Выполнение интерполяционных условий , ;

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белгородский государственный национальный исследовательский университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ответы на цос.docx

Скачиваний:

Добавлен:

13.04.2015

Размер:

1.59 Mб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

Билет 1

Информация – процесс приращения знаний, необходимых для решения некоторой задачи.
Теорема Котельникова. аналоговый сигнал имеет конечный (ограниченный по ширине) спектр, то он может быть восстановлен однозначно и без потерь по своим отсчётам, взятым с частотой, большей или равной удвоенной верхней частоте :

Билет 2

Сигнал – функция времени, параметром которой закодирована передаваемая информация. Технические средства генерируют искусственные сигналы. Именно поэтому они генерируются по определенным правилам, знание которых позволяет декодировать информацию.

При этом возникают основные опасности:

Ошибки кодирования и декодирования (сбои в оборудовании);
Другие потери информации (информационная безопасность);
Помехи (из внешней среды и в оборудовании);
Тепловые шумы.

Сигнал как функция времени принадлежит пространству и отвечает набору параметров. В этом пространстве сигнала необходимо использовать понятие расстояние между сигналами:

где и - сигналы, или.

Свойства:

- симметрия;

;

- условие неотрицательности.

Свойства интерполяционных функций Котельникова

Выполнение интерполяционных условий , ;
может быть вычислен при любом ;
Спектр этого сигнала существует, может быть получен:

(89)

(84) определяет сигнал с финитным спектром ,т.к. спектр интерполяционной функции Котельникова является финитным:

(90)

В связи с этим техническим средствам восстановления сигналов являются ФНЧ фильтры с импульсной характеристикой.

ЦАП – ФНЧ, удовлетворяющий (89) с прямоугольной характеристикой.

Билет 3

Информационная технология - совокупность методов, производственных и программно-технологических средств, объединенных в технологическую цепочку, обеспечивающую сбор, хранение, обработку, вывод и распространение информации. Информационные технологии предназначены для снижения трудоемкости процессов использования информационных ресурсов.
Спектральный анализ означает, что анализируемый сигнал представляется как некоторые числа, которые позволяют его восстановить в дальнейшем с использованием некоторых базисных функций.

(94)

Исходный вектор заменяется на - спектр сигнала в базисе и базисные векторы .

Спектр матрицы – это собственные числа, соответствующие собственным векторам.

В области радиотехники и связи наибольшее распространение получил спектральный анализ в базисе Фурье.

Наиболее общим представлением сигналов является частотное представление:

где - нормированная круговая частота (основной лепесток ), .

Базисные функции ортогональны в частотной области

Равенство Парсеваля:

(101)

В таком виде спектр не может быть использован в качестве инструмента для сжатия данных.

Основное назначение трансформанты Фурье – исследование распределения энергии.

Спектральный анализ используется для выявления наличия периодических компонент, где используется спектральное ( частотное) разделение, под которым понимается разность частот , когда при заданном N на графике спектра видны максимумы, соответствующие максимумам спектров соответствующих косинусоид:

Условие разрешения:

(108)

Тогда - длительность анализа.

Влияние ограниченности длительность анализируемого отрезка можно рассмотреть с позиции свёртки.

Предположим, что есть (где ), полученный из - бесконечен. Тогда

(110)

где - окно. Пример:

По теореме о свёртке:

В общем виде:

(111)

где - любое окно,

(111) – спектр отрезка (110) будет искажён по сравнению со спектром бесконечного сигнала и степень искажения зависит от выбранного окна. (каким образом можно изменить форму частотной характеристики фильтра, чтобы, например, подавить нежелательный шум и сигналы вне его полосы пропускания. Этот пробел восполняется путем введения весовой последовательности (окна) , на которую почленно умножается заданная последовательность,чтобы спектр стал равным 111)

В случае прямоугольного окна, то будет спектр, как в случае (

). Характерно медленное затухание боковых лепестков, что в результирующем спектре будут присутствовать далеко отстоящие компоненты. Это обстоятельство породило желание использовать другие окна, которые бы ослабили влияние дальних частот за счёт быстрого спадания боковых лепестков.

Спектральный анализ позволяет описать свойства сигнала в зависимости от частоты.

Если анализ происходит над малым по длительности сигналом, то его спектр:

где - спектр более длинного отрезка.

Если спектр исходного сигнала – финитный, т.е. , если , для любых .

Это явление получило наименование растекания спектра (см. лекцию 5).

