Литература / Дискретная математика (пособие ЛЭТИ) / Дискретная математика (пособие ЛЭТИ)

Числа ak в p-ичной записи называются цифрами и обычно обозначаются отдельными символами, например 10 = A, 11 = B и т. д.

Теорема 1.8. Каждое натуральное число имеет единственную p-ич- ную запись.

Доказательство. Пусть s имеет две различные p-ичные записи:

anan−1...a1a0 è bmbm−1...b1b0. Тогда

s= pnan +pn−1an−1 +· · ·+pa1 +a0 = p pn−1an + · · · + a1 +a0 = ps1 +a0 =

=pmbm + pm−1bm−1 + · · ·+ pb1 + b0 = p pm−1bm + · · · + b1 + b0 = ps2 + b0.

Так как частное и остаток при делении на p определяются однозначно,

a0 = b0 è s1 = pn−1an + · · · + a1 = pm−1bm + · · · + b1 = s2.

Применяя аналогичные рассуждения к s1 è s2, получим a1 = b1 è ò. ä.

Замечание 1.4. Существуют и другие способы позиционной записи натуральных чисел, т. е. представление их упорядоченными наборами

öèôð.

Пример 1.4 (факториальная запись).

s = (anan−1 · · · a1)! s = ann! + an−1(n − 1)! + · · · + a1 · 1!,

ãäå 0 6 ak 6 k, an 6= 0.

Упражнение 1.2. Доказать единственность факториальной запи си натуральных чисел.

1.6.Алгоритмы арифметических действий

с p-ичными записями натуральных чисел

Алгоритмы сложения, вычитания, умножения столбиком и деления

уголком для p-ичных записей чисел совпадают с известными алгоритма ми для десятичных записей, если заменить таблицы сложения (вычитания) и умножения (деления). В этом случае говорят о выполнении операций в

p-ичной арифметике.

Алгоритм 1. Сложение p-ичных чисел a = (an · · · a0)p è b = (bm · · · b0)p. Результат число c = (ck · · · c0)p.

ÅÑËÈ n < m ÒÎ

a ↔ b; n ↔ m; (тем самым длина числа a станет не меньше длины b)

KE

10

Пример 1.5 (таблицы сложения и умножения для 5-ичных чисел).

11

Алгоритм 2. Умножение p-ичных чисел a = (an · · · a0)p è b = (bk · · · b0)p. Результат ab = c = (cm · · · c0)p.

Задание 1.1. Написать алгоритмы вычитания и деления нацело, основываясь на таблицах вычитания и деления p-ичных чисел.

Задание 1.2. Для двоичных чисел алгоритмы арифметических опе раций можно упростить. Сделать это.

Задание 1.3. Сформулировать алгоритмы сложения и умножения натуральных чисел в факториальной записи.

1.7.Алгоритмы перевода p-ичной записи натурального числа в q-ичную

Первый из алгоритмов перевода использует p-ичную арифметику, вто рой q-ичную. В основе первого алгоритма лежит та же идея, что и в доказательстве единственности p-ичной записи натурального числа.

Алгоритм 1. Перевод чисел из p-ичной записи (an · · · a0)p â q-ичную (bm · · · b0)q â p-ичной арифметике.

i := 0;

ÖÈÊË-ÏÎÊÀ a 6= 0

bi := a mod q; (деление a íà q выполняется в p-ичной арифметике) a := a ÷ q

i := i + 1

ÊÖ

m := i − 1

Второй алгоритм основан на так называемой схеме Горнера (см. 4.2):

12

Замечание 1.5. При p > q применение последнего алгоритма подра зумевает предварительный перевод всех цифр в q-ичную запись. Анало гично, при p < q алгоритм 1 подразумевает дополнительные действия по переводу цифр порождаемой записи из p-ичной записи в q-ичную.

