Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донецкий национальный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

методическое пособие 2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.04.2015

Размер:

1.58 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 86 7 8 > Следующая >>>

81.

lim

sin x

;

82.

lim

3sin 2x 2sin x

;

x 0 sin 6x sin 7x

x 0

83.

lim x ctg5x ;

84.

lim (1 x) tg

;

x 0

x 1

10 x

85.

lim 1

;

86.

lim 1

;

x 2

			x					2x 1
87.	lim	x 5		;	88.	lim	x 1	;


	x x 2					x x 2

x2 1

89.

lim

;

90.

lim

;

x x

3 x

x 1

91. lim

;

92. lim

;

x x 1

x 2 х

x 1

93.

lim

;

94.

lim

2x 1

3x 1

95.

lim

;

96.

lim

;

x 1

2x 1

97.

lim

;

98.

lim

;

3x 2

4x 2

x x

x 1

x 2

99. lim 1

;

100. lim

;

x 1

(2x 1)

101. lim

;

102. lim

;

x x

1x3 ;

103. lim (

1 x x) x ;

104. lim (1 2x3 )

x 0

105. lim

e7 x e2x

;

106. lim

e4x e3x

;

x 0

sin x

x 0 sin 4x sin3x

107. lim (x 2) ln(x 1) ln( x 1) ;

108. lim (x 4) ln(2x 7) ln(2x 3)

ex e

e3x

109. lim

;

110. lim

;

e5x

x 0

111. lim

lg (110x)

;

112. lim

ln (1 x)

;

x 0

l o g7 (1 5x)

x 0

ln(1 2x)

113. lim x lg

10 x

;

114. lim x ln

4 x

x 5

x 2

7. Сравнить бесконечно малые функции при x → 0.

α(x) = e2 x ex , β(x) = sin 2x – sin x;

2. α(x) = arcsinx, β(x) = sin2x;

x(x 1)

α(x) =

, β(x) = x;

4. α(x) = arctg 2x , β(x)= x ;

α(x) =

1 2x 1

x , β(x) = x;

6. α(x) = x(x 1) , β(x)=x;

8. α(x) =x sin x, β(x)= x2 cos x;

α(x) = 3 27 x 3

27 x , β(x) = x ;

α(x) =

, β(x) = x;

10. α(x) =arctg

, β(x)=x.

1 x

8. Указать область непрерывности функции, точки разрыва и

исследовать их характер.

;

x 4

x 5

x 2

;

x 4

;

16 x2

;

(x 2)2

(3 x)4

x2 1

;

8. y

x 2

;

x2 3х 2

x2 х 6

y 2 x 2 ;

10. y 3x 1 ;

х 1

х 7

11. y 2 x2 4 ;

12. y 2 x2 3х ;

3x, x 2; 13. y

1, x 2.

x 2 , x 0; 15. y

x 1, x 0.

x 1, x 1; 17. y

2x 2 , x 1.

2x 3, x 3; 19. y

1 x 2 , x 3.

x 2 , x 0; 21. y

2x, x 0.

23.	y	4 x 2			;
		4x	x	3

25.y x2 3х 2 ;

х2

27.y arctg 1x ;

9.При каком значении Построить эскиз графика.

x, x 1;

14.

x, x 1.

16.

, x

2x, x 0.

18.

x 1, x 1;

3 x 2 , x 1.

20.

3 x, x 3;

ex , x 3.

, x 2;

22.

x, x 2.

24.

;

26.

x 2

;

y arctg

28.

x a

параметра

функция непрерывна.


				1	, х 0;		ех , х 2;

				х 1
1.	у			х 1		2.	у	А(2 х), х 2;
				Ах 3, х 0;				А(2 х), х 2;
				Ах 3, х 0;
	2x 1, x 2;								2	, x 0;
3.	2x 1, x 2;					4.	2x			, x 0;
3.	y		Ax, x 2;			4.	y
			Ax, x 2;				Ax 2			1, x 0;

		х2 , 0;					x, х 2;
5	у	Ах 3, х 0;				6.	у	Ах		3, х 2.
		Ах 3, х 0;						Ах		3, х 2.

3.6. Тема №6. Производная и ее приложения

Литература

1.Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление. Гл. 3-4.

2.Высшая математика: Учеб. пособие для студентов пед. иститутов. Под

ред. Г.Н.Яковлева . Гл. 4.

3. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа.

Гл. 3-4.

