Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Литература / Дискретная математика (пособие ЛЭТИ) / Дискретная математика (пособие ЛЭТИ)

.pdf
Скачиваний:
512
Добавлен:
16.04.2013
Размер:
527.71 Кб
Скачать
возрастает. Из

Следствие 2.1. Подходящие дроби несократимы.

Доказательство. Òàê êàê PsQs−1 −Ps−1Qs = (−1)s+1, то любой общий делитель Ps, Qs равен 1. Таким образом, D(Ps, Qs) = 1.

Следствие 2.2.

Qs

Qs−1

= 0

 

 

s→∞

.

(2.10)

lim

 

Ps

 

Ps−1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доказательство. Согласно теореме 2.1 все звенья цепной дроби qi ложительны (кроме, быть может, q0). Тогда из (2.8) следует, что все

(при s > 0) также положительны и последовательность Qs (2.9) получаем требуемое.

2.6.Бесконечная цепная дробь и ее вычисление

ïî

Qs

Попробуем представить в виде цепной дроби произвольное веществен ное число. Заметим, что для рациональной дроби этот процесс совпадает

с (2.2). Пусть α R. Имеем

α = q0 + η1 = q0 +

1

, α1

> 1, q0

= [α] ,

 

 

 

α1

 

α1 = q1 + η2 = q1 +

1

, α2

> 1, q1

= [α1] ,

 

 

 

α2

 

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

 

 

αs−2 = qs−2 + ηs−1 = qs−2 +

1

, αs−1 > 1, qs−2 = [αs−2] ,

(2.11)

 

αs−1 = qs−1 + ηs .

 

 

 

αs−1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из (2.11) получаем следующее разложение α в непрерывную дробь:

 

α = q0 +

 

 

1

 

.

(2.12)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q1

+

 

 

 

1

q2 +

· · · +

1

qs−1 + ηs

Очевидно, что если α не является рациональной дробью, то процесс (2.11) можно продолжать бесконечно. Зададимся вопросом:

1.Что понимать под такой бесконечной дробью?

2.Как ее приближенно вычислять?

20

Прежде, чем ответить на поставленные вопросы, рассмотрим представ

ление (2.11) на конкретном примåðå.

 

 

 

 

 

 

 

Пример 2.6. Пусть

α =

. Имеем

 

 

 

 

 

 

28

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α = 5 +

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

28

+ 5

1

 

α1 =

 

− 5

=

 

 

 

 

 

 

= 3 +

 

,

3

α2

28

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 4

 

 

 

 

3

 

 

 

28

1

 

α2 =

 

− 4

=

 

 

 

 

= 2 +

 

,

4

α3

28

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 4

 

 

 

 

4

 

 

 

28

1

 

α3 =

 

− 4

=

 

 

 

 

= 3 +

 

,

3

α4

28

 

 

3

 

 

 

 

1

α4 = √28 − 5 = 28 + 5 = 10 + α5 .

Заметим, что α5 = α1 и происходит возврат к первому уравнению√ . Процесс зацикливается. Таким образом, получаем представление 28 â

виде бесконечной периодической последовательности. Строгое обоснова ние этому представлению будет дано далее.

Установим некоторые свойства разложения (2.11).

Теорема 2.2. Точное значение числа α R всегда находится между

соседними подходящими дробями, причем оно ближе к последующей, чем к предыдущей дроби. При этом подходящие дроби с четными номерами находятся слева, а с нечетными справа от α.

Доказательство. Вспоминая определение подходящей дроби (2.7), нетрудно показать, что в (2.11) δs < α при четном s è δs > α при нечетном

s. Исключением (в случае, когда α рациональная дробь и процесс (2.11) соответственно конечен) является лишь последняя подходящая дробь, ко

торая равна самому числу. Действительно, δs−1 получается отбрасыванием ηs в (2.12). Очевидно, что от такого отбрасывания

αs−1 уменьшится

αs−2 увеличится

αs−3 уменьшится

· · · · · · · · · · · · · · · · · ·

Таким образом, αs при нечетном индексе s уменьшается, а при четном увеличивается. А это и доказывает теорему.

21

Бесконечную цепную дробь можно вычислить с

Учитывая теорему 2.2 и свойство (2.9) получаем следующее следствие.

Следствие 2.3.

1

 

|a δs| 6 Qs−1Qs .

