Лекция 2

Лекция 2

ПОЛУКЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ АТОМА

2.1.Модели атома Томсона и Резерфорда.

2.2.Количественная теория рассеяния Резерфорда.

2.3.Спектральные закономерности. Комбинационный принцип Ритца.

2.4.Постулаты Бора.

2.5.Опыт Франка и Герца.

2.6.Теория Бора водородоподобного атома.

2.1Модели атома Томсона и Резерфорда [4, 6, 5, 1]

Воснове современных представлений об атомной структуре химических элементов лежат строгие экспериментальные данные. До конца ХІХ ст. было известно, что атомы любого вещества электрически нейтральны и стабильны. Опыты Фарадея по электролизу показали, что наряду с нейтральными атомами существуют положительно и отрицательно заряженные количества электричества (ионы). Анализ этих опытов привёл также к открытию дискретной структуры электрических зарядов.

Первые количественные данные о строении вещества были получены при исследовании катодных и каналовых лучей, возникающих при электрических разрядах в разрежённых газах. Эксперименты Джозефа Томсона (1897 г.) показали, что катодное излучение представляет собой поток отрицательно заряженных частиц, названных впоследствии электронами (термин «электрон» в 1891 г. ввел английский учёный Стонлей). Т.е. было установлено, что если атому передать лишнюю энергию, электрон может покинуть атом. В экспериментах Томсона измерялось смещение катодного луча под действием сил электрического и магнитного полей, и на основе этих данных определялась величина удельного

заряда частиц. По современным данным e/mе 1,7588 1011 Кл/кг. Также эти эксперименты позволили установить, что масса электрона 1/400 массы атома.

На первых стадиях развития теории строения атома считалось, что вся эта система статична. Для объяснения характера спектра, испускаемого изолированным атомом, пришлось предположить, что излучение атома - результат малых колебаний электронов в атоме относительно положения равновесия.

В 1903 г. Томсон предложил модель атома водорода, согласно которой атом представляет собой сферу, равномерно заполненную положительным электричеством, внутри которой находится электрон. Суммарный заряд сферы равен заряду электрона, так что в целом атом нейтрален.

Напряженность поля внутри равномерно заряженной сферы радиуса R

тогда на расстоянии r от центра сферы (положение равновесия) на электрон будет действовать квазиупругая сила:

e2

f eE k R3 r r.

В таких условиях электрон при выведении каким-либо образом из положения равновесия будет совершать колебания с частотой

спектра) 3∙1015 с-1. Тогда R 3∙10-10 м.

Полученное значение совпадает по порядку величины с газокинетическими размерами атомов, что можно было бы рассматривать как подтверждение модели Томсона. Однако в дальнейшем выяснилась несостоятельность этой модели, поэтому в настоящее время она имеет лишь исторический интерес.

Для выяснения характера распределения положительного и отрицательного зарядов в атоме необходимо было непосредственное «зондирование» внутренних областей атома. Такие эксперименты осуществили Резерфорд и его сотрудники Гейгер и Марсден (1906 - 1913 г.). В их опытах изучалось прохождение -частиц через тонкие слои вещества. Как раз в 1909 г. Резерфорд и Ройдс доказали, что - частицы являются дважды ионизированными атомами гелия и имеют заряд +2е.

Схема опыта показана на рисунке

сцинтилляции наблюдались в микроскоп М.

Оказалось, что подавляющее число частиц рассеивалось на углы порядка 1- 3°, что хорошо описывалось кривой случайных ошибок Гаусса, однако отдельные частицы отклонялись на углы до 150°. И хотя число таких частиц пренебрежимо мало (из 1800 -частиц при прохождении платиновой фольги только у одной > 90°), но их число превышало возможные случайные отклонения в модели Томсона. Их отбрасывание назад фольгой Резерфорд сравнил с отскакиванием летящей пули от листа папиросной бумаги.

Результаты опытов свидетельствовали о том, что внутри атома имеется очень сильное электрическое поле, создаваемое положительным зарядом, сконцентрированным в очень малом объёме (ядре) с большой массой.

