Продолжение функций и на слова
Пусть
- алфавит.
Определение. Словом
длины
,
,
над алфавитом
называется любая конечная последовательность
длины
элементов множества
.
Для обозначения слов используют запись
.
Слово, в котором нет ни одной буквы,
называют пустым словом и обозначают
символом
.
Введем ряд обозначений:
- множество всех слов над алфавитом
,
- множество всех слов длины
;
- множество всех непустых слов.
Очевидно, выполнены равенства:
;
.
Определение. Произведением двух
слов
и
называется слово
.
Утверждение 1. Произведение двух
слов ассоциативная операция, т.е. для
любых трех слов
выполняется равенство:
.
Это утверждение относится к разряду очевидных.
Поскольку расстановка скобок в
произведении не влияет на результат,
то, записывая произведение нескольких
слов, скобки опускают. Например, вместо
пишут
.
Заметим, что
произведение слов зависит от порядка
сомножителей, т.е. в общем случае
.
Определение. Продолжением
функций
и
на слова называются соответственно
функции
и
,
определенные индуктивно следующим
образом:
;
;
;
;
;
.
Пример 2.
Рассмотрим автомат
,
у которого
,
,
,
и функции
и
заданы таблицей.
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
1 |
1 |
0 |
;
.
Приведенный автомат
Определение. Состояния
и
автомата называются неотличимыми, если
для
.
В противном случае состояния
и
называются отличимыми.
Введем на множестве
состояний автомата бинарное отношение
неотличимости ~:
.
Это отношение является отношением
эквивалентности. Следовательно, оно
порождает разбиение множества
на классы эквивалентности. Следуя
определению классов эквивалентности,
класс эквивалентности произвольного
элемента
по отношению неотличимости ~ определим
как множество
.
Множество классов эквивалентности по
отношению неотличимости обозначим
,
для его элементов будем использовать
обозначение
.
Определение. Приведенным автоматом,
соответствующим конечному автомату
,
называется автомат
,
функция переходов
и функция выходов
которого определены следующим образом:
;
,
где
.
Докажем корректность этого
определения, т.е. его независимость от
выбора представителя
в классе эквивалентности
.
1. Чтобы доказать корректности определения
функции
,
будем рассуждать от противного.
Предположим, что найдутся такие
и
,
что
.
Это означает, что состояния
и
отличимы, и, значит,
,
для которого
.
Но тогда
.
Следовательно,
и
отличимы, а это противоречит тому
и
принадлежат одному и тому же классу
эквивалентности
.
2. Докажем корректность определения
функции
.
Возьмем
и
;
и
неотличимы, следовательно,
.
Таким образом, функция
определена
корректно.
Утверждение 2. Все состояния приведенного автомата попарно отличимы.
Доказательство. Будем рассуждать
от противного. Пусть найдутся различные
и
такие, что
.
Тогда
.
Тогда согласно определению функции
будем иметь
,
где
,
.
Отсюда следует, что
и, значит, по свойству классов
эквивалентности
.
Получили противоречие. Следовательно,
наше предположение о существовании
различных неотличимых классов
эквивалентности было неверным.
■
Замечания. 1. Автоматы
и
работают одинаково, т.е. если на вход
этих автоматов подавать одну и ту же
входную последовательность, то выходные
последовательности автоматов будут
одинаковыми.