(2.13)

Замечание 2.5. Равенство в (2.13) достигается только когда α рациональная дробь, а δs последняя подходящая дробь.

Перейдем к формальному определению бесконечной цепной дроби. Разобьем последовательность подходящих дробей на две подпоследователь ности с четными и нечетными номерами. Как уже отмечалось, последо

вательность знаменателей {Qk} возрастает. Применяя (2.9) и теорему 2.2 имеем:

 

P2m−1

 

P2m

1

 

 

 

P2m+1

 

P2m

1

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

>

 

 

 

 

 

=

 

>

 

Q2m−1

Q2m

Q2m−1Q2m

Q2m+1

Q2m

Q2m+1Q2m

 

>

P2m+1

 

P2m+2

=

 

1

 

 

 

> 0 .

 

 

 

 

 

 

 

Q2m+1

 

Q2m+2

 

Q2m+1Q2m+2

 

 

 

 

 

 

Из последней цепочки равенств получаем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P2m−1

>

P2m+1

,

P2m

<

 

P2m+2

.

 

 

 

 

 

 

 

Q2m−1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q2m+1

Q2m

Q2m+2

Таким образом, подпоследовательность

Q2m+1

убывает и по (2.9) огра

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P2m+1

 

 

 

 

ничена снизу (например, δ2), следовательно, имеет предел. Аналогично

подпоследовательность

Q2m

возрастает и ограничена сверху (например,

 

 

P2m

 

δ1), следовательно, также имеет предел. В силу (2.10) эти пределы совпа дают.

Определение 2.2. Бесконечной цепной дробью будем называть пре дел последовательности подходящих дробей.

Перейдем к вопросу вычисления бесконечной цепной дроби.

Утверждение 2.2.

любой степенью точности ε.

Доказательство. Используя неравенство (2.13) и возрастание после довательности {Qk} получаем оценку

1

 

|α − δm| < Qm2 < ε .

(2.14)

22

28. В примере 2.6 была полу
1
Q2m 6 ε .

Таким образом, для достижения нужной точности вычисляем подходящие

дроби m} äî òåõ ïîð, ïîêà

Пример 2.7. Вернемся к вычислению

чена следующая бесконечная цепная дробь:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

. . .

,

 

 

 

def

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

28 = (5, 3, 2, 3, 10, 3, 2, 3, 10

 

3, 2, 3, 10, . . .) = (5, (3, 2, 3, 10)) .

Вычислим

 

 

с точностью до ε = 10−4. Используя (2.8) получаем по

28

следовательность подходящих дробей.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s

 

0

1

2

 

3

 

4

5

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

qs

 

5

3

2

 

3

 

10

3

 

2

 

 

 

 

 

 

 

Ps

1

5

16

37

 

127

1307

4048

 

9403

 

 

 

 

 

 

 

Qs

0

1

3

7

 

24

 

247

765

 

1777

 

Во время вычисления производим контроль точности по знаменателю.

1)

 

P1

 

16

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

= 5, 3(3), точность

 

= 0, 1(1) гарантирована одна

Q1

3

 

32

 

значащая цифра.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

 

P2

=

37

= 5, 2857 . . . , точность

1

 

= 0, 02048 . . . две значащие

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q2

7

 

7

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

цифры гарантированы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

 

P3

=

 

 

127

= 5, 2916(6),

точность

 

1

= 0, 0017 . . . три знача

Q3

24

2

 

 

 

 

 

 

 

 

24

 

 

 

 

щие цифры гарантированы. (В данном случае реально получаем

 

четыре, так как оценка

(2.14) достаточно грубая).

4)

 

P4

=

 

1307

= 5, 2911500 . . . , точность

 

1

= 0, 000016 . . . ïîëó

Q4

 

2

 

 

247

 

 

 

 

 

 

 

 

 

247

 

чаем пять значащих цифр(а реально шесть).

√ Достигнута нужная оценка. Останавливаем процесс вычислений.

28 ' 5, 2911500.

2.7.Наилучшие приближения

Определение 2.3. Дробь ab называется наилучшим приближением

к числу α, если не существует дроби

x

, у которой

y

0 < y 6 b è

α − y

<

α − b .

 

 

x

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

23

Замечание 2.7.

Замечание 2.6. Знаменатели дробей, не умаляя общности, считаем положительными.

Наилучшее приближение не обязательно является единственным. У иррационального числа наилучших приближений беско нечно много.