Основываясь на этом, Резерфорд в 1911 г. предложил ядерную модель атома. Согласно этой модели атом представляет собой систему зарядов, в центре которой расположено положительно заряженное ядро размером d 10-14 м. Вокруг ядра под действием электростатических сил движутся электроны. Если нейтральный атом имеет Z электронов, то заряд ядра тогда +Zе. Почти вся масса атома сосредоточена в его ядре. Так как в простейшем случае движение электронов предполагалось по круговым орбитам вокруг ядра, то модель атома Резерфорда принято называть планетарной.

2.2 Количественная теория рассеяния Резерфорда [4, 6, 5, 1]

Исходя из предположений, что заряд и масса ядра локализованы в очень малой области атома и взаимодействие -частиц с ядрами рассеивающего вещества кулоновское, Резерфорд разработал количественную теорию рассеяния

-частиц и вывел формулу для распределения рассеянных -частиц по углам их отклонения. Влияние электронов на отклонение -частиц в первом приближении теория не учитывает, так как масса электронов на четыре порядка меньше массы

-частиц.

Вопытах Резерфорда использовались очень тонкие металлические фольги с толщиной порядка 10-7-10-6 м. В таких случаях можно не учитывать многократные столкновенья -частицы с атомными ядрами. Тогда теория Резерфорда является классической задачей двух тел.

Сформулированная задача формально аналогичная задаче Кеплера о

движении планеты вокруг Солнца. И здесь, и там – сила взаимодействия центральная и изменяется ~1/r2. В случае планеты – это сила притягивания, в случае -частицы – сила отталкивания. Это проявляется в том, что планета (в зависимости от её полной энергии) может двигаться и по эллипсу, и по гиперболе,

а-частица – только по гиперболе. Угол рассеяния -частицы равен углу

направления -частицы).

Формула (2.1) не подлежит экспериментальной проверке, для практических измерений доступны статистические выводы из неё.

Подсчитаем число частиц dN , которые отклоняются фольгой в единицу времени на угол в интервале от до d . Пусть углу соотве5тствует прицельный параметр b, а ( d ) – (b + db). Тогда

dN N nV d IVnd . Sp

Здесь I – интенсивность плоскопараллельного пучка частиц; N – полное число частиц в пучке, проходящем в единицу времени через площадку, перпендикулярную оси z; Sр – площадь поперечного сечения пучка, V = Sрd, где d

– толщина фольги; n – концентрация атомов рассеивающего вещества; d 2 bdb – площадь кольца с радиусами b и b + db (дифференциальное эффективное сечение взаимодействия) (рис.2.3).

В таком виде формула Резерфорда и была подтверждена на практике. Другим доказательством её справедливости служат опыты Блэкетта по рассеянию-частиц в газах. Фотографировалось большое количество треков -частиц в камере Вильсона и подсчитывалось, как часто встречаются определенные углы рассеяния.

Подтверждение формулы Резерфорда на опыте может рассматриваться как косвенное доказательство закона Кулона на расстояниях, на которые могут приближаться -частицы к атомным ядрам – до 3∙10-14 м. Отсюда, однако, не следует, что этот закон справедлив на любых малых расстояниях. Эксперименты по упругому рассеянию лёгких ядер, разогнанных ускорителем, также на легких, но недвижимых ядрах, показали, что наблюдается резкое отступление от закона

Кулона, когда расстояние между центрами ядер уменьшаются до 10-14 м и меньше. На таких расстояниях проявляются ядерные силы притягивания, перекрывающие кулоновские силы отталкивания.

Таким образом, результаты опытов подтвердили справедливость ядерной модели атома. Однако в рамках классической физики оказалось невозможным объяснить стабильность атома. Поскольку система неподвижных зарядов не может находиться в устойчивом состоянии, Резерфорд естественно пришел к планетарной модели атома, в которой электрон вращается вокруг ядра. Но в этом случае электрон будет двигаться ускоренно и, согласно классической электродинамике, он должен излучать электромагнитные волны. Тратя энергию на излучение электрон непрерывно приближался бы к ядру и наконец, должен был бы упасть на него. Итак, модель неустойчивая, или размеры стабильного атома должны были бы быть равными размерам его ядра ~ 10 -14 м, что противоречит опыту.