Интервал растекания – больше 10 боковых лепестков функции , где ширина бокового лепестка .

Для того, чтобы уменьшить интервал растекания спектра предложили использовать окна, имея в виду простое соотношение:

(112)

где - весовые коэффициенты.

Прямоугольное окно: .

Его спектр:

Общее соотношение для оконного преобразования:

(113)

Основная задача подбора окон – максимальное подавление боковых лепестков.

Этого можно добиться, только увеличивая ширину основного лепестка, т.к. окно имеет ограниченную длительность и по соотношению неопределённости не может иметь финитный спектр.

В основном вид окон подбирается эмпирически.

Окно Бартлетта – первое из известных.

Окно Бартлетта в 4 раза меньше, чем прямоугольное.

Окно Бартлетта не максимально подавляет боковые лепестки, поэтому придумали и другие окна.

Эту добавку можно осуществить окна Хэннинга:

Окно Хэмминга позволяет ещё сильнее подавить боковой лепесток, по сравнению с окном Хэннинга.

Можно предположить, что окно имеет спектр, максимально сконцентрирован в полосе частот :

и скомпенсирован общей энергией .

- собственный вектор субполосной матрицы:

где , при .

Формирование диаграмм направленности антенных систем – ещё одно применение окон.

Билет 4

1. Термин информационная система (ИС) используется как в широком, так и в узком смысле.

В широком смысле информационная система есть совокупность технического, программного и организационного обеспечения, а также персонала, предназначенная для того, чтобы своевременно обеспечивать надлежащих людей надлежащей информацией.^[1].

В узком смысле информационной системой называют только подмножество компонентов ИС в широком смысле, включающее базы данных, СУБД и специализированные прикладные программы. ИС в узком смысле рассматривают как программно-аппаратную систему, предназначенную для автоматизации целенаправленной деятельности конечных пользователей, обеспечивающую, в соответствии с заложенной в неё логикой обработки, возможность получения, модификации и хранения информации^[6].

Спектральные окна и их роль в анализе сигналов

Если спектр исходного сигнала – финитный, т.е. , если , для любых .

Это явление получило наименование растекания спектра

(112)

где - весовые коэффициенты.

Прямоугольное окно: .

Его спектр:

Общее соотношение для оконного преобразования:

(113)

Основная задача подбора окон – максимальное подавление боковых лепестков.

В основном вид окон подбирается эмпирически.

Окно Бартлетта – первое из известных.

Окно Бартлетта в 4 раза меньше, чем прямоугольное.

Окно Бартлетта не максимально подавляет боковые лепестки, поэтому придумали и другие окна.

Эту добавку можно осуществить окна Хэннинга:

Окно Хэмминга позволяет ещё сильнее подавить боковой лепесток, по сравнению с окном Хэннинга.

Можно предположить, что окно имеет спектр, максимально сконцентрирован в полосе частот :

и скомпенсирован общей энергией .

- собственный вектор субполосной матрицы:

где , при .

Формирование диаграмм направленности антенных систем – ещё одно применение окон.

Билет 5

Охарактеризуйте роль компьютеров в современных системах связи
ДПФ и его свойства.

Дискретное преобразование Фурье – основной инструмент спектрального анализа.

Если есть сигнал , отсчётов, то ДПФ:

(114)

где - частота,

Дискретное преобразование Фурье – это просто значение спектра в дискретных точках частотной оси, отстоящих на расстоянии , т.е. предполагается равномерная дискретизация сигнала во времени и его спектра по частоте.

Обратное преобразование Фурье имеет вид

(115)

Докажем его справедливость, для этого (114) подставим в (115):

На основе ДПФ можно, используя интерполяцию, вычислить спектр в любой точке частотной оси:

(116)

Аналог формулы Парсеваля

- аналог

(117)

С точки зрения математики дискретное преобразование Фурье является коэффициентами разложения по ортогональному набору векторов:

- меняется i

- меняется k

Распространенный ДПФ как средство анализа сигналов обусловлен быстрым алгоритмов его реализации – быстрое преобразование Фурье (БПФ) – алгоритм вычисления дискретного преобразования.

ДПФ – БПФ – WiMax, LTE.

Билет 6

Сформулируйте основные принципы цифровой обработки сигналов

Цифровая обработка сигналов (ЦОС) – область знаний, приёмов и методов обработки информации, достаточно абстрагированная от конкретных приложений. В ней рассматриваются основные задачи, которые решаются с помощью этих методов с учётом специфики цифровых представлений.

