Лекция 4

Лекция 4

УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА.

4.1.Уравнение Шредингера

4.2.Операторный метод

4.3.Моделирование потенциальных кривых для определения поведения микрочастиц

4.4.Квантование энергии в случае одномерной прямоугольной бесконечно глубокой потенциальной ямы

4.5.Потенциальный барьер. Туннельный эффект

4.6.Свойства момента импульса частицы

4.7.Собственные функции и собственные значения оператора проекции момента импульса

4.8.Собственные функции и собственные значения оператора квадрата момента импульса

4.1. Уравнение Шредингера

Обнаружение волновых свойств микрочастиц показало, что классическая механика не в состоянии описать их поведение. Новая механика, учитывающая эти свойства, была созданная Шредингером, Гейзенбергом, Дираком и др. и получила название квантовой механики.

Основным уравнением квантовой механики является уравнение Шредингера. Подобно уравнению Ньютона в классической механике это уравнение не может быть получено теоретически. Оно является существенно новым принципом, его невозможно вывести логически из старых принципов, в которых он не содержится. Можно, конечно, привести некоторые соображения, объясняющие установление уравнения Шредингера (например, провести разумное обобщение волнового уравнения на случай дебройлевских волн), но подобные обобщения не могут, конечно, служить доказательством этого уравнения. Справедливость же уравнения Шредингера, как и любого исходного положения новой теории, подтверждается согласованием с опытом результатов, получаемых с его помощью.

Заметим, что уравнение Шредингера является нерелятивистским постулатом квантовой механики. В релятивистской области используется уравнение Дирака.

Плоская волна де-Бройля Aexp[i kr t ] описывает свободное равномерное движение микрочастицы. Основная задача квантовой механики - определение волновой функции частицы, находящейся в заданном силовом поле. Для решения этой задачи и служит уравнение Шредингера

где – волновая функция, 2 – оператор Лапласа, U U(r,t) – потенциальная энергия частицы.

Как следует из уравнения (4.1) вид волновой функции определяется потенциальной энергией, т.е. характером сил, действующих на частицу. Вообще говоря, U U(r,t). Для стационарного силового поля U не зависит явным образом от времени. В этом случае волновая функция состоит из амплитуды (функции, не зависящей от времени) и множителя, периодического по времени (стоячая волна).

Предположим, что содержит время только в множителе типа e i t , тогда распадается на два множителя, один из которых зависит только от времени, второй – от координат:

(x,y,z,t) е i t (x,y,z).

2 e i t U e i t i ( i ) e i t .

2m

Принимая гипотезу, что аналогично квантам света E - полная энергия частицы в стационарном состоянии, получим уравнение

Это уравнение называют уравнением Шредингера для стационарных состояний. Функция U определяется классически, как будто бы частица никакими волновыми свойствами не обладает.

Полная волновая функция е i t является периодическим решением. Но хотя уравнение Шредингера в некоторых случаях удовлетворяется периодическими решениями, никаких реальных волн, распространяющихся в физической среде, они не описывают. Волновую функцию принципиально нельзя наблюдать - это не физическая величина.

Согласно Борну, волновой функции следует придать статистическую (вероятностную) интерпретацию. При рассмотрении волн деБройля мы показали, что поведение свободного электрона описывается плоской волной де-Бройля, но физический смысл имеет только квадрат амплитуды (интенсивность) этой волны, пропорциональный вероятности выявить частицу в некотором месте пространства (плотность вероятности).

Аналогично этому, квадрат модуля 2 * для любой точки

пространства играет роль функции распределения и характеризует плотность вероятности выявить частицу в момент t в объеме пространства dV с координатами от r до r dr . Соответствующая вероятность

Для стационарных состояний

* e i t ei t * *,

так что в этом случае плотность вероятности от времени не зависит. Поскольку * интерпретируется как вероятность, необходимо

нормировать функцию так, чтобы вероятность достоверного события равнялась 1, тогда условие нормировки будет иметь вид

Это означает, что частица находится где-нибудь в пространстве.

Перейдем к анализу уравнения Шредингера. По классификации это дифференциальное уравнение второго порядка. На волновую функцию, как решение, удовлетворяющее уравнению второго порядка типа ШтурмаЛиувилля должны накладываться следующие условия. Функция должна быть непрерывной и иметь непрерывную производную, кроме того, должна быть однозначной и конечной во всем пространстве, а также удовлетворять определенным граничным условиям, определяющимся видом функции U(r).

