Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донецкий национальный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Численные методы в системе MathCAD

.pdf

Скачиваний:

155

Добавлен:

13.04.2015

Размер:

613.45 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

	a			0				b					1						n	10		h			( b		a )
																									( b		a )

																									i .h	n
i			0 .. 10												x				a	x		x			i .h	n
	y				0.37 .e sin ( x )											0					i		0



					n			1										y 0		y n
					n			1
	s				h .				y				i
	s				h .				y
						i = 1											2
																	2

	s	= 0.604
		1					e sin ( x ) d x										= 0.604
		1
		0.37
		0																											Таблица 4
		0


		N										Функция													a				b

		1											0.37esin x											0				1

		2							0.5x + x ln x															1				2

		3						(x +1.9) sin(x / 3)																1				2

		4									1				ln(x + 2)									2				3
															ln(x + 2)
												x

		5													3cos x									0				1
														2x +1.7

		6						(2x + 0.6) cos(x / 2)																1				2

		7										2.6x2 ln x												1.2				2.2

		8						(x2		+1)sin(x −0.5)														1				2

		9							x2 cos(x / 4)															2				3

		10							sin(0.2x −3)															3				4
															x2		+1

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Каковы преимущества формулы парабол по сравнению с формулой трапеций и следствием чего являются эти преимущества?

2.Верны ли формулы (4.2), (4.4) для неравноотстоящих узлов?

3.В каких случаях приближенные формулы трапеций и парабол оказываются точными?

4.Как влияет на точность численного интегрирования величина шага?

5.Каким способом можно прогнозировать примерную величину шага для достижения заданной точности интегрирования?

6.Можно ли добиться неограниченного уменьшения погрешности интегрирования путем последовательного уменьшения шага?

Лабораторная работа №5 ТЕМА: Численное решение дифференциальных уравнений

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка
y′= f (x, y) .	(5.1)

Требуется найти на отрезке [a,b] решение y(x) , удовлетворяющее начальному условию

y(a) = y0

(5.2)

Будем предполагать, что условия теоремы существования и единственности выполнены. Для решения используем метод Эйлера (метод первого порядка точности, расчетные формулы (5.3)) и метод Рунге-Кутта (метод четвертого порядка точности, расчетные формулы (5.4)) с шагом h и 2h. Отметим, что результаты могут сильно отличаться, ввиду того, что метод Эйлера, имея только первый порядок точности, используется, как правило, для оценочных расчетов. Ориентировочную оценку погрешности метода Рунге-Кутта ε вычислить по формуле (5.5) [2].

yi+1 = yi + hf (xi , yi ) ,

где h – шаг разбиения.

yi+1

= yi +

k1 + 2k2 + 2k3 + k4

где k

= hf (x

, y

= hf (x

+ h , y

= hf (x

+ h

, y

k4 = hf (xi + h, yi + k3 ) .

ε = | y2h − yh | 15

(5.3)

(5.4)

(5.5)

Задание 1
Написать программу решения дифференциального уравнения
y′ = f (x, y) методом Эйлера на отрезке [a,b]	с шагом h и 2h и начальным

условием y(a) = y0 . Исходные данные для выполнения задания берутся из таблицы 5. Сравнить результаты.

		Задание 2
Написать программу решения			дифференциального		уравнения
y′ = f (x, y)	методом	Рунге-Кутта на отрезке [a,b] с		шагом	h и	2h и
начальным	условием	y(a) = y0 . Оценить	погрешность	по формуле		(5.5).

Исходные данные для выполнения задания берутся из таблицы 5.

ПРИМЕРНЫЙ ФРАГМЕНТ ВЫПОЛНЕНИЯ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ

1. Решить дифференциальное уравнение y’=f(x,y) методом Эйлера на отрезке [a,b] с шагом h и c начальным условием y(a)=y0 , f(x,y)=(3x- y)/(x2+y), a=2, b=3, h=0.1, y0=1.

2. Решить дифференциальное уравнение y’=f(x,y) методом Рунге-Кутта на отрезке [a,b] с шагом h и c начальным условием y(a)=y0.

							Таблица 5

N		Функция		a	b	y0	h

1			3x − y	2	3	1	0.1
			x2 + y

2	2x + y + 4			3	4	1	0.1
			2y + x

3			x2 − y	0	1	2	0.1
		2x + y +1

4		x2 − y + 2		2	3	1	0.1
			xy +3x

5		3 − x − y2		1	2	1	0.1
			2 − xy2

6	2 − x − y 2 x			0	1	1	0.1
			3x + y

7			1+3xy	0	1	2	0.1
		5 − x + y 2

8			x2 y + 2	0	1	1	0.1
			2x − y

9		x2 + y + 2		2	3	2	0.1
			2x − y

10			xy + 4	0	1	3	0.1
	2 y − xy +1

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Проверить для дифференциального уравнения условия теоремы существования и единственности.

2.На какие основные группы подразделяются приближенные методы решения дифференциальных уравнений?

3.В какой форме можно получить решение дифференциального уравнения по методу Эйлера?