Основные принципы цифровой обработки сигналов:

1. Принцип квантования значений сигналов по уровню, обусловленный конечностью разрядов цифрового преобразования.

2. Дискретизация в области определения сигналов.

Если - функция времени конечной длительности, т.е. - область определения (пределы, в которых меняется аргумент).

Почти всегда - эквидистантная решётка, отстаёт на шаг дискретизации .

Большинство методов цифровой обработки сигналов разработано без учёта эффектов квантования по уровню. В настоящее время это оправдано тем, что современные средства вычислительной техники обладают достаточной разрядностью, чтобы эффектами квантования по уровню можно было пренебречь.

Эффект квантования по уровню учитывается, если необходимо построить АЦП, обеспечивающее необходимую скорость преобразования с большим количеством разрядов.

Кроме того, эффекты квантования по уровню проявляются в виде погрешностей вычислений, реализуемых на цифровых умножителях.

3. Интерполяция как процесс восстановления непрерывных колебаний (реализуется в ЦАП).

В канале передачи распространяются непрерывные сигналы, поэтому при формировании сигнала имеется в виду модуляция при помощи заранее сформированных сигналов.

Обработка сигналов представляет собой реализацию некоторых преобразований сигналов. В основе таких преобразований – математические представления, которые принято называть моделями.

Алгоритм БПФ

Трудоёмкость БПФ - - выигрыш по количеству операций.

Основная идей алгоритма БПФ заключается в последовательном делении обрабатываемых последовательностей на две подпоследовательности, одна из которых состоит из отсчётов с чётными индексами, а вторая – с нечётными. Именно за счёт этого удаётся существенно сократить число вычислительных операций. При этом, однако, существенно усложняется алгоритм, т.к. требуется учитывать переадресацию и т.п.

(117)

где , - исходные данные, - вычисляемые коэффициенты ДПФ.

Если вычислять напрямую, будет операций умножения и сложения, что довольно много на сегодняшний день.

(118)

где .

Количество операций: .

	(119)
	(120)

где .

Если , то количество операций пропорционально . Выигрыш в количестве операций составляет .

Все программные средства имеют в своём составе содержат процедуру вычислении БПФ, при этом количество отсчётов обрабатываемых данных может быть дополнено нулями так, чтобы выполнялось условие: суммарное количество отсчётов должно равняться степени двойки, тогда достигается максимальный эффект.

Билет 7

Опишите основные классы моделей сигналов

Модель – описание объекта или процесса, достаточное для решения конкретной задачи (вербальные, логико – математические модели).

Логико – математические модели – описание, использующее специальный арсенал символических конструкций и допустимых операций над этими конструкциями с указанием возможных результатов таких преобразований.

Пример

Содержательная трактовка смысла конструкций и преобразований осуществляется с помощью вербальных описаний.

Символические конструкции описываются на вербальном уровне с точки зрения содержащегося в них смысла.

Математические модели	Описание → действие
Логические модели	Допустимые действия + их результат

В большинстве случаев теоретические основы любой науки, имеющей дело с количественными объектами, используют логико – математические модели.

На основе логико – математических моделей формулируются целевые функции (проблемы / принципы / критерии), которым сигналы должны удовлетворять. В большинстве случаев поиск решений, удовлетворяющих этим принципам, осуществляется на основе алгоритмических моделей, а затем эффективность полученного решения оценивается с использованием имитационных моделей, т.е. на основе воспроизведения возможной реальности.

Алгоритмические модели		для решения проблем формирования и обработки сигналов
Имитационные модели

Частотная фильтрация дискретных сигналов. Фильтры с конечной и бесконечной импульсными характеристиками

Классическая фильтрация на основе частотных представлений

Разделение сигналов возможно только тогда, когда имеются признаки, позволяющие указать принцип разделения.

Т.к. сигналы являются функциями от времени, то можно указать два основных подхода:

1. разделение во времени (стробирование)

2. частотный признак

То же самое можно сказать о подавлении шумов, энергия которых находится вне некоторого частотного интервала.

Классическая постановка задачи:

Есть , который состоит из полезного сигнала и помехи :

Идеальное условие: выделить компоненты спектра, которые совпадают с выбранным частотным интервалом:

Решить такую задачу невозможно в силу конечности интервала обрабатываемого сигнала .

	(121)
	(122)

Т.к. преобразование над сигналом целесообразно проводить во временной области, то

(123)

где

(123)

где , - импульсная характеристика – отклик системы на очень короткое воздействие.