Основные навыки и умения

Обучаемые должны уметь:

1.находить производную в точке функции по определению; знать ее механическое и геометрическое толкование;

2.находить угловой коэффициент и угол наклона касательной к графику функции в данной точке;

3.составлять уравнение касательной;

4.уметь дифференцировать элементарные функции с использованием правил дифференцирования;

5.владеть общей техникой дифференцирования функций;

6.описывать реальные процессы при помощи производной;

7.дифференцировать неявные функции, параметрически заданные функции , степенно-показательные функции;

8.находить производные высших порядков;

9.применять вторую производную для решения физических задач;

10.находить дифференциалы первого и второго порядков функции;

11.применять дифференциал для приближенных вычислений;

12.раскрывать неопределенности вида:	0			0	, 0	0		с
12.раскрывать неопределенности вида:		,	,		, 0		, 1	с
	0

использованием правила Лопиталя;

13.находить экстремум функции и интервалы возрастания и убывания функции;

14.находить наибольшее и наименьшее значение функции на данном отрезке;

15.находить интервалы выпуклости и вогнутости графика функции,

точки перегиба;

16.находить асимптоты графика функции;

17.уметь строить графики элементарных функций как результат общего исследования функции при помощи первой и второй производной;

18.представлять функции по формуле Тейлора в виде многочлена n-й

степени и остаточного члена;

19.использовать стандартные разложения функций ех, cosx, sinx, ln(1+x), (1+x)n по формуле Маклорена при решении задач;

20.применять формулу Тейлора для приближенных вычислений.

Задания для самостоятельной работы

1. Найдите производную данной функции:

1.	y 5x 2.			2.	y
1.	y 5x 2.			2.	y	x.
3.	y x3 6х 2.			4.	y 1 .
					x
		1			y x	4 1 x3			2,5x 2.

5.	y 3x2 5x4 1.			6.
						3
7.	y x	3 1 x 2	2x 4.	8.	y 6x7 4x3 1 x.
		5							8
				10. y				3		9	.
9.	y 5	x 5 3.					x	3		9
9.	y 5	x 5 3.					x
								x		x 2

11. y 2x 1x 4 3.

13. y (x 0,5)2.

15. y (x 1)2(x 1).

17. y 1 x2.

19. y xx 11.

21.y 3x 2 1.

23. y 1 x3 .

1 x3

25. y x 2 x 1. a 2 3

27.y x 2 x 1.

x3 1

29.	y		1				x		.
		1

						2x
31.	y						1		4
31.	y	1 2x 2							.


33.	y	3			1			.
33.	y	3			x 2			.
		1			x 2
35.	y				1						5	.
			3
			3	2x 1						4	(x2 2)3
			(1
37.	y		(1				x)2 .
					x

39.y 2x 2 x 1.

x2 x 1

41. y (x 1)(x 2)(x 3).

12.	y 0,8 4																x3					1
									x								x3					1		.
									x															.
																0,3 5x 2

14.	y			x(x3														x 1).
16.	y 0,5 3(a x)2.
																1
18.	y (				x 1)(											1					1).

																			x
																			x
20.	y				x						.
20.	y		x 2			1					.
22.	y		x3 2x														.
22.	y																.
			x 2 x 1
24.	y				2					.
24.	y		x3		1					.
26.	y			2x 4
														.
			b2		x 2									.
28.	y						3																.
28.	y		(1 x 2 )(1 2x3)																				.
		1 3
30.	y	1 3						2x							.
30.	y	1 3													.
		1 3						2x
32.	y						2													.
32.	y		(x2 x 1)2																	.
34.	y		1 x									.
34.	y											.
				1 x
	y 1 3												16.
36.	y 1 3						x 2						16.
																		х

		1
38. y	x	1		0,1x10.

			x
			x

40.y x x .

x23 x

42. y 3 . x 4 2

43. y sin x cos 3x.

45. y tgxx .

47. y 14 tg4 x.

49. y 3sin 2 x sin 3 x.

51.y x sin x .

1tg x

53.y sin 3x.

55.	y sin 1 .
					x

57.	y			tg x.
		2
59.	y (1 sin 2 x)4 .
61.	y 3sin 2 x lg								x 3cos2 x.
63.	y 5cos x .
65.	y ex (cos x sin x).
67.	y		sin x			.
67.	y					.
		1 tg x
69.	y x arcsin x.
71.	y (arcsin x)2.
		1
73.	y							.
73.	y	arcsin x						.

75.	y			x arctg x.
	y			x 2
77.							.
77.			arctg x				.

44.	y				x
								.
		1 cosx						.
46.	y cos2 x.
48.	у cosx 1 cos3									x.
					3
50.	y					x
									.
				sin x cosx					.
52.	y 1 tg3 x tgx x.
	3
54.	y 3				sin (3x 5).
56.	y cos3 4x.

58.	y sin 1 x2 .
60.	y 2 ctg x 3 sin x.
62.	y ln				tg x.
64.	y ln				sin (x3 1)
66.	y 2ex ln x.
68.	y tg x ctg x.
70.	y arcsin x .
				arccos x

72.	y x arcsin x									1 x2 .
74.	y arccos x .
					x
					x
76.	y						arctg x.
76.	y		1 x 2				arctg x.
78.	y arcsin(x 1).

79.	y x2 log						3	x.
							3
81.	y x lg x.
83.	y	x 1				.
83.	y					.
		log 2 x
85.	y	1 ln						x .
		1 ln						x

87.	y		1 ln 2 x.
89.	y	ln (x2						4x).
91.	y	log			3	(x2 1).
					3
93.	y ln				arccos 2x.
95.	y		1	.
95.	y			.
			3x
97.	y	x 10x .
99.	y		x	.
99.	y			.
			ex

101. y ex cos x.

