Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Литература / Дискретная математика (пособие ЛЭТИ) / Дискретная математика (пособие ЛЭТИ)

.pdf
Скачиваний:
588
Добавлен:
16.04.2013
Размер:
527.71 Кб
Скачать

Аналогично вводится понятие эйлерового пути: разомкнутый (замкну тый) простой ориентированный путь, содержащий все дуги графа.

Справедлива также теорема, аналогичная теореме 6.9.

Теорема 6.25. Ориентированный граф имеет замкнутую эйлерову цепь тогда и только тогда, когда

1) ~

G слабосвязный;

2) |δ+(a)| = |δ(a)|, a V.

Следствие 6.10. Ориентированный граф имеет разомкнутую эйле рову цепь тогда и только тогда, когда

1) ~

G слабосвязный;

2)существует и притом единственный узел a0 V :

+(a0)| = |δ(a0)| + 1;

3)cуществует и притом единственный узел a1 V :

(a1)| = |δ+(a1)| + 1;

4)для всех остальных узлов графа выполнено |δ+(a)| = |δ(a)|.

Доказательство. Добавляем фиктивную дугу ~x = [a1, a0] и применя ем теорему 6.25.

Список литературы Ахо А., Хопкрофт Дж., Ульман Дж. Построение и анализ вычисли

тельных алгоритмов. Ì.: Ìèð, 1979.

Виноградов И. М. Основы арифметики. М.: Наука, 1972.

Дэвенпорт Дж., Сирэ И., Турнье Э. Компьютерная алгебра. Ì.: Ìèð, 1991.

Фудзисава Т., Касами Т. Математика для радиоинженеров. М.: Ра дио и связь, 1984.

Êíóò Ä. Искусство программирования для ЭВМ : Â 2ò. Ò.2. Ì.: Ìèð,

1977.

Кузнецов О. П., Адельсон-Вельский Г. М. Дискретная математика для инженера. М.: Энергоатомиздат, 1988.

Липский В. Комбинаторика для программистов . Ì.: Ìèð, 1988.

Новиков Ф. А. Дискретная математика для программистов . ÑÏá.:

Питер, 2001.

Романовский И. В. Дискретный анализ. СПб.: Невский диалект, 1999. Сибуя М., Ямомото Т. Алгоритмы обработки данных. Ì.: Ìèð, 1986.

70

Введение в криптографию /Под общ. ред. В. В. Ященко. М.: MЦНMО, 1998.

Оглавление

 

1. Арифметика целых чисел

3

1.1. Деление с остатком . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2. Наибольший общий делитель, наименьшее общее кратное и

4

их свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3. Простые числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.4. Решето Эратосфена. Разложение числа

6

на простые . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.5. Позиционная запись натуральных чисел . . . . . . . . . . . . .

9

1.6. Алгоритмы арифметических действий

 

ñ p-ичными записями натуральных чисел . . . . . . . . . . . . 10

1.7.Алгоритмы перевода p-ичной записи

натурального числа в q-ичную . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.8. Алгоритм эффективного возведения числа

 

в натуральную степень . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2. Алгоритм Евклида и цепные дроби

14

2.1. Классический алгоритм Евклида . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.2. Бинарный алгоритм Евклида . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.3. Линейное представление наибольшего общего

 

делителя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.4. Разложение числа в цепную(непрерывную) дробь . . . . . . .

17

2.5. Свойства подходящих дробей и их вычисление . . . . . . . . .

18

2.6. Бесконечная цепная дробь и ее вычисление . . . . . . . . . . .

20

2.7. Наилучшие приближения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.8. Диофантовы уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

3. Сравнения

 

27

3.1. Классы вычетов и модульная арифметика . . . . . . . . . . . .

27

3.2. Функция Эйлера и ее свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

3.3. Решение сравнений первой степени . . . . . . . . . . . . . . . .

34

3.4. Применение теоремы Эйлера

в криптографии.

36

Система шифрования RSA .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.5. Другие примеры использования RSA . . . . . . . . . . . . . . .

38

4. Многочлены

 

40

4.1. Арифметика многочленов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

4.2. Схема Горнера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

4.3. Алгоритм Евклида для многочленов. Линейное

44

представление НОД . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

 

4.4. Китайская теорема об остатках для многочленов. Интерполя

 

ционная формула Лагранжа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.5. Интерполяционный метод Ньютона . . . . . . . . . . . . . . .

47

4.6. Разложение многочлена на свободные

48

от квадратов множители . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Теория множеств и комбинаторика

49

5.1. Кодирование с исправлением ошибок. Граница

49

Хемминга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.2. Код Шеннона Фэно и алгоритм Хаффмена . . . . . . . . . . .

51

5.3. Лексикографический порядок. Генерирование

 

k-элементных подмножеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

5.4. Числа Стирлинга первого и второго родов . . . . . . . . . . . .

54

5.5. Разбиения чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

6. Основы теории графов

58

6.1. Простейшие определения и свойства . . . . . . . . . . . . . . .

58

6.2. Связность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

6.3. Деревья . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

6.4. Коциклы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

6.5. Двудольные графы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

6.6. Простейшие свойства ориентированных графов . . . . . . . . .

68

Список литературы

70

Малов Сергей Васильевич Поздняков Сергей Николаевич Рыбин Сергей Витальевич Основы дискретной математики Учебное пособие

Редактор Э. К. Долгатов ЛР 020617 от 24.06.98

Подписано в печать 07.10.02. Формат 60 × 84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л 4.18. Уч.-изд. л. 4,5.

Тираж 400 экз. Заказ ...

Издательство СПбГЭТУ ½ЛЭТИ197376, С.-Петербург, ул. Проф. Попова, 5