Кроме того, излучение электрона при таких условиях не может быть монохромным (момент импульса L mer2 mevr не const), частота излучения увеличивалась бы, и спектр излучения был бы непрерывным. Даже если ввести гипотетические силы, которые обеспечили бы стабильность атома и орбиты электрона, согласно общим принципам классической механики спектр излучения атома должен был бы состоять из нескольких основных частот и соответствующих им обертонов. Эксперименты же приводят к совсем другим закономерностям, выражающиеся комбинационным принципом Ритца.

Итак, классическая механика и электродинамика оказались несостоятельными объяснить существование атомов как стабильных систем ядер и электронов. Решение этой проблемы было получено только в рамках квантовой физики.

2.3 Спектральные закономерности. Комбинационный принцип Ритца

[4,1,5,2,11]

Большую роль в установлении структуры атома сыграло изучение закономерностей в атомных спектрах. Накаленные твёрдые тела испускают сплошные спектры. У газов, наряду со сплошными, наблюдаются линейчатые и полосатые спектры. Линейчатый спектр состоит из отдельных узких спектральных линий, полосатый – из множества плотно расположенных линий. К началу ХХ ст. было выяснено, что линейчатые спектры испускаются атомами и ионами, а полосатые – молекулами.

При изучении атомных спектров было замечено, что линии в спектре расположены не неупорядоченно, а объединены в группы, или, как их называют, в серии линий. Наиболее чётко это проявляется в спектре наиболее простого атома – водорода. Атомный спектр водорода наблюдают при электрическом разряде в вакуумной трубке тогда, когда большая часть молекул Н2 диссоциировала на атомы. Однако в парах ртути полосы молекулярного спектра исчезают уже во время диссоциации.

На рисунке 2.4 приведена часть спектра водорода в видимой и близкой ультрафиолетовой области. Расстояние между линиями убывает при переходе от

где n = 3, 4, 5…; В – эмпирическая константа.

Вспектроскопии принято характеризовать спектральные линии не частотой,

авеличиной, обратной к : * 1/ , которую называют спектроскопическим волновым числом (не путать с k 2 / !). Шведский спектроскопист Ридберг предложил записывать предыдущую формулу в виде:

2,07 1016 с-1 также называют постоянной Ридберга, она используется в другом варианте записи указанной выше формулы:

Вместе с серией Бальмера в спектре атомарного водорода был выявлен ряд других серий (рис. 2.5), которые представляются аналогичными формулами:

где m в каждой серии – const (m = 1, 2, 3…), а n = m+1, m+2…

1. Атомы и атомные системы могут длительное время находиться лишь в определенных стационарных состояниях, в которых, несмотря на ускоренное движение заряженных частиц входящих в их состав, они не излучают и не поглощают энергию. В этих состояниях атомные системы имеют энергии, образующие дискретный ряд: Е1, Е2, Е3 ... Еn . Стационарные состояния устойчивые, всякое изменение энергии системы вследствие испускания или поглощения электромагнитного излучения, или вследствие соударений может произойти при полном переходе (скачком) из одного из этих состояний в другое.

Согласно ядерной модели Резерфорда это означает, что из бесконечного числа электронных орбит, возможных с точки зрения классической физики, в действительности реализуются только некоторые определенные орбиты.

2. Переходя из одного стационарного состояния в другое, атомы испускают или поглощают излучение лишь строго определенной частоты. Излучение, которое испускается или поглощается при переходе из состояния Еm в состояние

Это условие называют правилом частот Бора.

В соответствии с моделью атома Резерфорда излучение или поглощение светового кванта с частотой происходит при переходе с одной стационарной орбиты на другую. Частота излучаемой линии равна

Еm Еn . h h

Если произвольную аддитивную в выражении для энергии выбрать так, чтобы E оборачивалась в нуль при удалении электрона от ядра на бесконечность, то все Ei будут отрицательными (для удаления электрона от ядра необходимо осуществить положительную работу). Тогда

Еm Еn .

h h

Правило частот Бора объясняет комбинационный принцип Ритца. Из него можно получить:

тогда Tn Еn , т.е. термы определяются энергетическими уровнями атома, тем ch

самым был раскрыт их физический смысл.

