4.10. Схема гибели и размножения

Термин "схема гибели и размножения" ведет начало от биологических задач, где подобной схемой описывается изменение численности популяций.

Схема гибели и размножения очень часто встречается в теории массового обслуживания. Предположим, что все потоки событий, переводящие систему по стрелкам графа (рис. 17), – простейшие.

Пользуясь графом, представленным на рис. 17 составим и решим алгебраические уравнения для финальных вероятностей состояний. Для первого состояния имеем:

.

Для второго состояния:

.

Исходя из предыдущего равенства, получим:

;

далее, аналогично получим:

.

В общем случае:

.

где k принимает значения от 0 до n. Итак, финальные вероятности удовлетворяют уравнениям:

кроме того, необходимо учесть нормировочное условие:

.

Решим эту систему уравнений:

;

;

.

В общем случае:

.

Обратим внимание на последнюю формулу: получили в числителе произведение интенсивностей, представленных на рис. 17 по верхним стрелкам, а в знаменателе произведение интенсивностей для нижних стрелок.

Подставим полученные равенства в нормировочное условие:

.

Отсюда:

.

4.11. Формула Литтла

Теперь мы выведем формулу, связывающую среднее число заявок , находящихся в системе массового обслуживания, и среднее время пребывания заявки в системе.

Рассмотрим произвольную систему массового обслуживания и связанные с нею два потока событий: поток заявок, прибывающих в систему, и поток заявок, покидающих систему. Если в системе установился предельный, стационарный режим, то среднее число заявок, прибывающих в систему за единицу времени , равно среднему числу заявок, покидающих ее: оба потока имеют одинаковую интенсивность λ.

Обозначим: X(t) – число заявок, прибывших в систему массового обслуживания до момента времени t, Y(t) – число заявок, покинувших систему до момента t. И та и другая функции являются случайными и меняются скачком (увеличение или уменьшение на единицу). Очевидно, что для любого момента времени t их разность Z(t)=X(t)-Y(t) есть число заявок, находящихся в системе (Рис. 18). Рассмотрим большой промежуток времени Т и вычислим для него среднее число заявок, находящихся в системе:

.

Этот интеграл представляет собой площадь заштрихованной поверхности. Фигура состоит из прямоугольников, каждый из которых имеет высоту, равную единице, и основание, равное времени пребывания в системе соответствующей заявки. Обозначим эти времена Однако, под конец промежутка, некоторые прямоугольники войдут в заштрихованную систему не полностью, а частично, но при достаточно больших Т, этим обстоятельством можно пренебречь. Таким образом:

,

где сумма распространяется на все заявки, пришедшие за время Т.

Разделим правую и левую части полученного равенства на Т и получим с учетом предыдущего:

,

Разделим и умножим правую часть полученной формулы на λ:

.

Величина λТ – среднее число заявок, пришедших за время Т. Если мы разделим сумму всех времен на среднее число заявок, то получим среднее время пребывания заявки в системе.

.

Отсюда:

.

Это и есть формула Литтла: для любой системы массового обслуживания, при любом характере потока заявок, при любом распределении потока обслуживания, при любой дисциплине обслуживания среднее время пребывания заявки в системе равно среднему числу заявок в системе, деленному на интенсивность потока заявок.

Точно таким же образом выводится и вторая формула Литтла, связывающая среднее время пребывания заявки в очереди и среднее число заявок в очереди:

.