 

 

 

 

 

6

 

1

1

 

4

 

5

 

являются

Пример 2.8. Пусть α

=

 

 

 

,

тогда

 

,

 

 

 

 

,

 

 

,

 

 

17

2

3

11

14

наилучшими приближениями, причем других нет.

d , обладающий свой

Теорема 2.3. Рассмотрим промежуток

b ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

c

 

 

 

ством bc−ad = 1 т.е.

c

a

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

. Тогда знаменатели всех рациональных

d

b

ab

чисел, лежащих внутри промежутка, больше знаменателей его концов,

ò. å. åñëè y

 

b;

d

, òî y > b è y > d.

 

x

 

 

a

c

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим разность x

a

: x

a xb − ay

 

>

 

 

Доказательство.

 

 

 

 

 

y

b

> 0

 

y

b

=

 

by

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

a

c

>

 

 

, òàê êàê xb−ay большее нуля целое. С другой стороны,

 

 

<

 

by

y

b

d

a

bc − ad

 

1 . Отсюда

1 1

 

следовательно,

 

 

 

 

 

. Аналогично

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b =

bd

= bd

bd > by,

y > d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

доказывается, что y > b.

Следствие 2.4. Та из двух границ ab è dc, которая лежит ближе к числу xy, является наилучшим приближением к нему.

Следствие 2.5. Все подходящие дроби для разложения числа α в

цепную (непрерывную) дробь, начиная со второй, являются наилучшими приближениями к α.

Доказательство. Рассмотрим последовательность подходящих дробей к α:

P0

,

P1

, . . . ,

Pn

,

Pn+1

, . . . .

Q0

Q1

Qn

Qn+1

 

 

 

 

Òàê êàê Pn+1Qn −PnQn+1 = (−1)n, то любые две подходящие дроби, взятые в нужном порядке, обладают свойствами концов промежутка, описанного

в теореме. По свойствам подходящих дробей α всегда находится между по следовательными подходящими дробями. Поэтому ближайшая к α граница

24

Справедливы следующие утверждения:

является наилучшим приближением. По свойствам подходящих дробей это всегда дробь с большим номером. Следствие доказано.

Упражнение 2.1. Найти три наилучших приближения к π.

2.8.Диофантовы уравнения

Определение 2.4. Пусть a, b, c, x, y Z. Уравнение вида

ax + by = c,

(2.15)

ãäå x, y неизвестные, называется диофантовым. Установим критерий раз решимости диофантового уравнения.

Теорема 2.4. Пусть d = D(a, b). Уравнение (2.15) разрешимо тогда и только тогда, когда c k d. При этом все множество решений описыва ется уравнениями:

x = x0

b

a

 

 

t, y = y0 +

 

t ,

(2.16)

d

d

ãäå x0, y0 любое частное решение (2.15), а t произвольное целое число.

Доказательство. Òàê êàê d = D(a, b), то левая часть уравнения (2.15) делится на d. Следовательно, для разрешимости необходимо и достаточно, чтобы и правая часть делилась на d. Пусть c = de. Согласно утвержде нию 2.1 уравнение ax + by = d всегда имеет решение. Обозначим его через x1, y1. Тогда x0 = x1e, y0 = y1e решение исходного уравнения. Найдем

общий вид решения. Пусть x, y произвольное решение (2.15). Покажем, что оно представимо в виде (2.16). Имеем

 

 

 

 

 

 

 

a

 

b

a(x − x0) + b(y − y0) = 0,

тогда

 

(x − x0) = −

 

(y − y0) .

d

d

Согласно теореме 1.3 D

d

, d

= 1. Тогда согласно упражнению 1.1

 

a

 

b

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

(y − y0) k d , следовательно, y = y0 + d t. Подставляя найденое значение

b

y в уравнение, получаем x = x0 d t. Таким образом, если x, y решение (2.15), то оно имеет вид (2.16). Обратное утверждение проверяется непо средственной подстановкой. Теорема доказана.

Следствие 2.6.

1) Если D(a, b) = 1, то уравнение (2.15) всегда разрешимо.

25

2)При этом решения уравнений ax + by = 1 и a|x| + b|y| = 1 могут отличаться только знаками.

Доказательство. Первое утверждение очевидно. Пусть x, y решения

уравнения ax + by = 1, à x1, y1 соответственно уравнения a|x| + b|y| = 1. Тогда x = x1 · sign(a) , y = y1 · sign(b).