4.Каков геометрический смысл решения дифференциального уравнения методом Эйлера?

5.В какой форме можно получить решение дифференциального уравнения по методу Рунге-Кутта?

6.Какой способ оценки точности используется при приближенном интегрировании дифференциальных уравнений методами Эйлера и РунгеКутта?

7.Как вычислить погрешность по заданной формуле, используя метод двойного пересчета?

Лабораторная работа №6 ТЕМА: Статистическая обработка опытных данных

Пусть зависимость между переменными x и y задана таблично

(заданы опытные данные). Требуется найти функцию в некотором смысле наилучшим образом описывающую данные. Одним из способов подбора такой (приближающей) функции является метод наименьших квадратов. Метод состоит в том, чтобы сумма квадратов отклонений значений искомой функции yi = y(xi ) и заданной таблично yi была наименьшей:

S(c) = ( y	− y )2	+ ( y	2	− y	2	)2	+K+ ( y	n	− y	n	)2	→ min , (6.1)
1	1		2		2			n		n

где c − вектор параметров искомой функции.

Задание 1

Построить методом наименьших квадратов две эмпирические формулы: линейную и квадратичную.

В случае линейной функции y = ax +b задача сводится нахождению параметров a и b из системы линейных уравнений

M x		2 a + M xb = M xy		,
		a + b = M
M	x		y

где

M x

∑xi

2 ,

M x =

∑xi ,

M xy

∑xi yi , My=

∑yi,

n i =1

i=1

а в случае квадратичной зависимости

y = ax2 + bx + c к

нахождению

параметров a , b и c из системы уравнений:

M x4 a + M x3 b + M x2 c = M x2 y

3 a

+ M

2 b + M xc = M xy

2 a + M

b +c = M

= 1

2 yi .

где

1 ∑xi

4 ,

∑xi

3 ,

1 ∑xi

n i =1

Выбрать из двух функций наиболее подходящую. Для этого составить таблицу для подсчета суммы квадратов уклонений по формуле (6.1). Исходные данные взять из таблицы 6.

Задание 2

Составить программу для нахождения приближающих функций заданного типа с выводом значений их параметров и соответствующих им сумм квадратов уклонений. Выбрать в качестве приближающих функций

следующие: y = ax +b , y = axm , y = aemx . Провести линеаризацию.

Определить для какого вида функции сумма квадратов уклонений является наименьшей.

Исходные данные помещены в таблице 6.

ПРИМЕРНЫЙ ФРАГМЕНТ ВЫПОЛНЕНИЯ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ

x10	0.8			10	2
x10	0.8			10
				x
				i
mx2		1		i = 1

			10
			10

i	1.. 10


x1		0.5


x2		0.1


x3		0.4


x4		0.2


x5		0.6


x6		0.3


x7		0.4


x8		0.7


x9		0.3

mx 1. i = 1 10

y1		1.8


y2		1.1


y3		1.8


y4		1.4


y5		2.1


y6		1.8


y7		1.6


y8		2.2


y9		1.5


y10	2.3

		10					10
		x	.y	i			y	i
		i		i				i
mxy	1	i = 1			my	1	i = 1

		10					10
		10					10

mx2= 0.229

mx= 0.43

mxy = 0.828

my = 1.76

given

mx2a. mx.b mxy mx.a b my

find( a,b )

1.6145124716553287982

1.0657596371882086168

											Таблица 6

i		1	2	3	4	5	6	7	8	9		10
№

1	x	0.5	0.1	0.4	0.2	0.6	0.3	0.4	0.7	0.3		0.8

	y	1.8	1.1	1.8	1.4	2.1	1.8	1.6	2.2	1.5		2.3

2	x	1.7	1.5	3.7	1.1	6.2	0.3	6.5	3.6	3.8		5.9

	y	1.5	1.4	1.6	1.3	2.1	1.1	2.2	1.8	1.7		2.3

3	x	1.7	1.1	1.6	1.2	1.9	1.5	1.8	1.4	1.3		1.0

	y	6.7	5.6	6.7	6.1	7.4	6.9	7.9	5.9	5.6		5.3

4	x	1.3	1.2	1.5	1.4	1.9	1.1	2.0	1.6	1.7		1.8

	y	5.5	5.9	6.3	5.8	7.4	5.4	7.6	6.9	6.6		7.5

5	x	2.3	1.4	1.0	1.9	1.5	1.8	2.1	1.6	1.7		1.3

	y	5.3	3.9	2.9	5.0	4.0	4.9	5.1	4.5	4.1		3.7

6	x	1.8	2.6	2.3	1.3	2.0	2.1	1.1	1.9	1.6		1.5

	y	4.4	6.4	5.3	3.7	4.9	5.6	3.0	5.0	4.3		3.7

7	x	1.9	2.1	2.0	2.9	3.0	2.6	2.5	2.7	2.2		2.8

	y	6.6	7.6	6.7	9.2	9.4	7.8	8.4	8.0	7.9		8.7

8	x	2.0	1.4	1.0	1.7	1.3	1.6	1.9	1.5	1.2		2.1

	y	7.5	6.1	4.8	7.4	5.7	7.0	7.1	6.8	6.0		8.9

9	x	2.0	1.2	1.8	1.9	1.1	1.7	1.6	1.4	1.5		1.3

	y	7.5	5.9	7.0	8.0	5.0	7.4	6.4	6.6	6.3		5.7

10	x	1.9	1.1	1.4	2.3	1.7	2.1	1.6	1.5	1.0		1.2

	y	4.7	3.4	3.8	5.2	4.6	5.5	3.9	3.9	3.2		3.5

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.В чем суть приближения таблично заданной функции по методу наименьших квадратов?