Эти требования приводят к тому, что решения волновых уравнений существуют не при любых, а только при некоторых значениях параметра, получивших название собственных значений. В данном случае таким параметром является энергия с собственными значениями Е1, Е2, Е3... .

Соответствующие этим собственным значениям решения волнового уравнения 1, 2, 3 ... называются собственными функциями. Возможные значения энергии образуют так называемый энергетический спектр. Далее мы увидим, что в случае, когда движение частицы не ограничено в пространстве, её энергетический спектр непрерывный, если ограничено - дискретный.

Таким образом, Шредингер решил проблему квантования энергии системы. В частности для атома водорода собственные значения энергии, как мы покажем позднее, совпадают с теми, что дает теория Бора. Нахождение собственных значений и собственных функций - довольно сложная задача. В дальнейшем мы рассмотрим некоторые наиболее важные в атомной физике случаи движения.

4.2.Операторный метод

Вбольшинстве построений квантовой механики широко используется операторный метод. Под оператором понимают символ, который при действии на функцию некоторых переменных дает новую функцию тех же переменных. Символически это записывается следующим образом:

f Qˆ ,

где Qˆ – символическое обозначение оператора.

Под символом оператора прячется совокупность действий, с помощью которых исходная функция превращается в другую функцию f. Например, под символом оператора Лапласа понимается операция

над некоторой функцией . В частности оператор может определять

Рассмотрим элементы алгебры операторов.

1.Под суммой операторов Aˆ Bˆ понимают такой оператор, действие которого на любую функцию f(x) дает результат Aˆf(x) Bˆf(x) .

2.Под произведением операторов Aˆ Bˆ понимают оператор, действие которого на любую функцию f(x) равно Aˆ[Bˆf(x)] (сначала выполняется Bˆ ,

4.Оператор Aˆ называется линейным, если для любых двух функций f и

и любых постоянных и выполняется соотношение

Aˆ( f ) Aˆf Aˆ .

В квантовой механике применяются только линейные операторы. Возвратимся к уравнению Шредингера (4.7). Специфика его в том, что

оператор Hˆ , действуя на волновую функцию , воспроизводит ее с точностью до произвольного множителя Е. Понятно, что это не может быть справедливым для произвольной функции и произвольного числа Е.

В алгебре операторов считается, что в случае выполнения условия Fˆf f величина является собственным значением оператора Fˆ , которое принадлежит к собственной функции f этого оператора.

Таким образом, уравнение Шредингера можно трактовать как уравнение для определения собственных значений и собственных функций оператора Hˆ . Величина Е представляет собой всевозможные значения энергии частицы (электрона) в силовом поле U(r), тогда можно считать, что

возможные значения энергии суть собственные значения оператора Hˆ . На основании этого оператор Hˆ называют еще оператором энергии.

Совокупность собственных значений оператора энергии образует спектр допустимых значений энергии частицы. В этом и заключается принцип квантования энергии частицы, движущейся в произвольном силовом поле.

Такое сопоставление проводится не только для энергии, но и для других физических величин: каждой физической величине сопоставляется оператор, совокупность собственных значений которого определяет спектр допустимых значений этой величины.

В операторе энергии (4.6) второе слагаемое – потенциальная энергия частицы, его можно рассматривать как оператор потенциальной энергии частицы, т.е. Uˆ U . Поэтому оператор

следует рассматривать как оператор кинетической энергии. В классической

механике T p2 . Учитывая соответствие между квантовой и классической

2m

механикой, следует считать, что Tˆ только множителем 1/2m может отличаться от оператора квадрата импульса частицы. Отсюда pˆ i – оператор импульса, а, соответственно, операторы проекций импульса имеют вид

Остановимся еще на одном вопросе, специфичном только для квантовой механики. Пусть Aˆ и Bˆ – два квантовомеханических оператора, каждому из которых соответствует свой спектр собственных значений. Возникает вопрос: всегда ли существует состояние , в котором величины А и В могут быть измерены одновременно?

Для ответа на этот вопрос предположим, что n – собственная функция и Aˆ и Bˆ , т.е.