Опишем алгоритм решения уравнения (2.15). Не умаляя общности счи таем, что |a| > |b|.

def

Øàã 1. Находим d = D(a, b). Åñëè c не делится на d, то уравнение не имеет решений.

a

Øàã 2. Приводим уравнение (2.15) к виду a1x + b1y = c1, ãäå a1 = d ,

bc

b1 = d , c1 = d. Ïðè ýòîì D(a1, b1) = 1.

Øàã 3. Находим решение уравнения |a1|x + |b1|y = 1 используя рекуррент ные соотношения (2.3). Пусть это 1, y˜1 .

Øàã 4. Используя следствие 2.6 определяем знаки для решения уравнения a1x + b1y = 1. Обозначим решение как x1, y1. Тогда частное решение

исходного уравнения имеет вид: x0 = x1c1, y0 = y1c1. Подставляя в (2.16) получаем общее решение.

Пример 2.9. Решим уравнение 126x − 102y = 18. Имеем:

1.D(126, 102) = 3. Уравнение разрешимо.

2.Приводим исходное уравнение к виду: 21x − 17y = 3.

3.Решаем уравнение 21x + 17y = 1. Используем

(2.2)

 

21

 

s

0

1

2

3

классический алгоритм Евклида

 

äëÿ

 

, а затем

 

 

 

 

 

 

17

qs

1

4

1

 

(2.3)

 

 

 

 

рекуррентные соотношения

(cм. таблицу).

 

 

 

 

 

ys

0

1

4

5

 

 

 

 

 

4.Тогда x˜1 = y2 = 4 , y˜1 = y3 = 5.

5.Определяем знаки: 21(−4) − 17(−5) = 1. Получаем x0 = −4 · 3 =

12, y0 = −5 · 3 = −15. Общее решение

x = −12 + 17t, y = −15 + 21t, t Z.

Теорему 2.4 можно обобщить на случай нескольких переменных.

Теорема 2.5. Уравнение a1x1 +a2x2 +· · ·+anxn = c разрешимо тогда и только тогда, когда c k D(a1, a2, . . . , an).

26

Доказательство. Пусть d = D(a1, a2, . . . , an). Òàê êàê a1, . . . , an k d,

òî è a1x1 + a2x2 + · · · + anxn k d. Следовательно, если c не делится на d, то решений нет. Пусть c = de. Докажем по индукции, что уравнение

a1x1 + a2x2 + · · · + anxn = D(a1, a2, . . . , an)

(2.17)

всегда разрешимо. База индукции (при n = 2) вытекает из теоремы 2.4. Предположим разрешимость уравнения для произвольного n и докажем этот факт для n + 1. Рассмотрим уравнение

a1u1 + a2u2 + · · · + anun + an+1un+1 = D(a1, a2, . . . , an, an+1) ,

при этом согласно теореме 1.4

D(a1, a2, . . . , an, an+1) = D(D(a1, a2, . . . , an), an+1) = D(d, an+1) .

def

Обозначим δ = D(d, an+1). Тогда по теореме 2.4 уравнение

dy + an+1un+1 = δ

разрешимо. Подставляя вместо d → a1x1 + a2x2 + · · · + anxn получаем решение уравнения

a1(x1y) + a2(x2y) + · · · + an(xny) + an+1un+1 = δ .

Индукционный переход доказан. Таким образом, уравнение (2.17) разре шимо для всех n. Вспоминая, что c = de, получаем решение исходного

уравнения a1(x1e) + a2(x2e) + · · · + an(xne) = c .

3.Сравнения

3.1.Классы вычетов и модульная арифметика

Определение 3.1. Пусть a, b, m Z, m > 0. Говорят, что a сравнимо

def

ñ b по модулю m (= a ≡ b (mod m), или сокращенно a ≡ b (m)), если

(a − b) k m.

Теорема 3.1. Для отношения сравнения справедливо:

1)a ≡ b (m), тогда b ≡ a (m) (симметричность);

2)a ≡ b (m), b ≡ c (m), тогда a ≡ c (m) (транзитивность);

3)a ≡ a (m) (рефлексивность).

27

(r−r1) k m,

Замечание 3.1. Известные бинарные отношения (>, <, 6, >, k) та кими свойствами не обладают.

