Численные методы в системе MathCAD
.pdf
вычислений может быть вычислена по формуле |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
− u |
|
|
≤ T m h2 , |
(7.6) |
|
|
|
|
|
|
u |
|
|||||
где m1= max{| f |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(4) |
(x) |, |ϕ |
′′ |
′′ |
|
|
||||||
|
(t) |, |ψ |
(t) |}, где 0 ≤t ≤T , 0 ≤ x ≤ s. |
|
||||||||
Задание 1
Используя метод сеток, найти приближенное решение уравнения (7.1)- (7.3), удовлетворяющее условиям u(x,0) = f (x), u(x0 ,t) = 0, u(xn ,t) = 0 , для
0 ≤t ≤ 0.03, x0 ≤ x ≤ xn и h=0.1, l=0.005.
Решение должно быть оформлено в виде таблицы 7.1 подсчитанной вручную. Исходные данные заданы в таблице 7.2. Оценить погрешность
вычислений по формуле (7.6). |
|
Комментарий. Значения ui0 находим, подставляя значение хо в |
f (x) . |
Например, f (x0 ) = x0 sin(2πx0 ) при x0 = 0 равна 0. Значения u0k |
и u5k |
определяются краевыми условиями (в нашем случае нулевые). Далее
значение, например, u находим, используя формулу (7.5), т.е. u |
|
= |
u00 + u20 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
2 |
|
|
|||
и т.д. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 7.1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
j |
|
x |
|
x0 |
|
x0 + h |
x0 + 2h |
x 0 + 3 h |
x0 + 4h |
|
|
xn |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
u00 |
|
u10 |
u20 |
u30 |
|
u40 |
|
|
u50 |
|
|
|
|||||
|
1 |
|
0.005 |
|
u01 |
|
u11 |
u |
21 |
|
u31 |
|
u41 |
|
|
u51 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
0.010 |
|
u02 |
|
u12 |
u22 |
u32 |
|
u42 |
|
|
u52 |
|
|
|
|||||
|
3 |
|
0.015 |
|
u03 |
|
u13 |
u23 |
u33 |
|
u43 |
|
|
u53 |
|
|
|
|||||
|
4 |
|
0.020 |
|
u04 |
|
u14 |
u24 |
u34 |
|
u44 |
|
|
u54 |
|
|
|
|||||
|
5 |
|
0.025 |
|
u05 |
|
u15 |
u25 |
u35 |
|
u45 |
|
|
u55 |
|
|
|
|||||
|
6 |
|
0.03 |
|
u06 |
|
u16 |
u26 |
u36 |
|
u46 |
|
|
u56 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 7.2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
№ варианта |
x0 |
|
|
xn |
|
|
|
|
f (x) |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
|
0.1 |
|
|
0.6 |
|
|
(1.1x2 |
+1.1)sin(2π(x − 0.1)) |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
2 |
|
0 |
|
|
|
0.5 |
|
|
|
xsin(2πx) |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
3 |
|
0.2 |
|
|
0.7 |
|
|
(1.5x +1.1)sin(2π(x − 0.2)) |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
41
4 |
0 |
0.5 |
|
(x2 + 3)sin(2πx) |
|
|
|
|
|
5 |
0.1 |
0.6 |
(1.1x2 |
−1.3)sin(2π(x − 0.1)) |
|
|
|
|
|
6 |
0.2 |
0.7 |
(x3 |
+1)sin(2π(x − 0.2)) |
|
|
|
|
|
7 |
0 |
0.5 |
(1.5x2 +1)sin(2πx) |
|
|
|
|
|
|
8 |
0.2 |
0.7 |
(3x2 |
+ 2)sin(2π(x − 0.2)) |
|
|
|
|
|
9 |
0 |
0.5 |
(x2 −1.3)sin(2πx) |
|
|
|
|
|
|
10 |
0.1 |
0.6 |
(3x2 |
−1)sin(2π(x − 0.1)) |
|
|
|
|
|
ПРИМЕРНЫЙ ФРАГМЕНТ ВЫПОЛНЕНИЯ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ
f( x) |
|
x.cos |
( 2 |
|
|
|
|
|
3 .x) |
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 .. 5 |
|
j |
|
|
0 .. |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x0 |
|
|
0.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x5 |
|
|
|
0.6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
|
|
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
x5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
u i ,0 |
|
|
f xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u 0 ,j |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u 5 ,j |
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
1 .. |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
u i ,1 |
|
|
|
|
|
|
u i |
|
|
1 ,0 |
|
|
|
|
|
u i |
|
|
|
1 ,0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
i |
|
1 |
,1 |
|
|
u |
i |
|
|
|
1 ,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u i ,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
u i ,3 |
|
|
|
|
|
|
u i |
|
|
1 ,2 |
|
|
|
|
|
u i |
|
1 ,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u i |
|
|
|
|
|
|
|
|
u i |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u i ,4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 ,3 |
|
|
|
|
|
1 ,3 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
u i ,5 |
|
|
|
|
u i |
|
1 ,4 |
|
|
|
|
|
|
u i |
|
|
|
|
1 ,4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
0.191 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0.352 |
|
|
|
0.271 |
|
|
0.176 |
|
|
0.156 |
|
|
0.132 |
|
|
|
0.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
u = |
|
|
0.352 |
|
|
|
0.352 |
|
|
0.311 |
|
|
0.264 |
|
|
|
|
|
|
0.2 |
|
|
0.176 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0.352 |
|
|
|
0.352 |
|
|
0.352 |
|
|
0.244 |
|
|
0.22 |
|
|
0.161 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0.352 |
|
|
|
0.352 |
|
|
0.176 |
|
|
0.176 |
|
|
0.122 |
|
|
0.11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0.352 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
42
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1.В чем суть метода сеток?