Для ограниченного участка частотная характеристика отличается от идеальной.

Классический подход базируется на

	(140)
где в соответствии с идеальным требованием (128) должно выполняться
	(141)

Тогда обратное преобразование:

Если , то

(142)

где

(142) – свёртка для бесконечного выхода.

Обычно фильтры представляют

(143)

где - импульсная характеристика фильтра.

В зависимости от характеристики различают:

Фильтры с конечной импульсной характеристикой (КИХ - фильтры):

,

(143)
Фильтры с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ - фильтры):

Реально БИХ – фильтры не строятся, а только моделируется их функционирование. Использование положительной обратной связи - единственный вариант их построения.

Схема реализации БИХ – фильтров:

(145)

где - выход, - вход.

где задержка на 1 такт

если р=0

…

Если

(146)

где .

Если требуется использование характеристического уравнения:

где - корни характеристического уравнения

Обобщение:

Основная проблема такой фильтрации заключается в возможной неустойчивости фильтров.

,	(147)
где - импульсная характеристика.	(148)

Оператор задержки: , тогда .

Выражение (147) равняется:

Общее решение разностного уравнения:

где - постоянная для всех .

Это можно доказать, если в качестве брать корни характеристического уравнения:

(149)

В (149) модуль ставится для комплексных чисел.

Реально коэффициенты округляются, что может привести к изменению корней характеристического уравнения так, что они перестанут удовлетворять (149). Это является основной проблемой БИХ – фильтров.

Поэтому в настоящее время наибольшее распространение получили КИХ – фильтры.

	(150)
	(151)

Используя конечную импульсную характеристику, невозможно удовлетворить условию (151).

Реальная частотная характеристика будет иметь некоторую переходную полосу:

Поэтому существует проблема определения импульсной характеристики конечной длительности, чтобы наилучшим способом удовлетворялось условие (151) – идеальной частотной характеристики.

Наиболее простой подход – использование спектральных окон.

Если примем , где для полного удовлетворения (151).

(153)

где - функция окна.

Предлагается брать не прямоугольную частотную характеристику, т.к. большие боковые лепестки.

Пример: окно Ханна:

;

Осуществляется вычисление с помощью (153), а затем взвешивается с помощью любого из окон.

Один из способов расчёта КИХ – фильтров заключается в использовании спектральных окон для результатов обратного преобразования Фурье от желаемой частотной характеристики (в зависимости от (153)), что не является оптимальным способом.

Существуют другие подходы, в основе которых используются принципы оптимизации аппроксимации требования (151):

1. Полоса задержки и полоса пропускания – минимизация колебания, а полоса перехода – любая по ширине.

2. Метод аппроксимации на основе полиномов Чебышева (используется в Matlab):

где - аппроксимация, находятся коэффициенты, - коэффициенты Чебышева.

Коэффициенты Чебышева удовлетворяют требованию минимального требования, при этом пульсации одинаковой амплитуды.

Наличие переходной полосы приводит к тому, что на выходной сигнал фильтра оказывают сильное влияние сигналы из смежных частотных областей.

Ширина переходной полосы и уровень пульсаций определяются длительностью импульсной характеристики. Поэтому при использовании КИХ – фильтров сигнал дополняют нулями слева и справа.

Распространённость КИХ – фильтров во многом обусловлена технической реализацией в виде свёртки (сигнальные процессоры TMS):

Вместе с тем существует возможность ускорения вычисления свёртки на основе БПФ:

где .

Алгоритм:

Вычисляется БПФ анализируемой последовательности;
Перемножение
ОБПФ

Билет 8

Анализ сигналов — извлечение информации из сигнала, например, выявление и обособление интересующих особенностей в экспериментально полученной функции. Существуют корреляционный анализ сигналов и спектральный анализ сигналов.

Корреляционный анализ дает возможность установить в сигналах (или в рядах цифровых данных сигналов) наличие определенной связи изменения значений сигналов по независимой переменной, то есть, когда большие значения одного сигнала (относительно средних значений сигнала) связаны с большими значениями другого сигнала (положительная корреляция), или, наоборот, малые значения одного сигнала связаны с большими значениями другого (отрицательная корреляция), или данные двух сигналов никак не связаны (нулевая корреляция).

Спектральный анализ - это один из методов обработки сигналов, который позволяет охарактеризовать частотный состав измеряемого сигнала.