1.8.Алгоритм эффективного возведения числа в натуральную степень

Схема Горнера (1.4) может быть применена для построения эффектив ного алгоритма возведения числа a в натуральную степень m. Рассмотрим

c := 1;

ÖÈÊË ÏÎ i ÎÒ n ÄÎ 0

ÅÑËÈ bi = 0 ÒÎ c := c2 ИНАЧЕ c := c2a ÊÅ

ÊÖ

Замечание 1.6. Предложенный алгоритм легко модифицируется для возведения a в степень m в кольце Z/(k). Для этого достаточно

операцию умножения осуществлять в кольце вычетов по модулю k (см. теорему 3.4).

Задание 1.4. Сколько операций умножения (возведение в квадрат это тоже операция умножения) делает алгоритм при вычислении: а) a2k ;

á) a2k−1 .

Задание 1.5. Доказать, что количество умножений в алгоритме возведения числа в степень m не превышает 2 [log2 m] .

Задание 1.6. Найти формулу, выражающую число умножений в алгоритме возведения a в степень m через l число цифр в двоичной

записи m и r число нулей в двоичной записи m.

13

2.Алгоритм Евклида и цепные дроби

2.1.Классический алгоритм Евклида

Вернемся к ранее поставленному вопросу об эффективном алгоритме

вычисления D(a, b). Будем считать, что a > b > 0. Идея алгоритма Евкли да очень проста:

Åñëè a = bq + r, тогда D(a, b) = D(a − bq, b) = D(b, r). (2.1)

Таким образом, для нахождения D(a, b) получаем последовательность

действий, называемую классическим алгоритмом Евклида :

Замечание 2.1. Очевидно, что начиная с некоторого номера = 0, так как

r0 > r1 > r2 > · · · > rk > rk+1 = 0. Ïðè ýòîì, â ñèëó (2.1):

D(a, b) = D(b, r0) = D(r0, r1) = · · · = D(rk−2, rk1 ) = D(rk−1, rk) = rk.

Пример 2.1 (на классический алгоритм Евклида). Найти

D(76501, 29719). Сoгласно (2.2) имеем:

Схему (2.2) легко записать в виде алгоритма.

Шаг 1. (Проверка окончания) Если b = 0, то D(a, b) = a и алгоритм закан чивает работу.

Øàã 2. a = bq + r, полагаем a = b, b = r. Возвращаемся на

14

2.2.Бинарный алгоритм Евклида

Классический алгоритм Евклида не всегда является наилучшим спосо бом для нахождения наибольшего общего делителя. Сравнительно недавно для решения этой задачи был предложен совсем иной алгоритм, не требу ющий операции деления. Основанный исключительно на операциях вычи тания, он проверяет, является ли число четным или нет, и сдвигает впра во двоичное представления четного числа (деление пополам). Бинарный

алгоритм нахождения D(a, b) основан на нескольких простых свойствах положительных целых чисел a è b:

3) D(a, b) = D(a − b, b)

4)Åñëè a è b нечетны, то a − b четно;

5)|a − b| < max{a, b}.

Замечание 2.2. Свойство 3 уже использовалось в схеме (2.2) (cì. (2.1)).

Рассмотрим работу алгоритма по шагам. Введем следующие обозначения: k счетчик для степени двоек, выделяемых по свойству 1;

tmp рабочая переменная алгоритма.

Øàã 1. (Инициализация) k = 0. Åñëè a è b четны, тогда полагаем

k = k + 1, a = a/2, b = b/2. Повторяем эту процедуру, пока оба числа

четны. (Используем свойство 1 для выдавливания из a, b общей сте пени двойки.)

Øàã 2. (Продолжение инициализации) По крайней мере одно из чисел a, b нечетно. Если a нечетно, то полагаем tmp = −b. В противном случае tmp = a. Переходим на Øàã 4.

Øàã 3. (Дихотомия tmp) tmp = tmp/2. (Используем свойство 2.) Øàã 4. Åñëè tmp четно, возвращаемся на Øàã 3.

