3.2. Открытая и закрытая модели транспортной задачи

Формулировка и основные понятия для транспортной задачи представлены в вопросе 1.8.

Определение 1: Модель транспортной задачи называется закрытой, если суммарный объем груза имеющегося у поставщиков равен суммарному спросу потребителей т.е.

Определение 2: Если для транспортной задачи выполняется одно из условий:

или

то модель задачи называется открытой.

Для разрешимости транспортной задачи с открытой моделью необходимо преобразовать ее в закрытую. Так при выполнении первого условия необходимо ввести фиктивный (n+1) пункт назначения (), т.е. в матрице задач предусматривается дополнительный столбец. Спрос фиктивного потребителя полагаем равный небалансу т.е.

;

все тарифы одинаковы, чаще всего равны нулю ().

Аналогично при выполнении второго условия вводится фиктивный поставщик, запас груза у которого равен

;

все тарифы дополнительной строки распределительной таблицы равны нулю ().

При преобразовании открытой задачи в закрытую, целевая функция не меняется т.к. все слагаемые соответствующие дополнительным перевозкам равнялись нулю.

Теорема 1: (о ранге матрицы) Ранг матрицы А транспортной задачи на единицу меньше чем числа уравнений r(A)=m+n-1.

Замечание: Эта теорема говорит о том, что при решении любой транспортной задачи в распределительной таблице должна быть заполнена m+n-1 ячейка.

3.3. Построение начального опорного плана. Правило "Северо-западного угла"

Построение начального опорного плана для транспортной задачи возможно лишь для закрытой модели и может осуществляться несколькими способами. Если модель – открытая, необходимо ее преобразовать в закрытую. Рассмотрим самый простой и неточный способ построения.

Заполнение распределительной таблицы начинается с верхнего левого угла, который еще называют северо-западным. В ячейку с координатами (1,1) записывается минимальное из чисел и.

Предположим, что это . Тогда товар первого поставщика полностью реализован и он может быть исключен из рассмотрения. Соответственная ему первая строка больше не заполняется. Следующей будем заполнять ячейку (2,1). В нее записываем наименьшее из чисели. Предположим, что минимум это число. тогда потребности первого поставщика полностью удовлетворены. Первый столбик может быть исключен из рассмотрения. Далее будем рассматривать ячейку с номером (2,2).

Если же при первом сравнении получили, что наименьшее число , то процесс аналогичным образом продолжается, но рассматриваем мы ячейку с номером (1,2).

Пример: Решить транспортную задачу:

	B1	B2	B3
A1	3 800	5 v	6 v	800
A2	7 200	2 500	4 v	700
A3	4 v	3 600	5 400	1000
A4	6 v	1 v	7 500	500
	1000	1100	900	3000 3000

Модель транспортной задачи – закрытая. Символом v будем обозначать пустую ячейку. Заполненных ячеек 4+3-1=6.

Ответ: Z=11900

В некоторых случаях появляется необходимость вставки так называемой ноль-загрузки. Т.е. в ячейку проставляется 0 и она считается заполненной. Эта необходимость возникает только в том случае, когда одновременно из рассмотрения исключаются и строка и столбец одновременно. Ноль-загрузка в этом случае ставится в любую соседнюю свободную ячейку (справа или внизу).