Частотная фильтрация дискретных сигналов, использование свертки

Классическая фильтрация на основе частотных представлений

Разделение сигналов возможно только тогда, когда имеются признаки, позволяющие указать принцип разделения.

Т.к. сигналы являются функциями от времени, то можно указать два основных подхода:

1. разделение во времени (стробирование)

2. частотный признак

То же самое можно сказать о подавлении шумов, энергия которых находится вне некоторого частотного интервала.

Классическая постановка задачи:

Есть , который состоит из полезного сигнала и помехи :

Идеальное условие: выделить компоненты спектра, которые совпадают с выбранным частотным интервалом:

Решить такую задачу невозможно в силу конечности интервала обрабатываемого сигнала .

	(121)
	(122)

Т.к. преобразование над сигналом целесообразно проводить во временной области, то

(123)

где

(123)

где , - импульсная характеристика – отклик системы на очень короткое воздействие.

Для ограниченного участка частотная характеристика отличается от идеальной.

Классический подход

Классический подход базируется на

	(140)
где в соответствии с идеальным требованием (128) должно выполняться
	(141)

Тогда обратное преобразование:

Если , то

(142)

где

(142) – свёртка для бесконечного выхода.

Билет 9

синтез сигналов –

Формирование сигнала представляет собой синтез. В его основе положены некоторые принципы (критерии), которые определяют желательность тех или иных свойств формируемых сигналов.

Главный критерий – спектральная эффективность (частотно - временной ресурс).

Главная задача – достичь максимума спектральной эффективности.

Ограничивающий фактор – помехи.

Одним из главных способов повышения спектральной эффективности является поиск канальных сигналов, которые отвечают требованиям максимизации этого показателя.

Вторая задача – восстановление информации – анализ колебаний, регистрируемых на выходе приёмника (как задача оценки передаваемых кодов). Критерий – вероятность правильного принятия решения.

Частотная фильтрация сигналов на основе ДПФ

- аналог

(117)

- меняется i

- меняется k

(117)

где , - исходные данные, - вычисляемые коэффициенты ДПФ.

Если вычислять напрямую, будет операций умножения и сложения, что довольно много на сегодняшний день.

(118)

где .

Количество операций: .

	(119)
	(120)

где .

Если , то количество операций пропорционально . Выигрыш в количестве операций составляет .

Билет 10

Каковы роли анализа и синтеза сигналов в системах связи, приведите примеры

Главный критерий – спектральная эффективность (частотно - временной ресурс).

Главная задача – достичь максимума спектральной эффективности.

Ограничивающий фактор – помехи.

Анализ сигналов — извлечение информации из сигнала, например, выявление и обособление интересующих особенностей в экспериментально полученной функции. Существуют корреляционный анализ сигналов и спектральный анализ сигналов.

Реализация сверток на основе алгоритма БПФ

(117)

где , - исходные данные, - вычисляемые коэффициенты ДПФ.

Если вычислять напрямую, будет операций умножения и сложения, что довольно много на сегодняшний день.

(118)

где .

Количество операций: .

	(119)
	(120)

где .

Если , то количество операций пропорционально . Выигрыш в количестве операций составляет .

Билет 11

Что такое интерполяция сигналов

Оценка значения неизвестной величины, находящейся между двумя точками ряда известных величин

Условие интерполяции: .

Условие выполняется, если

- формула Уиттекера – Котельникова – Шеннона (1933).

Критерий Котельникова – Зигерта:

Пусть сигнал имеет финитную область определения:

, т.е. его трансформанта Фурье:

, если	(83)
- точнее восстановление, если - интервал дискретизации выбран исходя ин неравенства	(84)
	(85)
или	(86)

Теорема отсчётов: если исходный сигнал имеет финитный спектр в смысле соотношения (83), то он может быть точно вычислен на основе (84), если выполняется условие (85) или (86) – (они эквивалентны), потому что - набор отсчётов, которые сохраняют полную информацию о сигнале с финитным спектром.

Котельников получил свою формулу, исходя из разложения в ряд Фурье трансформанты Фурье, а после интегрируя почленно этот ряд.

Другой вариант получения формулы:

Предполагается, что для выбора , , то получим:

Одни и те же формулы могут быть получены из разных соображений.

Свойства сигнала с соотношением (84)

Выполнение интерполяционных условий , ;
Может быть вычислен при любом ;
Спектр этого сигнала существует, может быть получен:

(89)

(90)

Расчет КИХ- фильтров с использование окон

Поэтому в настоящее время наибольшее распространение получили КИХ – фильтры.

