Литература / Дискретная математика (пособие ЛЭТИ) / Дискретная математика (пособие ЛЭТИ)

Алгоритм деления многочленов.

r : = m, q : = 0;

ÖÈÊË ÏÎÊÀ deg r > deg n

t : = l(r) · xdeg r−deg n; q : = q + t; r : = r − t · n; l(n)

ÊÖ

После каждого шага цикла степень r уменьшается, но равенство

m = nq + r сохраняется. Когда степень r станет меньше степени n, алго ритм свою работу заканчивает.

Замечание 4.3. Деление в алгоритме производится один раз в

1

начале работы нужно вычислить l(n) .

Для многочленов в K[x] справедливо представление, аналогичное (1.1) для чисел из Z.

Теорема 4.1. Пусть m, n K[x], тогда если n 6= const, то существу ют и единственны многочлены q и r, такие, что справедливо представ ление m = nq + r, причем deg r < deg n.

Доказательство. Существование доказано ранее. Единственность докажем от противного. Пусть m = n q1 + r1, m = n q2 + r2. Тогда, после

вычитания равенств, получим n(q1 − q2) = r1 − r2. Степень левой части не меньше deg n, если только q1 не совпадает с q2; степень же правой части меньше deg n, òàê êàê deg r1 < deg n è deg r2 < deg n. Итак, равенство будет справедливо только при q1 = q2 и, следовательно, r1 = r2.

4.2.Схема Горнера

Рассмотрим результат деления многочлена p(x) K[x] на многочлен

g(x) = x − a K[x]:

p(x) = (x − a)q(x) + r(x), ãäå deg r(x) < deg(x − a) = 1,

ò. å. deg r(x) = 0 è r(x) = const = r.

Замечание 4.4. deg q(x) = deg p(x) − 1.

Теорема 4.2 (Безу). Остаток от деления многочлена p(x) на x −a равен значению многочлена p(a).

Доказательство. p(x) = (x − a)q(x) + r, следовательно, p(a) = r.

42

Следствие 4.1. Многочлен x − a является делителем многочлена p(x) тогда и только тогда, когда p(a) = 0.

Замечание 4.5. Теорема Безу связывает 2 разных взгляда на много члены алгебраический (деление многочленов, остаток) и аналитический

(вычисление значений многочлена как функции r).

На основании теоремы Безу в основу вычисления многочлена может быть положен алгоритм деления многочлена на двучлен. Этот алгоритм называется схемой Горнера. Рассмотрим его подробнее, положив

p(x) = anxn + an−1xn−1 + · · · + akxk + a1x + a0, q(x) = bn−1xn−1 + bn−2xn−2 + · · · + bkxk + b1x + b0.

Тогда из равенства p(x) = (x − a)q(a) + r получаем:

anxn+an−1xn−1+· · ·+a1x+a0 = (x−a)(bn−1xn−1+bn−2xn−2+· · ·+b1x+b0)+r.

Раскрыв скобки и приведя подобные, имеем:

anxn + an−1xn−1 + · · · + akxk + a1x + a0 =

bn−1xn +(bn−2 −abn−1)xn−1 +· · ·+(bk−1 −abk)xk +· · ·+(b0 −ab1)x+(r−ab0).

старших к младшим) находить коэффициенты многочлена q(x) частно го от деления p(x) на x − a. Последнее равенство формула вычисления

остатка r.

Эту последовательность вычисления описывает следующая рекуррент ная формула: bn−1 = an; bk−1 = ak + abk, где k меняется от n − 1 до 0,

ïðè ýòîì b−1 обозначает остаток r.

Замечание 4.6. При ручных вычислениях промежуточные вычисле ния схемы Горнера удобно помещать в следующей таблице:

43

Каждое следующее вычисление использует только значение a и числа, помещенные в соседних (левой и верхней) клетках.

Следствие 4.2. Схему Горнера можно применять многократно: к частному q(x) от деления p(x) на x − a, затем к получившемуся част

íîìó q1(x) è ò. ä.