Øàã 5. (Смена максимума) Если tmp > 0, то полагаем a = tmp, иначе b = −tmp. (Используя свойство 5 заменяем max{a, b} íà |a − b|. Ïðè

ýòîì çíàê tmp определяет большее из чисел a, b. По свойству 3 D(a, b) при этом не изменится.)

15

Øàã 6. (Вычитание) tmp = a − b. Åñëè tmp 6= 0, то переходим на Øàã 3. В противном случае алгоритм заканчивает работу.

Имеем: D(a, b) = a · 2k.

Пример 2.2 (на бинарный алгоритм Евклида). Рассмотрим ра

боту алгоритма с данными из примера 2.1.

Имеем: D(76501, 29719) = 113.

2.3.Линейное представление наибольшего общего делителя

Действуя в схеме (2.2) обратным ходом снизу вверх получаем пред ставление D(a, b) через a, b:

rk = rk−2 − rk−1qk = rk−2 − (rk−3 − rk−2qk−1)qk =

=−rk−3qk + rk−2(1 + qkqk−1) =

=−rk−3qk + (rk−4 − rk3 qk−2)(1 + qkqk−1) =

=rk−4(1 + qkqk−1) + rk−3(−qk − qk−2(1 + qkqk−1)) = · · · = ax + by.

Таким образом, справедливо следующее утверждение.

Утверждение 2.1. Для любых a, b Z уравнение ax + by = D(a, b) всегда имеет решение.

Нетрудно получить рекуррентные формулы для вычисления x, y. Введем последовательность {yi} следующим образом:

16

Таким образом, 76501 · 54 − 29719 · 139 = 113.

2.4.Разложение числа в цепную(непрерывную) дробь

Запишем схему (2.2) в виде

Из (2.4) получаем

Замечание 2.3. Заметим, что q0 в представлении (2.6) есть целая часть дроби a/b. Легко показать следующее:

17

1)Если 0 < a < b, т. е. a/b правильная положительная дробь, то представление (2.6) для нее имеет вид (0, q1, q2, . . . , qk+1).

2)Если дробь a/b < 0, то a/b = (−(K + 1), q1, q2, . . . , qk+1), где K целая часть дроби a/b.

3)Любое a Z является цепной дробью с одним звеном (a).

Таким образом, справедлива следующая теорема.

Теорема 2.1. Для любых a, b Z, b 6= 0 дробь a/b можно одним и только одним способом представить в виде (2.6), где все звенья qi

íàÿ ñ q1 положительны и последнее звено qk+1 > 1.

Замечание 2.4. Условие qk+1 > 1 в теореме обеспечивает единствен ность разложения (2.6), òàê êàê (q0, q1, · · · , qk+1) = (q0, q1, · · · , qk+1−1, 1). Действительно, последнее уравнение в схеме (2.2) rk−1 = rkqk+1 можно

Пример 2.4. Рассмотрим дробь из примера 2.1. Используя резуль таты примера 2.1 получаем представление (2.6):

7650129719 = (2, 1, 1, 2, 1, 6, 1, 4).

2.5.Свойства подходящих дробей и их вычисление

Введем обозначения для подходящих дробей, определенных в 2.4 при разложении (2.5):

Обозначим числитель и знаменатель δk через Pk è Qk соответственно. По лучим рекуррентные формулы для вычисления последовательностей чис

лителей {Pk} и знаменателей {Qk}. Полагая P−1 = 1, Q−1 = 0, далее имеем

18

Пример 2.5. Рассмотрим дробь из примера 2.1. Используя резуль таты примера 2.1 получим последовательность подходящих дробей.

Установим важное свойство подходящих дробей. Рассмотрим разность двух соседних подходящих дробей. Имеем

hs = PsQs−1 − Ps−1Qs = (qsPs−1 + Ps−2)Qs−1 − (qsQs−1 + Qs−2)Ps−1 = = −(Ps−1Qs−2 − Ps−2Qs−1) = −hs−1.

19