Определение 3.2. Классом вычетов по модулю m назовем множе

ство чисел с одинаковым остатком при делении на m.

Теорема 3.2. Все числа из Z распределяются относительно данно го модуля на m непересекающихся классов вычетов со следующими свой ствами:

1)все числа одного класса сравнимы друг с другом по модулю m;

2)числа из разных классов друг с другом не сравнимы.

Доказательство. Пусть a Z. Тогда по теореме 1.1 a = mq + r,

0 6 r < m. Очевидно, что классов вычетов ровно m и все числа из одного класса сравнимы друг с другом. Возьмем числа из разных классов:

a≡r (m), b≡r1 (m), r 6= r1. Тогда a 6 ≡b (m). Действительно, предположим противное. Пусть (a−b) k m, íî a = qm+r, b = q1m+r1, тогда следовательно, r = r1.

Определение 3.3. Если взять по одному представителю из каждо го класса вычетов, то эти m чисел образуют полную систему вычетов ïî

модулю m.

Пример 3.1. Простейшие полные системы вычетов:

1){0, 1, 2, · · · , m − 1} наименьшие положительные вычеты;

2){0, −1, −2, · · · , −(m − 1)} наименьшие отрицательные вычеты;

3)для произвольного a Z {a, a + 1, a + 2, · · · , a + (m − 1)};

4)åñëè D(a, m) = 1, òî {0, a, 2a, · · · , (m − 1)a}.

Теорема 3.3. Справедливы следующие свойства сравнений: 1) a ≡ b (m), m k k, тогда a ≡ b (k);

2)

a≡b (k1), a≡b (k2), · · · , a≡b (kn), тогда a≡b (M(k1, k2, · · · , kn));

3)

a ≡ b (m), тогда ac ≡ bc (mc).

Доказательство.

Свойство 1 очевидно из определения. Свойство 2

следует из того, что

(a − b) общее кратное чисел k1, k2, · · · , kn, a ëþ

бое кратное делится на наименьшее (см. 1.2). Для доказательства свойства

3 заметим, что

 

ac − bc

 

a − b

 

 

 

=

.

 

mc

 

 

 

 

m

28

Следствие 3.1. a ≡ b (m), тогда ac ≡ bc (m) c Z.

Теорема 3.4 (арифметика сравнений). Сравнения по одному мо

дулю можно почленно складывать, вычитать и перемножать. Доказательство. Пусть a ≡ b (m), a1 ≡ b1 (m). Тогда

((a−b)+(a1−b1)) = ((a+a1)−(b+b1)) k m, следовательно, a+a1 ≡ b+b1 (m).

С другой стороны, так как a ≡ b (m), по следствию 3.1 −a ≡ −b (m). Ïî

вторяя предыдущие рассуждения, получаем a − a1 ≡ b − b1 (m). Далее, используя следствие 3.1 для сравнения a ≡ b (m), получаем aa1 ≡ ba1 (m), применяя это же следствие для сравнения a1 ≡b1 (m), имеем ba1 ≡bb1 (m).

Тогда по транзитивности сравнений (теорема 3.1) aa1 ≡ bb1 (m). Теорема доказана.

Следствие 3.2. Утверждение теоремы 3.4 можно обобщить на лю бое конечное число сравнений. В частности, если a ≡ b (m), то

an ≡ bn (m) n Z, n > 0.

Теорема 3.4 определяет действия над классами вычетов по данному модулю m. Åñëè a A, b B, тогда A + B класс вычетов, к которому

принадлежит a + b, à AB это класс, к которому принадлежит ab. Таким образом, справедлива следующая теорема.

def

Теорема 3.5. Множество классов вычетов (= Z/(m)) является коммутативным кольцом с единицей.

Замечание 3.2. Если модуль m не является простым числом, то Z/(m) не является полем. Действительно, пусть m = p1p2, ãäå

p1, p2 > 1 è p1, p2 < m. Тогда справедливо

(p1 + 1)p2 = p2,

1 · p2 = p2.

Отсюда следует, что при составном модуле Z/(m) не является целост

ным кольцом (есть делители нуля), однако, как будет показано далее (см. замечание 3.6), для простых модулей Z/(m) изоморфно GF(m) полю

Галуа.

Пример 3.2. Рассмотрим таблицы арифметических действий (таб лицы Кэли) для Z/(6).

29