В результате получаются коэффициенты разложения многочлена p(x) по степеням x − a (от младших степеней к старшим):

p(x) = (x − a)q(x) + r0 = (x − a)[(x − a)q1(x) + r1] + r0 = (x − a)2q1(x)+ + r1(x − a) + r0 = · · · = rn(x − a)n + rn−1(x − a)n−1 + · · · + r1(x − a) + r0.

Замечание 4.7. При выполнении вычислений вручную протокол вы числений удобно вести в следующей треугольной таблице:

Таблица заполняется слева направо и сверху вниз по правилу, указан ному ранее.

Упражнение 4.1. Написать алгоритм генерации коэффициентов многочлена r(x) : r0, r1, . . . , rn, полученного из многочлена p(x) с коэф

фициентами an, an−1, . . . , a0 разложением по степеням x − a.

4.3.Алгоритм Евклида для многочленов. Линейное представление НОД

1.Алгоритм Евклида для многочленов не отличается от алгоритма деления чисел при соответствующей интерпретации входящих в него пере менных и операций.

44

Сравним определения деления нацело, лежащие в основе алгоритма Евклида, для чисел и многочленов.

Видно, что определения отличаются лишь характеристиками (абсо лютной величиной числа, степенью многочлена), используемыми для на хождения остатка и частного.

Несмотря на то что частное и остаток при делении как целых чисел, так и многочленов, определяются однозначно, выбор наибольшего общего делителя многочленов неоднозначен. Это связано с тем, что НОД опре деляется как общий делитель наибольшей степени, а таких многочленов

бесконечно много (если d(x) ÍÎÄ p(x) è g(x), òî cd(x) ïðè c 6= 0 также будет наибольшим общим делителем этих многочленов). Можно было бы среди всех наибольших общих делителей выбрать многочлен с единичным старшим коэффициентом, тогда НОД будет определен единственным обра зом. Однако для вычислений это не всегда удобно. Например, можно рас смотреть модификацию стандартного алгоритма Евклида с домножением промежуточных результатов на ненулевую константу, что позволит, находя НОД целочисленных многочленов, избежать дробных коэффициентов.

Пример 4.1. Найдем D(2x2 + x − 1, 3x2 + 2x − 1).

1)D(2x2 + x − 1, 3x2 + 2x − 1) = D(6x2 + 3x + 3, 3x2 + 2x − 1).

2)D(6x2 + 3x − 3, 3x2 + 2x − 1) = D(−x − 1, 3x2 + 2x − 1).

3)D(−x − 1, 3x2 + 2x − 1) = D(−x − 1, 0).

4)D(−x − 1, 0) = −x − 1.

Определение 4.3. Многочлены p и g называют взаимно простыми,

если они не имеют отличных от константы общих делителей.

2. Линейное представление наибольшего общего делителя многочленов находится по расширенному алгоритму Евклида:

p a + g b = d, ãäå d = D(p, g), à a è b многочлены, получаемые в результате работы расширенного алгоритма Евклида.

Упражнение 4.2. Доказать, что deg a < deg g и deg b < deg p.

Замечание 4.8. Если p и g взаимно просты, то в результате рабо

ты расширенного алгоритма Евклида может получиться разложение, в котором d = const 6= 1.

45

Пример 4.2. Найдем линейное представление D(x3 − 1; x2 + 1).

4.4.Китайская теорема об остатках для многочленов. Интерполяционная формула Лагранжа

Аналогично алгоритму Евклида, на многочлены переносится и китай ская теорема об остатках.

Теорема 4.3. Рассмотрим систему сравнений

p ≡ r1(m1), p ≡ r2(m2), . . . , p ≡ rn(mn).

Если многочлены m1, m2, . . . , mn

Замечание 4.9. Доказательство теоремы полностью идентично до казательству аналогичной теоремы для чисел (см. теорему 3.13).

Замечание 4.10. Решение сравнения dici ≡ 1 (mod mi) осуществля ется применением расширенного алгоритма Евклида к взаимно простым многочленам ci, mi :

a a

cia + mib = const 6= 0, тогда ci const ≡ 1 (mi), откуда di ≡ const (mi).