где An, Bn – числа, являющиеся собственными значениями операторов Aˆ и

Bˆ в одном и том же состоянии n . Домножая первое равенство слева на оператор Bˆ получим

На основании этого уравнения еще нельзя заключить, что AˆBˆ BˆAˆ 0, так как n – не произвольная функция, а лишь одна из общих собственных

функций операторов Aˆ и Bˆ . Предположим, однако, что каждая собственная функция оператора Aˆ является также собственной функцией оператора Bˆ и наоборот. Существует математическая терема, которую мы досказывать не будем, что произвольная волновая функция может быть разложена по

собственным функциям оператора Aˆ ( или Bˆ ), т.е.

n cn n .

i 1

Из этой формулы и соотношения (4.10) следует, что

т.е. операторы Aˆ и Bˆ коммутативны.

Итак, если все собственные функции операторов Aˆ и Bˆ совпадают, то эти операторы коммутируют. Другими словами, две величины А и В могут быть измерены одновременно тогда и только тогда, когда соответствующие им операторы Aˆ и Bˆ коммутируют.

4.3. Моделирование потенциальных кривых для определения поведения микрочастиц

Лишь немного реалистических квантовомеханических задач (например, теория атома водорода, гармоничного осциллятора и несколько других задач) допускают точные решения в аналитической форме, да и то их построение требует достаточных математических знаний. В ряде случаев (например, в ядерной физике) действительный ход потенциальной функции U(х) неизвестен. Аппроксимируя в таких случаях U(х) прямоугольными барьерами и ямами, устанавливают не только общие особенности поведения микрочастиц, но и получают количественные результаты оценочного характера.

Построенные модельные поля позволяют сравнивать поведение классической и квантовой частиц. Классическая частица с энергией Е1 (рис. 4.1) может находиться лишь в области (х3, х4), совершая колебания между крайними ее точками, т.е. движение частицы будет финитным. Частица с энергией Е2 может осуществлять как финитное (колебательное) движение в области (х2, х5), так и инфинитное в области (х ≥ х6). Зона же (х5, х6) – запрещенная для классической частицы с энергией Е2. Наконец, частица с энергией Е3 осуществляет инфинитное движение в области (х > х1). Таким образом, классическая частица не может преодолеть потенциальный барьер, если ее энергия меньше высоты этого барьера.

Поведение квантовой частицы в аналогичных ситуациях, как мы убедимся позднее, отличается от поведения классической. В частности она может преодолеть барьер конечной ширины (случай Е2). Такое преодоление получило название туннельного эффекта. Кроме того, энергетический спектр квантовой частицы в случае финитного движения оказывается дискретным. Причем, с математической точки зрения, квантование - естественное следствие стандартных условий, накладываемых на решения уравнения Шредингера.

Перейдем к рассмотрению некоторых более простых случаев, на которых проиллюстрируем квантование энергии на основании уравнения Шредингера.

4.4. Квантование энергии в случае одномерной прямоугольной бесконечно глубокой потенциальной ямы

Рассмотрим поведение частицы в одномерной прямоугольной потенциальной яме бесконечной глубины (рис. 4.2 б). Такие потенциальные функции имитируют очень глубокие потенциальные ямы при невысоких энергиях движения частиц. Будем считать, что частица движется вдоль оси х. Тогда ее движение ограничено непроницаемыми «стенками»: х 0 и х l , на которых функция U(х) испытывает разрыв от 0 до (рис. 4.3). В таком случае целесообразно принять за нуль потенциальной функции ее значение на «дне» потенциальной ямы. Таким образом, для U(х) выполняются условия

попасть не может. Поэтому вероятность выявить

Рис. 4.3

частицу, а соответственно, и функция за пределами ямы равны нулю. Из условия непрерывности на границе ямы найдем условие, которому должно удовлетворять решение уравнения (4.13):

где А и – произвольные постоянные, должно удовлетворять граничным условиям (4.14).

Из условия

(0) sin 0

следует, что 0. Из условия

(l) Asin(kl) 0

где n =1, 2, 3, …(n = 0 исключается, поскольку в этом случае 0 – частица нигде не находится).

Подставив k из (4.17) в (4.15) получим

Энергия оказалась квантованной, а ее спектр – дискретным (рис. 4.4). Оценим расстояние между соседними уровнями для случая свободных электронов в металле. Пусть l = 10 см. Тогда

Так плотно расположенные уровни будут восприниматься практически как непрерывный спектр. Однако совсем другой результат получим для электрона, если область, в которой он движется, будет порядка атомных размеров (~ 10-10 м). Тогда Е 102 n эВ, так что дискретность энергетических уровней будет достаточно заметной.