103. y cos x . ex

105. y 1 ex .

107. y 1 10x .

1 10x

109. y e x. 111. y e x 1. 113. y sh3 x.

115. y th(1 x2).

117. y cos5x.

119. y (x 1)100.

80.

y ln 2 x.

82.

84.

ln x

86.

1 x 2

88.

ln (1 2x).

90.

sin x.

92.

tg x.

94.

y 2x .

96.

98.

y xex.

100.

x3 2x .

102.

sin x

104.

y x3

3x .

106.

y (x2

2x 3)ex .

108.

1 x 2

110.

y 102 x 3 .

112.

y 3sin x .

114.

y ln

ch x.

116.

y ch(sh x).

118.

y 73x 1.

120.

y arcsin x.

121.	y ectg x.			122.	y tg 4x.
123.	y ln (5x3 x).			124.	y cos4 x sin 4 x.
125.	y (sin 3x cos3x)2.			126.	y	1	.

						arcsin x
		sin x
127.	y		.	128.	y x 2 x .

	1 tg x

2. Найти производные от функций, заданных неявно:

1. x4 y4 x2 y2. 3. y3 3y 2ax 0.

5. y x sin(x y)

x 2

y 2

b 2

a 2

9. y

ln(x y 2 )

11.

x y arcsin x arcsin y.

13.

cos x2

15.

y 1 xey.

17.

x sin y cos y cos 2y 0.

19.

y 5.

21.

3y2 4xy 10 0.

23.

x y3

25.

exy

cos(x2 y2) 0.

27.

x 2

y2 ln

29.

y sin (x y).

	1	1	1
2.	x 2	y 2	a 2.
4.	y2	2xy b2		0.
6.	y2 cos x a 2 sin 3x.

8. 2x 2y 2x y .

10. 2y ln y x.

12. x3 3y .

14.x 3 y 3 a 3 .

16.y x arctg y.

18. y sin x cos(x y) 0. 20. arctg y x2 y.

22. arcsin xy y ln x.

24. x3 y3 sin (x 2y). 26. x sin y y sin x 0.

28. x4 y4 x2 y2.

30. ex y xy.

3.Найти производную

1.x t3, y 3t.


3. x		t 1	, y		t 1	.

		t			t
5.	x 2 cos			t, y 3 sin t.
7.	x t sin			t, y 1 cos t.
9.	x 5ch t, y 4sh t.

yx от функций,

11.	x a( sin ), y a(1 cos ).
13.	x ln (1 t 2), y t arctg t.
15.	x (1 sin ), y cos .
17.	x	3at	, y	3at 2	.

	1 t3		1 t3

заданных параметрически:

2. x cos3 t, y sin 3 t.

4. x t arctg t, y t33 1. 6. x t3 t, y t 2 t 1. 8. x sin 2 t, y cos2 t.

10.	x at 2, y bt3.
12.	x 1 t 2, y t t3.
14.	x 1 t3	, y		1	.
			t 2
	t 2 1			1
16.	x et sin	t, y et cos t.
18.	x at 2, y bt3.

4. Найти производные указанного порядка для следующих функций:

y 5x ;

y'' ?

y ln

cos x; y'' ?

y sin 2 x;

y'' ?

y xex; y''' ?

y ln

yIV

; y'' ?

4x 1

y x2

3x 2; y'' ?

y 1 x2

x4; y''' ?

y (x 10)6;

y''' ?

10.

y x6 4x3 4; yIV ?

11.

y (x2 1)3;

y'' ?

12.

y cos2

y''' ?

13.

y e2x 1;

y'' ?

14.

y arctg x; y'' ?

15.

; yV ?

16.

y x3 ln

yIV ?

1 x

17.

y xex2 ;

y'' ?

18.

;

y'' ?

19.

y (1 x2)arctg x; y'' ?

20.

a 2

x2 ; y'' ?

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 86 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.03.2016223.23 Кб23методика вищ шк магістр.doc
#
10.11.20194.89 Mб83МЕТОДИКА тр. н. Веремійчик в поч.шк..doc
#
16.03.201632.09 Кб34Методики ШПС.docx
#
08.11.2018261.63 Кб7Методич реком для ІСМ.doc
#
13.04.2015739.87 Кб24методическое пособие 1.pdf
#
13.04.20151.58 Mб35методическое пособие 2.pdf
#
05.11.2018407.04 Кб1МЕтодичка - ДИпломка.doc
#
13.04.2015270.34 Кб14Методичка 2012 г. 3 курс заочники.doc
#
16.03.20161.25 Mб445Методичка 2013 нов.doc
#
28.04.2019272.38 Кб1методичка 3 курс.doc
#
17.11.2018542.21 Кб6методичка IUGP_d_o_novaya.doc