2.Чем отличается этот метод от метода интерполяции?

3.Каким образом сводится задача построения приближающих функций в виде различных элементарных функций к случаю линейной функции?

4.Может ли сумма квадратов уклонений для каких-либо приближающих функций быть равной нулю?

5.Какие элементарные функции используются в качестве приближающих функций?

6.Как найти параметры для линейной и квадратичной зависимости, используя метод наименьших квадратов?

Лабораторная работа №7 Тема: Численное решение уравнений в частных производных

Рассмотрим смешанную задачу для уравнения теплопроводности, а именно, найти функцию u(x, t) , удовлетворяющую уравнению

∂u	−	∂2u	= 0	,		(7.1)
∂t	−	∂x2	= 0	,		(7.1)
∂t		∂x2
начальному условию
u(x,0) = f (x),					x (0, s) ,	(7.2)
и краевым условиям
u(0,t) =ϕ(t),					u(l,t) =ψ(t) , t (0,T ) .	(7.3)

Задачу будем решать методом сеток (конечных разностей). В основе метода лежит идея замены производных конечно-разностными отношениями. Ограничимся случаем двух независимых переменных. Пусть в плоскости хОу имеется некоторая область G с границей Г (рисунок).

Рисунок Построим на плоскости два семейства параллельных прямых: x =ih , t = kl , i=0,1,2,…, k=0,1,2,…

Точки пересечения этих прямых назовем узлами. Два узла называются соседними, если они удалены друг от друга в направлении оси Ох или Оу на расстояние, равное шагу сетки h или l соответственно. Выделим узлы, принадлежащие области G+Г, а также некоторые узлы, не принадлежащие

этой области, но расположенные на расстоянии, меньшем, чем шаг, от границы Г. Те узлы, у которых все четыре соседних узла принадлежат выделенному множеству узлов, называются внутренними (узел А, рис. 1). Оставшиеся из выделенных узлов называются граничными (узлы В, С). Обозначим xi =ih, y j = kl.

Значения искомой функции и=и(х,у) в узлах сетки будем обозначать через ui,k =u(ih,kl). В каждом внутреннем узле (ih,kl) заменим частные

производные разностными отношениями:

(

)ik

≈

ui+1,k − ui−1,k

(

)ik

≈

ui,k +1 −ui,k −1

В граничных точках воспользуемся формулами вида

(

)ik

≈

ui+1,k

− ui,k

(

)ik ≈

ui,k +1 −ui,k

Аналогично заменяются частные производные второго порядка

(

d 2u

)ik

≈

ui,k +1 − 2uik + ui,k −1

l 2

Сделаем переход от

уравнения вида

−

d 2u

= 0

к разностному

уравнению

ui,k +1 − ui,k

ui+1,k − 2uik

+ ui−1,k

=0.

После замены σ =

преобразований

получаем

уравнение

для

вычисления внутренних узлов

ui,k +1

= (1 − 2σ)uik +σ(ui+1,k

+ ui−1,k ).

(7.4)

При 0 ≤σ ≤1/ 2 разностное уравнение (7.4) устойчиво [7]. Наиболее простой вид уравнение имеет при σ =1/ 2. В этом случае уравнение (7.2) запишется в виде

uik +1	=	ui−1k + ui+1k	.	(7.5)

	2

Пусть u (x,t) – точное решение задачи (7.1)-(7.3), u − u – отклонение точного значения от вычисленного по методу сеток. Тогда погрешность

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.04.2015124.47 Кб28Черкашин Прикладная социология.docx
#
18.11.2018172.54 Кб17черная_мет.doc
#
16.03.201655.74 Кб19Чернышевский Н. Г. Русский человек на rendez-vous.docx
#
16.03.201618.22 Кб25Четырнадцать пунктов Вильсона.docx
#
02.11.2018142.41 Кб3Чили.docx
#
13.04.2015613.45 Кб155Численные методы в системе MathCAD.pdf
#
01.04.2025680.96 Кб0чистовик пособия.doc
#
13.04.2015765.24 Кб85ш.pdf
#
01.04.2025601.6 Кб0Шевцова_СРС для подгот. к семинарам по ДиК_ЭФ.doc
#
13.04.201548.13 Кб3шевченко-франко.docx
#
01.04.20252.92 Mб0Шепель В.М. Имиджелогия. Как нравиться людям.doc