Теорема 4.4 (интерполяционная формула Лагранжа). Пусть

deg p = n и известны значения многочлена p в n + 1 различных точках:

p(x0) = y0, p(x1) = y1, . . . , p(xn) = yn,

Доказательство. Интерпретируем задачу в терминах арифметики многочленов. По теореме Безу: p(xi) = yi тогда и только тогда, когда

46

p(x) ≡yi (mod (x−xi)). Многочлены mi = x−xi попарно взаимно просты, è p можно найти применением китайской теоремы об остатках:

тогда di удовлетворяет уравнению

откуда deg di = 0, ò. å. di (x) = const. Подставив в (4.1) x = xi, получим

4.5.Интерполяционный метод Ньютона

При добавлении узлов интерполяции метод Лагранжа, описанный в 4.4, требует заново строить интерполяционный многочлен. Рассмотрим дру гой подход, позволяющий существенно сократить вычисления при добавле нии узлов интерполяции.

Пусть задано n точек интерполяции. Будем последовательно строить

интерполяционные полиномы S1(x), S2(x), . . . , Sn(x) äëÿ m = 1, 2, . . . , n точек.

Очевидно, что S1(x) = y1. Пусть уже построены интерполяционные полиномы для m = 1, 2, . . . , k − 1 точек. Проведем построение для m = k.

Заметим, что полином Sk(x) − Sk−1(x) по условию обращается в нуль при x = x1, x2, . . . , xk−1. Следовательно, Sk(x) − Sk−1(x)

(x − x1)(x − x2) · · · (x − xk−1). Íî deg(Sk(x) − Sk−1(x)) < k, поэтому

Sk(x) − Sk−1(x) = Ak(x − x1)(x − x2) · · · (x − xk−1).

Полагая x = xk, получаем формулу для вычисления Ak:

yk − Sk−1(xk)

Ak = (x − x1)(x − x2) · · · (x − xk−1) .

Для последнего полинома Sn(x) справедливо представление

Sn(x) = A1 + A2(x − x1) + · · · + An(x − x1)(x − x2) · · · (x − xn−1).

47

Пример 4.3.

1)x1 = −1 → A1 = 3.

2)x2 = 0 → A1 + A2 = −1 → A2 = −4.

3)x3 = 1 → A1 + 2A2 + 2A3 = 2 → A3 = 7/2.

Добавим еще один узел интерполяции {x4 = 3, y4 = 0}. Тогда

S4(x) = S3(x) + A4(x + 1)x(x − 1).

4) x4 = 3 → A1 + 4A2 + 12A3 + 24A4 = 0 → A4 = −29/24.

4.6.Разложение многочлена на свободные

от квадратов множители

Определение 4.4. Представление многочлена p K[x] в виде

p на свободные от квадратов множители p1, p2, . . . , pn.

Если для разложения многочлена на неприводимые множители эф фективного алгоритма, по-видимому, нет, то для разложения на свободные от квадратов множители такой алгоритм существует и основан на исполь зовании алгоритма Евклида.

В дальнейшем будем рассматривать многочлены над полем веществен ных чисел.

Лемма 4.1. Åñëè p = qk m, где p, q, m R[x], а q неприводимый в R[x] многочлен и взаимно простой с m, то производная p 0 может быть записана в виде qk−1 n, где q и n взаимно просты.

Доказательство.

p0 = qk m 0 = k qk−1 q0 m + qk m0 = qk−1 (kmq0 + qm0).

48

n не делится на q. Íî n = kmq0 + qm0. Åñëè áû n делилось на q, òî íà q

5.Теория множеств и комбинаторика

5.1.Кодирование с исправлением ошибок. Граница

Хемминга

Определение 5.1. Неотрицательная функция d(a, b) : M Ч M →

R+ называется функцией расстояния (или метрикой) на множестве M, если выполнены следующие условия (аксиомы метрики):

1) d(a, b) > 0, d(a, b) = 0 тогда и только тогда, когда a = b;

2)d(a, b) = d(b, a);

3)d(a, b) + d(b, c) > d(a, c).

Определение 5.2. Кодируем каждый символ a = (a1, a2, . . . , am) m двоичными разрядами, ai = 0, 1, i 1 : m. Определим бинарную операцию на множестве кодовых символов:

def

a b = c = (c1, c2, . . . , cm), ãäå ci =< ai + bi >2 .

49