2.Какие точки называются узлами?
3.Что такое шаг сетки?
4.Какие узлы называются внутренними и какие граничными?
5.Как перейти от дифференциального уравнения к разностному (на примере уравнения теплопроводности)?
6.Какое уравнение используется для вычисление текущего слоя?
7.Как вычислить отклонение значений точного решения от приближенного по методу сеток?
Список рекомендуемой литературы
1.Заварыкин В.М. Численные методы / В.М.Заварыкин, В.Г.Житомирский, М.П.Лапчик – М.: Просвещение, 1991. – 175с.
2.Ракитин В.И. Практическое руководство по методам вычислений / В.И.Ракитин, В.Е.Первушин – М.: Высшая школа, 1998. – 384с.
3.Волков Е.А. Численные методы / Е.А.Волков – М.: Наука, 1987. – 248 с.
4.Турчак Л.И. Основы численных методов / Л.И. Турчак – М.: Наука, 1987.
– 318с.
5.Копченова Н.В. Вычислительная математика в примерах и задачах / Н.В.Копченова., И.А.Марон – М.: Наука, 1972. – 366с.
6.Березин И.С. Методы вычислений / И.С.Березин, Н.П.Жидков – М.:
Наука, 1966. – Т.1. – 632с.
7Бахвалов Н.С. Численные методы / Н.С.Бахвалов, Н.П.Жидков, Г.М.Кобельков – М. – С.Пб.: Физматлит, 2001. – 630с.
8.Аминова С.Ф. Лабораторный практикум по курсу «Численные методы» / С.Ф.Аминова, Р.М.Асадуллин – Уфа: Изд-во БГПУ, 2003. – 28с.
9.Сулейманов Р.Р. Решение математических задач в системе MathCAD 8.1 / Р. Р. Сулейманов // Учитель Башкортостана, 2002. – № 2.
10.MATHCAD 6.0 PLUS / Финансовые, инженерные и научные расчеты в среде Windows 95. / пер. с англ. – М.: Информационно-издательский дом
«Филинъ», 1996. – 712 с.
11.Плис А.И. Mathcad: математический практикум / А.И.Плис, Н.А.Сливина
– М.: Финансы и Статистика, 1999.
12.Очков В.Ф. Mathcad 8 Pro для студентов и инженеров / В.Ф.Очков – М.: КомпьютерПресс, 1999.
13.Очков В.Ф. MathCad 7 Pro для студентов и инженеров / В.Ф.Очков – М.: КомпьютерПресс, 1998. – 384 с.
14.Дьяконов В.П. Справочник по MathCAD PLUS 6.0 PRO / В.П.Дьяконов – М.: CK Пресс, 1997. – 336 с.
43
Учебное издание
Практикум по вычислительным методам в системе MathCAD
Белоусов Вячеслав Владимирович
Редактор |
Р.В.Щадько |
План изд. 2011 г., поз. № 61
Подписано в печать |
|
Формат 60×90 1/16. Бумага офсет. |
Печать офсет. Усл.-печ. л. |
Уч.-изд. л. |
Тираж экз. Заказ № |
Издательство: Донецкий национальный университет, 83001, Донецк01, Университетская, 24
Напечатано:
44