и от соотношения

объемов ресурсов L и K .

Знак «минус» означает, что при фиксированном объеме выпуска продукции y необходимо при уменьшении одного ресурса увеличивать

другой.

11. Влияние соотношения объемов ресурсов на предельную норму замещения h находит свое выражение в показателе эластичности замещения ресурсов. Этот показатель определяется как отношение относительных приращений фондовооруженности труда и предельной нормы замещения ресурсов

L

Отсюда следует, что эластичность замещения ресурсов для производственной функции Кобба–Дугласа всегда равна единице. Т. е. изменению фондовооружённости труда на 1 % соответствует изменение предельной нормы замещения также на 1 %.

12. Найдем прогноз выпуска продукции y pr для заданных значений

L =10,2 и K = 20

yпр =1,254 10,20,301 200,710 = 21,166 .

100

13. Рассмотрим поведение функции Кобба–Дугласа при изменении масштаба производства. Пусть затраты каждого ресурса увеличатся в λ раз. Тогда новое значение производственной функции равно

y = a0 (λL)a1 (λK )a2 = λa1 +a2 y.

Если a1 + a2 =1, то уровень эффективности ресурсов не зависит от масштаба производства. Если a1 + a2 <1, то с расширением масштабов

производства средние затраты ресурсов в расчете на единицу продукции уменьшаются, а если a1 + a2 >1 – увеличиваются.

Таким образом, функция Кобба–Дугласа даёт возможность анализировать производственную деятельность фирмы и на основании анализа давать рекомендации по усовершенствованию управления фирмой.

7.5 Вопросы для самопроверки по разделу 7

1.Аналитическая функция Кобба–Дугласа. Записать ее вид и разъяснить.

2.Способы расчета параметров a0 , a1 , a2 производственной функции

Кобба–Дугласа.

3.Средняя производительность труда. Расчет и экономическая интерпретация.

4.Средняя фондоотдача. Расчет и экономическая интерпретация.

5.Предельная производительность труда. Расчет и экономическая интерпретация.

6.Предельная фондоотдача. Расчет и экономическая интерпретация.

7.Эластичность выпуска продукции по затратам труда. Расчет и экономическая интерпретация.

8.Эластичность выпуска продукции по производственным фондам. Расчет и экономическая интерпретация.

9.Потребность в ресурсах труда L . Расчет и экономическая интерпретация.

10.Потребность в производственных фондах K . Расчет и экономическая интерпретация.

11.Фондовооруженность труда. Расчет и экономическая интерпретация.

12.Предельная норма замещения затрат труда L производственными фондами K . Расчет и экономическая интерпретация.

13.Эластичности замещения ресурсов. Расчет и экономическая интерпретация.

101

Раздел 8. Системы эконометрических уравнений

8.1 Теоретические замечания

Ряд экономических процессов моделируется не одним, а несколькими эконометрическими уравнениями, содержащими как повторяющиеся, так и собственные переменные. В силу этого возникает необходимость использования систем эконометрических уравнений. Кроме того, в одних уравнениях определенная переменная рассматривается как объясняющая, а в другое уравнение она входит как зависимая переменная. Сложные экономические процессы описывают с помощью системы взаимосвязанных (одновременных) уравнений. Различают несколько видов систем.

Система эконометрических уравнений называется системой независимых уравнений, если в каждом уравнении зависимая переменная рассматривается как функция одного и того же набора факторов. В общем случае ее можно записать в виде

Система эконометрических уравнений называется системой рекурсивных уравнений, если зависимая переменная одного уравнения является фактором в последующих уравнениях. В общем случае ее можно записать в виде

Найти параметры систем (8.1), (8.2) можно с помощью МНК, применяя его последовательно к каждому уравнению системы.

Система эконометрических уравнений называется системой взаимосвязанных (одновременных) уравнений, если зависимые переменные уравнений являются факторами в других уравнениях. В общем случае ее можно записать в виде

102

(8.3)

Такая система уравнений называется структурной формой модели. Найти параметры таких систем можно с помощью косвенного или двухшагового МНК.

Эндогенными переменными называются переменные, которые определяются внутри системы. Экзогенными переменными называются переменные, которые определяются вне системы. Предопределенными переменными называются экзогенные и лаговые эндогенные переменные. Коэффициенты при переменных со структурной формой модели называются структурными.

Для определения структурных коэффициентов структурная форма модели преобразуется в приведённую форму. Система линейных функций эндогенных переменных от всех предопределенных переменных системы называется приведенной формой модели

где cij – коэффициенты приведенной формы модели.

Проблема идентификации. При переходе от приведенной формы модели к структурной возникает проблема идентификации. Идентификация – это единственность соответствия между приведенной и структурной формами моделей. С позиции идентифицируемости, системы можно разделить на три вида:

−точно идентифицируемые;

−сверхидентифицируемые;

−неидентифицируемые.

Точно идентифицируемые и сверхидентифицируемые называют идентифицируемыми. Структурный коэффициент называется точно идентифицируемым, если его можно однозначно вычислить на основе приведенных коэффициентов; сверхидентифицируемым, если он имеет несколько разных оценок через приведенные коэффициенты;

103

неидентифицируемым, если он не выражается через приведенные коэффициенты.

Точно идентифицируемый и сверхидентифицируемый коэффициент называют идентифицируемым.

Какое–либо структурное уравнение является идентифицируемым, если идентифицируемы все его коэффициенты. Если хотя бы один структурный коэффициент неидентифицируемый, то и всё уравнение является неидентифицируемым.

Модель считается идентифицируемой, если каждое её уравнение идентифицируемо. Если хотя бы одно из уравнений системы неидентифицируемо, то и вся модель неидентифицируема.

