Скачиваний:
75
Добавлен:
16.04.2013
Размер:
469.5 Кб
Скачать

Продолжение функций и на слова

Пусть - алфавит.

Определение. Словом длины , , над алфавитом называется любая конечная последовательность длины элементов множества .

Для обозначения слов используют запись .

Слово, в котором нет ни одной буквы, называют пустым словом и обозначают символом .

Введем ряд обозначений:

- множество всех слов над алфавитом ,

- множество всех слов длины ;

- множество всех непустых слов.

Очевидно, выполнены равенства: ; .

Определение. Произведением двух слов и называется слово .

Утверждение 1. Произведение двух слов ассоциативная операция, т.е. для любых трех слов выполняется равенство: .

Это утверждение относится к разряду очевидных.

Поскольку расстановка скобок в произведении не влияет на результат, то, записывая произведение нескольких слов, скобки опускают. Например, вместо пишут .

Заметим, что произведение слов зависит от порядка сомножителей, т.е. в общем случае .

Определение. Продолжением функций и на слова называются соответственно функции и , определенные индуктивно следующим образом:

;

;

;

;

;

.

Пример 2. Рассмотрим автомат , у которого , , , и функции и заданы таблицей.

0

0

1

1

1

0

Тогда

;

.

Приведенный автомат

Определение. Состояния и автомата называются неотличимыми, если для . В противном случае состояния и называются отличимыми.

Введем на множестве состояний автомата бинарное отношение неотличимости ~:

.

Это отношение является отношением эквивалентности. Следовательно, оно порождает разбиение множества на классы эквивалентности. Следуя определению классов эквивалентности, класс эквивалентности произвольного элемента по отношению неотличимости ~ определим как множество . Множество классов эквивалентности по отношению неотличимости обозначим , для его элементов будем использовать обозначение .

Определение. Приведенным автоматом, соответствующим конечному автомату , называется автомат , функция переходов и функция выходов которого определены следующим образом:

; , где .

Докажем корректность этого определения, т.е. его независимость от выбора представителя в классе эквивалентности .

1. Чтобы доказать корректности определения функции , будем рассуждать от противного. Предположим, что найдутся такие и , что . Это означает, что состояния и отличимы, и, значит, , для которого . Но тогда . Следовательно, и отличимы, а это противоречит тому и принадлежат одному и тому же классу эквивалентности .

2. Докажем корректность определения функции . Возьмем и ; и неотличимы, следовательно, . Таким образом, функция определена корректно.

Утверждение 2. Все состояния приведенного автомата попарно отличимы.

Доказательство. Будем рассуждать от противного. Пусть найдутся различные и такие, что . Тогда . Тогда согласно определению функции будем иметь , где , . Отсюда следует, что и, значит, по свойству классов эквивалентности . Получили противоречие. Следовательно, наше предположение о существовании различных неотличимых классов эквивалентности было неверным. ■

Замечания. 1. Автоматы и работают одинаково, т.е. если на вход этих автоматов подавать одну и ту же входную последовательность, то выходные последовательности автоматов будут одинаковыми.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в папке Глава 4