2.5 Экспериментальное подтверждение постулатов Бора. Опыт Франка и Герца [4,6]

Существование дискретных энергетических уровней атома подтверждается опытами, выполненными Франком и Герцем в 1914 г. В этих опытах находилось распределение скоростей электронов до и после их соударений с атомами и молекулами разреженного газа. Было установлено, что при скоростях электронов,

меньших некоторой vкр., столкновение происходит упруго – электрон не передает атому свою энергию, а изменяет лишь направление своей скорости. При v = vкр. столкновение электрона с атомом становится неупругим - электрон теряет всю энергию, передавая ее атому, который после этого переходит в другое стационарное состояние с большей энергией. Отсюда следует, что атом или совсем не воспринимает энергию, или воспринимает ее в количествах, равных разности энергий в двух стационарных состояниях, характерных для данного атома.

Схема установки приведена на рисунке 2.6. В заполненной парами ртути трубке под небольшим давлением (~ 1 мм. рт. ст.) размещались три электрода:

катод К, сетка С и анод А. Электроны, вылетающие с катода вследствие термоэлектронной эмиссии, ускорялись разностью потенциалов U между катодом и сеткой. Эту разность потенциалов можно было плавно менять потенциометром П. Между сеткой и анодом создавалось слабое электрическое поле (Ua ≈ 0,56 В), тормозящее движение электронов к аноду. Анода достигали лишь те электроны, энергия которых

Е eU eUa .

Исследовалась зависимость силы тока І в цепи анода (гальванометром Г) от напряжения U (рис. 2.7).

На пути движения электроны испытывали многочисленные столкновения с атомами газа. Максимумы тока І наблюдались при потенциалах U = 4,9; 9,8; 14,7 В. Разность между этими значениями постоянна и равна 4,9 ± 0,1 В. Максимумы на кривой имеют простое толкование. Пока энергия электронов меньше, чем 4,9 эВ, они испытывают с атомами ртути упругие соударения, их энергии достаточно для преодоления разности потенциалов между сеткой и анодом, ток возрастает с увеличением потенциала по обычному закону. При потенциалах, больших 4,9 В, столкновенья становятся неупругими, электроны отдают всю свою энергию атомам ртути и задерживаются сеткой С. Вследствие этого ток в цепи анода резко падает. Если энергия электронов заметно превосходит величину 4,9 еВ, то такие электроны, потеряв часть своей энергии при неупругом столкновении с атомами ртути, сохраняют достаточно энергии для преодоления Ua, и ток начинает возрастать.

Значение энергии 4,9 эВ играет, таким образом, для атомов ртути особую роль. Ускоряющий потенциал Uрез = 4,9 В называется резонансным потенциалом атома ртути. Атом любого химического элемента характеризуется своим значением Uрез.

Таким образом, опыты Франка и Герца показали, что энергия атомов изменяется дискретно, и Е eUрез .

2.6 Теория Бора водородоподобного атома [1,5,4,6,7]

Теорию Бора можно рассматривать как первую попытку создания теории атома с учетом квантовых представлений. Она дала хорошие результаты лишь при исследовании так называемого водородоподобного атома, когда вокруг точечного ядра (размеры легких ядер ~10-15 м а атомов ~10-10 м, поэтому ядра в теории атома можно считать точечными) с зарядом +Ze оборачивается лишь один электрон.

Z = 1 – атом водорода Н;

Z = 2 – однократно ионизированный атом гелия Не+; Z = 3 – двукратно ионизированный атом лития Li++;

Z = 4 – трёхкратно ионизированный атом бериллия Ве+++ и т.д.

В основе теории Бора лежит предложенное им правило квантования энергии водородоподобного атома. В общем виде проблема квантования для любых атомных систем была сформулирована в квантовой механике, она достаточно сложна. Правило квантования Бора представляет лишь исторический интерес, но оно приводит к правильным результатам и его целесообразно рассмотреть. При решении задачи используется аналогия с классической механикой и эмпирически установленное выражение для спектральных термов атома водорода.

Примем, что спектральные термы и соответствующие им уровни энергии водородоподобного атома имеют бальмеровский вид:

Целое число n называют главным квантовым числом, оно нумерует орбиты атома. С ростом n соседние уровни энергии атома сближаются, и при n расстояние между ними 0. Дискретность энергетического спектра становится все менее и менее заметной. Поэтому в этом предельном случае можно считать, что квантовая система будет вести себя как классическая. Это положение