Непосредственно проверять идентифицируемость сложно. Для этого необходимо устанавливать разрешимость нелинейной системы уравнений. Поэтому для определения идентифицируемости используют определенное правило, состоящее из необходимого и достаточного условия.

Необходимое условие идентифицируемости (условие порядка)

уравнения. Пусть m −общее количество экзогенных переменных модели; ms −количество экзогенных переменных, которые входят в s -е уравнение

структурной формы модели, ks − количество эндогенных переменных в s -

м уравнении структурной формы. Тогда имеет место необходимое условие идентифицируемости: если для s -го уравнения выполняется неравенство ks −1 ≤ m − ms , то оно идентифицируемо.

некоторого уравнения выполнено, а уравнение неидентифицируемо. Для уточнения вопроса идентифицируемости уравнения добавляют к необходимому условию ещё и достаточное.

Достаточное условие идентифицируемости (ранговое условие). Уравнение идентифицируемо, если ранг матрицы, составленной из коэффициентов при переменных во всех других уравнениях, кроме данного, отсутствующих в исследуемом уравнении, равен числу эндогенных переменных системы без единицы, т. е. rang A = k −1.

Методы оценивания параметров структурной модели

Для оценки коэффициентов структурной модели применяются различные способы в зависимости от вида системы одновременных уравнений. Наибольшее распространение получили:

−косвенный метод наименьших квадратов;

−метод инструментальных переменных;

104

−двухшаговый метод наименьших квадратов (2МНК);

−трехшаговый метод наименьших квадратов (3МНК).

Для оценки параметров идентифицируемых уравнений применяется косвенный метод наименьших квадратов и двухшаговый МНК, для сверхидентифицированных – двухшаговый МНК.

Косвенный МНК включает следующие этапы:

1)составляют приведенную форму модели;

2)оценивают параметры каждого уравнения приведенной формы с помощью МНК;

3)путем алгебраических преобразований переходят от приведенной формы к уравнениям структурной формы модели, получая тем самым оценки структурных параметров.

Двухшаговый МНК включает следующие этапы:

1)записывают общий вид приведенной формы модели;

2)оценивают параметры каждого уравнения приведенной формы с помощью МНК;

3)выявляют эндогенные переменные, находящиеся в правой части структурного уравнения и находят расчетные значения по полученным на втором этапе соответствующим уравнениям приведенной формы;

4)с помощью обычного МНК определяют параметры каждого структурного уравнения в отдельности, используя в качестве исходных данных фактические значения предопределенных переменных и расчетные значения эндогенных переменных, стоящих в правой части данного структурного уравнения, полученные на втором этапе.

8.2 Проверка идентифицируемости системы эконометрических уравнений

Рассматривается модель экономики страны

Здесь

Ct – расходы на потребление в период t ; Yt – совокупный доход в период t ;

It – инвестиции в период t ;

rt – процентная ставка в период t ; Mt – денежная масса в период t ;

Gt – государственные расходы в период t ; Ct −1 – расходы на потребление в период t −1;

105

It −1 – инвестиции в период t −1; ε1,ε2 ,ε3 – случайные ошибки.

Для данной модели требуется:

1)предложить способ оценки параметров модели (предполагается, что имеются временные ряды по всем переменным модели);

2)как изменится ответ на предыдущий вопрос, если из модели исключить тождество дохода.

Решение. Модель представляет собой систему одновременных уравнений. Для определения способа оценок параметров модели проверим каждое уравнение на идентифицируемость.

Модель включает четыре эндогенные переменные Ct , It ,Yt , rt и

четыре предопределенные переменные (две экзогенные переменные – Mt , Gt и две лаговые эндогенные переменные – Ct −1 , It −1 ), т. е. k = 4, m = 4 .

Проверим необходимое условие идентифицируемости уравнений исходной модели.

Первое уравнение включает две эндогенные переменные Ct , Yt (k1 = 2) и одну предопределённую Ct−1 . В этом уравнении присутствует одна предопределенная переменная (m1 =1) . Значения ks , ms для трёх

уравнений и предварительные выводы по необходимому условию идентифицируемости представлены в таблице.

Замечание. Уравнение 4 представляет собой тождество, параметры которого известны. Необходимости в его идентификации нет.

Проверим для каждого из уравнений ещё и достаточное условие. Для этого составим матрицу коэффициентов при переменных модели.

106

коэффициентов при переменных, не входящих во второе уравнение, и находим её ранг

где

Второе уравнение также идентифицируемо.

Аналогично выписываем матрицу коэффициентов при переменных, не входящих в третье уравнение и находим её ранг

107

где

Третье уравнение также идентифицируемо.

Таким образом, все уравнения модели точно идентифицируемы. Для оценки их параметров применим двухшаговый метод наименьших квадратов.

8.3 Организация данных и расчетов на листе MS Excel

Шаг 1. Запишем приведенную форму модели в общем виде

Определим параметры третьего и четвертого уравнений приведенной формы модели (8.9). На основании построенных моделей найдем расчетные значения эндогенных переменных Yt , rt , которые входят в

правую часть уравнений структурной формы модели (рис. 8.1 – 8.3). Для этого в третье и четвертое уравнения приведенной формы модели (8.9) нужно подставить соответствующие значения предопределенных

переменных (напомним, что расчетные значения ˆt , ˆt эндогенных

Y r

переменных Yt , rt можно автоматически рассчитать с помощью функции

«Регрессия» и получить их значения в столбце «Предсказанное значение» отчета «Вывод остатка»).

Шаг 2. В исходных структурных уравнениях заменим эндогенные переменные, выступающие в качестве факторных признаков, их расчетными значениями