	(150)
	(151)

Используя конечную импульсную характеристику, невозможно удовлетворить условию (151).

Реальная частотная характеристика будет иметь некоторую переходную полосу:

Наиболее простой подход – использование спектральных окон.

Если примем , где для полного удовлетворения (151).

(153)

где - функция окна.

Предлагается брать не прямоугольную частотную характеристику, т.к. большие боковые лепестки.

Пример: окно Ханна:

;

Осуществляется вычисление с помощью (153), а затем взвешивается с помощью любого из окон.

1. Полоса задержки и полоса пропускания – минимизация колебания, а полоса перехода – любая по ширине.

2. Метод аппроксимации на основе полиномов Чебышева (используется в Matlab):

где - аппроксимация, находятся коэффициенты, - коэффициенты Чебышева.

Вместе с тем существует возможность ускорения вычисления свёртки на основе БПФ:

где .

Алгоритм:

Вычисляется БПФ анализируемой последовательности;
Перемножение
ОБПФ

Билет 12

Что понимают под «пространством сигналов» и и чем оно определяется

где и - сигналы, или.

Свойства:

- симметрия;

;

- условие неотрицательности.

Достаточно много можно указать функционалов' (функций), которые удовлетворяют этим требованиям.

' Функционал – это функция от функции.

Наиболее часто расстояние между сигналами определяется понятием нормы (размер, ).

Евклидова норма	для комплексных сигналов	- энергия	(1)
Норма Чебышева	,	Максимальное абсолютное значение функции в области определения	(2)
Норма Хэмминга
С - норма

Пример

● Если есть вектор , то:

, где

● сигналы с выполнением С – нормы могут быть реализованы в преобразование Фурье (не распространяется на норму Хэмминга).

Говорят о пространстве , если энергия сигнала ограничена.

Использование норм часто связано с возможностями применений тех или иных представлений:

Пример – метрика городских кварталов

Расстояние между сигналами можно определить как норму разности между ними:

, где

Если и , то расстояние между векторами равно расстоянию их кодов

где , .

Рассмотрим подробнее евклидову норму:


	(3)

Для скалярного произведения характерны:

●

будет соблюдаться равенство, если

(4)

(5)

●

(6)

Ортогональность – обобщённое понятие. Означает, что	(7)
(равенство соблюдается, если выполняется (5))	(8)
	(9)
Если , то
- функция нормирования в Евклидовом пространстве	(10)

Понятие нормирование означает приведение к какому-либо масштабу.

Два сигнала считаются – ортонормальны (ортогональны и нормированы), если выполняются условия:

(11)

Расчет КИХ- фильтров на основе многочленов Чебышева

1. Полоса задержки и полоса пропускания – минимизация колебания, а полоса перехода – любая по ширине.

2. Метод аппроксимации на основе полиномов Чебышева (используется в Matlab):

где - аппроксимация, находятся коэффициенты, - коэффициенты Чебышева.

Для стандартизованных Ч. м. справедливы формула

Билет 13

Каким требованиям должен удовлетворять базис для разложения сигналов

Базисные функции должны удовлетворять требованиям воспроизводимости (с помощью вычислительных или технических средств).

Пример:

(26)

где - спектр в базисе , .

Вся информация о при заданном базисе содержится в наборе коэффициентов (спектре).

Бесчисленное (бесконечное) множество значений заменяется на конечное множество чисел - сжатие данных/информации. Всегда необходимо искать способы сжатия информации с заданной точностью (пример – на основе разложений).

Чем меньше требуется коэффициентов в представлении (26), т.е. чем меньше , тем сильнее сжимается информация.

Таким образом, основное требование к выбору базиса – минимизация количества используемых базисных функций при выполнении условия:

(27)

где - желаемая (требуемая) относительная погрешность.

Второе требование – «удобство» использования (в том числе генерации с помощью технических средств). Удобство связано с вычислением коэффициентов . Наиболее удобным в этом смысле является ортонормальное представление:

	(28)
	(29)

Тогда используя (26), скалярное произведение:

(30)

где - спектр в базисе.

Если справедливо (26), то

;

В силу свойства ортогональность (28), получим формулу Парсеваля (Планшереля):

(31)

где - оригинал, представляется как набор коэффициентов , затем осуществляется переход в область изображений и - энергия изображения (если используется свойство ортогональности, то энергия изображения равна энергии оригинала).